2.4 圆与圆的位置关系-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

2．4　圆与圆的位置关系 学习目标 1.结合教材实例了解圆与圆的位置关系．　2.会解决与圆与圆的位置关系有关的问题．　3.会解决与圆与圆相切、相交弦长等相关问题． 一　两圆位置关系的判断 1．圆与圆的位置关系 平面内两个不等的圆之间有5种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2 的关系 d> _____ d＝ _____ |r1－r2| <d< _____ d＝______ (r1≠r2) 0≤d< _____ (r1≠r2) (2)代数法 通过联立两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断： 一元二次方程 [答案自填] r1＋r2　r1＋r2　r1＋r2 |r1－r2|　|r1－r2|　相交　内切或外切　内含或外离 思考　当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？ 提示：①两圆外离，有两条外公切线，两条内公切线； ②两圆外切，连心线过切点，有两条外公切线，一条内公切线； ③两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； ④两圆内切，连心线过切点，只有一条公切线； ⑤两圆内含，无公切线． 　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为 (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 【解】　圆C1，C2的方程化为标准方程可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.所以|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当0≤|C1C2|<3，又a>0，即0<a<3时，两圆内含． 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值或半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中常用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系． [跟踪训练1] (1)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B．由题知，圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4与C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆C1的圆心为(－1，－1)，半径为2，圆C2的圆心为(2，1)，半径为2，所以两圆的圆心距为＝，因为2－2<<2＋2＝4，所以两圆相交，有2条公切线．故选B． (2)已知圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)与圆C2：(x－4)2＋(y－2)2＝16有公共点，则r的取值范围是(　　) A．(0，1] B．[1，5] C．[1，9] D．[5，9] 解析：选C．由题知，C1(1，－2)，r1＝r，C2(4，2)，r2＝4，|C1C2|＝＝5.因为C1和C2有公共点，所以|r－4|≤|C1C2|≤r＋4，解得1≤r≤9.故选C． 二　两圆相切问题 　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 【解】　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则＝r＋1.① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，故＝，② ＝r.③ 由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 【变式探究】 (条件变式)将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？ 解：因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)，所以解得所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 解决两圆相切问题的思路 (1)定型，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). [跟踪训练2] (1)(多选)已知圆O1：x2＋y2＋4x－8y－5＝0与圆O2：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)只有一个公共点，则r的取值可以是(　　) A．1 B．4 C．9 D．3 解析：选AC．圆O1：x2＋y2＋4x－8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y－4)2＝25，圆心为O1(－2，4)，半径r1＝5，圆O2：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，圆心为O2(－2，0)，半径为r，所以|O1O2|＝＝4，因为两圆只有一个公共点，所以两圆相外切或相内切，显然两圆不能相外切，所以|O1O2|＝|r1－r|，即|5－r|＝4，解得r＝1或r＝9.故选AC． (2)写出一个半径为1，且与圆x2＋y2＝1和圆(x－2)2＋(y－2)2＝1均外切的圆的方程____________． 解析：设所求圆的圆心为(a，b)，则由外切关系可得 化简得解得或故满足条件的圆的圆心为(0，2)或(2，0)，故符合条件的圆的方程为(x－2)2＋y2＝1或x2＋(y－2)2＝1. 答案：(x－2)2＋y2＝1或x2＋(y－2)2＝1(填一个即可) 三　两圆相交问题 　(2024·河南焦作检测)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0. (1)求经过圆C1与圆C2交点的直线方程； (2)求圆C1与圆C2的公共弦长． 