2.4 圆与圆的位置关系-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·河南南阳检测)圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 解析：选D．圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，圆x2＋y2－8x＋6y＋9＝0可化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，圆心为(4，－3)，半径为4，而两圆心的距离为＝5＝1＋4，故两圆外切．故选D． 2．若圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8 C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8 解析：选C．由题意联立两圆方程得 整理得4x＋Ey－4－F＝0，则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8.故选C． 3．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是(　　) A．r<＋1 B．r>＋1 C．|r－|≤1 D．|r－|<1 解析：选C．由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.因为两圆有公共点，所以|r－1|≤≤r＋1，解得－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，所以|r－|≤1.故选C． 4．过点P(－2，－3)向圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0引两条切线，切点是T1，T2，则直线T1T2的方程为(　　) A．6x＋5y＋25＝0 B．6x＋5y－25＝0 C．12x＋10y＋25＝0 D．12x＋10y－25＝0 解析：选B．把x2＋y2－8x－4y＋11＝0，①转化为(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C(4，2)，半径R＝3，则|PC|＝＝，|PT1|＝|PT2|＝＝2，以P为圆心，|PT1|为半径的圆P的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝52，②由①－②，化简得6x＋5y－25＝0.故选B． 5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋6＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0，则两圆的公切线的条数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选A．圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝4的圆心C1(－1，3)，半径r1＝2，圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝1的圆心C2(2，－1)，半径r2＝1，|C1C2|＝＝5，显然|C1C2|>r1＋r2，即圆C1与圆C2外离，所以两圆的公切线的条数是4.故选A． 6．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　　) A．C1与C2的公切线恰有4条 B．C1与C2公共弦所在直线的方程为3x＋4y－9＝0 C．C1与C2公共弦的弦长为 D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12 解析：选BD．由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，|C1C2|＝＝5，r2－r1<5<r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误；两圆方程相减可得C1与C2公共弦所在直线的方程为3x＋4y－9＝0，故B正确；圆心C1到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的弦长为2 ＝，故C错误；若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12，故D正确．故选BD． 7．圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2y＝0的公切线方程为________________． 解析：圆C2：x2＋(y－1)2＝1，则＝1＝2－1，可知两圆内切．则解得所以切点为(0，2).所以公切线方程为y－2＝0. 答案：y－2＝0 8．(2024·江西九江检测)若圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，则m值为________． 解析：圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0即(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，圆心为(1，2)，半径为且m<5，圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0即(x－4)2＋(y－6)2＝16，圆心为(4，6)，半径为4，因为两圆外切，所以＝＋4，解得m＝4. 答案：4 9．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________． 解析：通解：如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切， 公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由得由对称性可知公切线l2过点(－1，－)， 设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1)，则点O(0，0)到l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直，设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t>0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1＝，解得t＝或t＝－(舍去)，所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.综上所述，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 光速解：根据题意，精确作出两圆(需用到尺规)，由图形可直观快速看出直线x＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意，故可填x＝－1. 答案：x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(写出一条即可) 10．已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.求： (1)两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长； (2)经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，则A，B两点坐标是方程组 的解．①－②，得x－y＋4＝0.因为A，B两点的坐标都满足此方程，所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．又圆C1的圆心(－3，0)，r＝，所以圆心C1到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝5，即两圆的公共弦长为5. (2)方法一：解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2).设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.则＝，解得a＝，故圆心为，半径为 .故圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 方法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圆心为，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 11．