【解】　(1)圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心C2(1，1)，半径r2＝1，于是|C1C2|＝，r1－r2<<r1＋r2，即圆C1与圆C2相交，令两圆的交点分别为A，B，则A，B的坐标是方程组 的解，两式相减得x＋y－1＝0， 则A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，所以所求直线方程为x＋y－1＝0. (2)对于圆C1：x2＋y2＝1，圆心C1到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2＝2＝. (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法： ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理求解． [跟踪训练3] 已知圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0. (1)求证：圆C1与圆C2相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程． 解：(1)证明：将圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝16，所以圆心为C2(－1，－1)，半径为4，因为圆C1：x2＋y2＝10的圆心为C1(0，0)，半径为，所以|C1C2|＝，因为4－<<4＋，所以圆C1与圆C2相交． (2)由圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，将两圆方程相减，可得2x＋2y－4＝0，即两圆公共弦所在直线的方程为x＋y－2＝0. 四　圆系方程 　求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． 【解】　方法一：设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，即x2＋y2－x－y－6＝0，所以圆心坐标为(，).又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－－4＝0，解得λ＝－.所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 方法二：由得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.由 解得所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3，3)，线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.由得即所求圆的圆心为(3，－1)，半径为＝4.所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 求过两圆的交点，或过圆与直线的交点的圆，可利用圆系方程求解：过定直线Ax＋By＋C＝0和定圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0两交点的圆系：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.过两定圆交点的圆系：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，当λ＝－1时，方程表示两圆公共弦所在的直线方程． [跟踪训练4] 求经过两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0与C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的两个交点且半径最小的圆的方程． 解：设圆C1和圆C2的两个交点为A，B，则直线AB的方程为x2＋y2＋4x＋y＋1－(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0，即2x－y＝0，设所求圆方程为x2＋y2＋4x＋y＋1＋λ(2x－y)＝0，化简得x2＋y2＋(4＋2λ)x＋(1－λ)y＋1＝0，则半径最小时，圆心在直线2x－y＝0上，解得λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2＋x＋y＋1＝0. 1．(2024·广西桂林期末)两圆x2＋y2＝9和(x－4)2＋(y＋3)2＝16的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 解析：选B．因为圆x2＋y2＝9的圆心O1(0，0)，半径r1＝3，圆(x－4)2＋(y＋3)2＝16的圆心O2(4，－3)，半径r2＝4，又|O1O2|＝＝5，r2－r1＝1，r2＋r1＝7，所以r2－r1<|O1O2|<r2＋r1，所以两圆x2＋y2＝9和(x－4)2＋(y＋3)2＝16相交．故选B． 2．已知圆O1：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)与圆O2：x2＋y2＝1外切，则实数r＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B．圆O1：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)的圆心O1(3，4)，半径为r，圆O2：x2＋y2＝1的圆心O2(0，0)，半径为1, 因为圆O1与圆O2外切，所以|O1O2|＝＝5＝r＋1，所以r＝4.故选B． 3．已知两圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，当圆C1与圆C2有且仅有两条公切线时，则r的取值范围是_______________________________． 解析：若圆C1与圆C2有且仅有两条公切线，则两圆相交，圆C1的圆心C1(0，0)，半径R＝1，圆C2的圆心C2(1，2)，半径r，则|C1C2|＝＝，若两圆相交，则满足|r－R|<|C1C2|<R＋r，即|r－1|<<1＋r，解得－1<r<＋1. 答案：－1<r<＋1 4．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：x2＋(y－4)2＝1. (1)判断圆O和圆C的位置关系； (2)过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程． 解：(1)因为圆O的圆心O(0，0)，半径r1＝2，圆C的圆心C(0，4)，半径r2＝1， 所以圆O和圆C的圆心距|OC|＝4>r1＋r2＝3，所以圆O与圆C外离． (2)根据题意知切线斜率存在，设所求切线l的方程为y＝kx＋4，即kx－y＋4＝0， 所以圆心O到直线l的距离 d＝＝2，解得k＝±. 所以切线l的方程为x－y＋4＝0或x＋y－4＝0. 1．已学习：两圆位置关系的判定、两圆相切问题、两圆的公共弦问题． 2．须贯通：判断两圆位置关系的方法有代数法和几何法，解决两圆相切与公共弦问题利用数形结合思想可减少运算量． 3．应注意：解决两圆相切问题时，要分清两圆是内切还是外切． 学科网（北京）股份有限公司 $