在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线y＝x＋1的对称点Q在圆C2：(x－4)2＋y2＝4上，则r的取值范围是(　　) A．(3，7) B．[3，7] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：选B．圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝r2(r>0)的圆心为C1(－4，1)，设C1(－4，1)关于直线y＝x＋1的对称点为C3(a，b)，所以解得所以C1(－4，1)关于直线y＝x＋1的对称点为C3(0，－3)，圆C2的圆心为(4，0)，半径为2，则|C2C3|＝5， 由题意得，以C3为圆心，r为半径的圆与圆C2有公共点，所以|r－2|≤|C2C3|≤r＋2，解得3≤r≤7.故选B． 12．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是(　　) A．所有过点A，B的圆系的方程可以记为(x2＋y2－4)＋λ(x2＋y2－4x＋2y＋4)＝0(其中λ∈R，λ≠－1) B．直线AB的方程为y＝2x＋4 C．线段AB的长为 D．两圆有两条公切线y＝－2与4x＋3y－10＝0 解析：选CD．对于A，圆系方程(x2＋y2－4)＋λ(x2＋y2－4x＋2y＋4)＝0(其中λ∈R，λ≠－1)，此时不含圆M，所以A错误； 对于B，联立方程组两式相减得到直线AB的方程为y＝2x－4，所以B错误；对于C，原点O到直线AB的距离为＝，根据勾股定理得|AB|＝2＝，所以C正确；对于D，由圆M：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0，可得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，可得圆心为M(2，－1)，半径为r2＝1，又由圆O：x2＋y2＝4，可得圆心为O(0，0)，半径为r1＝2，易知直线y＝－2与两圆相切，即y＝－2为两圆的公切线，则y＝－2关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，由O(0，0)和M(2，－1)，可得两圆圆心所在直线为y＝－x，即x＋2y＝0，联立方程组解得即交点坐标为(4，－2)，在直线y＝－2上任取一点(1，－2)，设点(1，－2)关于直线x＋2y＝0对称的点为(x，y)，可得解得即对称点的坐标为(，)，所求的另一条切线过点(，)，(4，－2)，可得其方程为4x＋3y－10＝0，故所求切线方程为y＝－2与4x＋3y－10＝0，所以D正确．故选CD． 13．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝2交于A，B两点，直线l与直线AB平行，且与圆C2相切，与圆C1交于点M，N，则|MN|＝________． 解析：由圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，可知圆心C1(1，2)，半径为2，圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝2，可知圆心C2(2，1)，半径为，又C1：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋3＝0，所以可得直线AB：x－y－1＝0，设直线l：x－y＋c＝0(c≠－1)，直线l与圆C2相切，则＝.解得c＝1或c＝－3，当c＝1时，l：x－y＋1＝0，所以|MN|＝2＝4；当c＝－3时，l：x－y－3＝0，圆心C1到直线l的距离为>2，故直线l与圆C1无交点，不合题意．故|MN|＝4. 答案：4 14．如图，圆M：(x－2)2＋y2＝1，点P(－1，t)为直线l：x＝－1上一动点，过动点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B. (1)若t＝1，求两条切线所在的直线方程； (2)求线段AB的最小值； (3)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标． 解：(1)设圆M的过点P的切线方程为y＝k(x＋1)＋1，即kx－y＋k＋1＝0.M(2，0)到直线kx－y＋k＋1＝0的距离 d＝＝1，解得k＝0或k＝－，则切线方程为y＝1和3x＋4y－1＝0. (2)如图，连接PM，AB交于点N，连接AM，设∠MPA＝∠MAN＝θ，θ∈(0，)，则|AB|＝2|AM|cos θ＝2cos θ，在Rt△MAP中， sin θ＝＝ ，由|PM|≥3，则(sin θ)max＝，有(cos θ)min＝ ，所以|AB|min＝. (3)|PM|＝，|AM|＝1，所以|PA|2＝|PM|2－|AM|2＝t2＋8，故以P为圆心，以|PA|为半径的圆P的方程为(x＋1)2＋(y－t)2＝t2＋8，两圆方程相减，可得圆P和圆M的公共弦AB所在直线方程为(x＋1)2－(x－2)2＋(y－t)2－y2＝t2＋8－1，即3x－ty－5＝0，所以直线AB过定点(，0). 15．已知圆M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 解析：选D．由圆M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，①得圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1).如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝＝，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l. 方法一：|PM|min＝＝，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.由得所以P(－1，0).易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋(y－)2＝()2，即x2＋y2－y－1＝0，②由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.故选D． 方法二：因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C．易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由得所以P(－1，0).因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与圆M相切，所以取A的坐标为(－1，1).因为点A(－1，1)在直线AB上，故排除B．故选D． 16．如图，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0，6). (1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程； (2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程． 解：(1)由C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，化为标准方程为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50.所以圆C的圆心为C(－5，－5)，又圆N的圆心在直线y＝x上，所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，则有＝，解得a＝3，所以圆N的圆心坐标为(3，3)，半径r＝3， 故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18. (2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以CP⊥CQ.所以点C到直线m的距离为5.当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0； 当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y＝kx＋6，即kx－y＋6＝0.所以＝5，解得k＝.所以此时直线m的方程为x－y＋6＝0，即48x－55y＋330＝0，故直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $