02-§2 3-2.3 直线与圆的位置关系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，涵盖相交、相切、相离的判定，切线方程及相交弦长计算等核心内容。通过恒过定点直线与圆的位置关系等例题导入，衔接圆的方程知识，为综合应用构建学习支架。 其亮点在于精选各地名校考题，融入创新情境（如公园监控问题），以数学眼光观察现实问题，通过逻辑推理（如距离公式推导）和建模（包络圆定义应用）培养数学思维与表达能力。学生能提升解题与应用能力，教师可借助丰富例题优化教学。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §2　圆与圆的方程 2.3　直线与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线与圆的位置关系 1.[2026湖南常德石门第一中学入学考试]已知圆C:x2+y2-8y+15=0,直线l:x+ky-1-4k=0,则直线l与圆C的位 置关系为( ) A.相交　　    B.相离 C.相切　　    D.相交或相切     D     解析　直线l的方程整理为x-1+k(y-4)=0, 则l恒过点(1,4), 又点(1,4)在圆C上, 所以直线l与圆C相交或相切. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河南驻马店月考]若直线l:ax-by-4=0与圆O:x2+y2=4相离,则点P(a,b) ( ) A.在圆O外　    B.在圆O内 C.在圆O上　    D.与圆O的位置关系不确定     B     解析　圆O的圆心O(0,0),半径R=2, 圆心O到直线l的距离为d= , 由直线l与圆O相离知d>R,即 >2, 整理得a2+b2<4,故点P(a,b)在圆O内. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题]在同一平面直角坐标系中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是(__________)       AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题知a≠0,圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|.圆心(-a,0)到直线ax-y+a=0的距离d=  . 不妨令 <|a|,可得 <1, 即1-2a+a2<1+a2, 当a>0时,不等式恒成立,说明直线与圆相交,圆心在x轴负半轴上且直线的斜率为正数; 当a<0时,不等式不成立,说明直线与圆相离,圆心在x轴正半轴上且直线的斜率为负数.故A,D可能,B,C不 可能. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏南通如皋中学月考]已知A(2,0),B(10,0),若直线tx-4y+2=0上存在点P,使得 · =0,则t的取 值范围为 ( ) A. 　　    B. ∪[3,+∞) C. 　　    D.(-∞,-7]∪      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设P(x,y),则 =(2-x,-y), =(10-x,-y), 因为 · =0,所以(2-x)·(10-x)+(-y)2=0,即(x-6)2+y2=16,所以点P在以(6,0)为圆心,4为半径的圆上, 又点P在直线tx-4y+2=0上, 所以直线tx-4y+2=0与圆(x-6)2+y2=16有公共点, 则 ≤4,解得- ≤t≤3. 故t的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线与圆的相切问题 5.[教材习题改编]圆A:x2+y2-4x=0在点P(1,- )处的切线l的方程为 ( ) A.x+ y+2=0　    B.x+ y-4=0 C.x- y+4=0　    D.x- y+2=0     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:易知切线斜率存在,设切线l的方程为y+ =k(x-1),即kx-y-k- =0, 易知圆A的圆心A(2,0),半径r=2, 所以A到l的距离d= =r=2, 所以k=- ,即切线l的方程为x+ y+2=0. 解法二:将圆A的方程化为标准形式,为(x-2)2+y2=4, 易知点P(1,- )在圆A上, 则圆A在点P处的切线l的方程为(x-2)·(1-2)- y=4,化简得x+ y+2=0. 二级结论　本题解法二用到以下结论:若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则圆在点P处的切线方程为(x- a)·(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.这个结论在解小题时可以直接应用. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河北保定四县六校期中]已知点A(-1,1),B(3,3),线段AB为☉M的一条直径.设过点C(2,-1)且与☉M 相切的两条直线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2= ( ) A.- 　　　　　    B.-  C. 　　　　 　    D.      D     解析　由题意知线段AB的中点为☉M的圆心,即M(1,2),☉M的半径r= |AB|=  = . 由题意可知两条切线的斜率均存在,设切线方程为y=k(x-2)-1,即kx-y-2k-1=0, 由相切可得圆心M到切线的距离d= = ,化简得2k2-3k-2=0, 由题意知k1,k2是方程2k2-3k-2=0的两个根,故k1+k2= . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西南昌中学月考]已知圆C的圆心为C(0,2),且经过点(2,2),过点P(-2,-1)作圆C的两条切线PA, PB,切点分别为A,B,则直线AB的方程为 ( ) A.2x+3y-2=0　　    B.2x+3y+2=0 C.2x-3y-2=0　　    D.2x-3y+2=0     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知圆C的半径为 =2, ∴圆C的标准方程为x2+(y-2)2=4. 当过点P(-2,-1)的切线斜率不存在时,方程为x=-2,此时与圆C相切于点(-2,2). 由圆的切线的性质可知AB⊥CP, ∴kAB= = =- , ∴直线AB的方程为y-2=- (x+2),即2x+3y-2=0. 二级结论　　　过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(x0,y0)作圆C的切线,切点为A,B,则P,A,B,C四点共圆,且其 圆心为CP的中点,切点弦AB所在直线的方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,故本题可由圆C的标准方程为x2 +(y-2)2=4,P(-2,-1)为圆外一点,直接得直线AB的方程为-2x-3(y-2)=4,即2x+3y-2=0. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西赣州赣县中学阶段检测]已知圆C的方程为x2+y2-2y-1=0,P(a,b)为圆C上任意一点,则  的取值范围为 ( ) A.[-1,2]　　    B.(-∞,-1]∪[2,+∞) C.[1,3]　　    D.(-∞,1]∪[3,+∞)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知圆C的圆心C(0,1),半径r= .  = =2+ ,  的几何意义是圆C上的点P(a,b)与点(2,1)连线的斜率, 设过点(2,1)的圆C的切线方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0, 由圆心C(0,1)到切线的距离d= = ,解得k=±1, 结合图可知 ∈[-1,1], ∴ =2+ ∈[1,3]. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026湖北武汉部分学校模拟考试]已知点P在圆G:(x-4)2+(y-4)2=9上,点A(4,0),B(0,2),则  ( ) A.点P到直线AB的距离的最小值为  B.在点P处作圆G的切线(P为切点)与直线AB相交于点T,则|PT|min=  C.当∠PBA最小时,|PB|=2  D.当∠PBA最大时,|PB|=  BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆G:(x-4)2+(y-4)2=9的圆心G(4,4),半径r=3. 由A(4,0),B(0,2)得直线AB的方程为 + =1,即x+2y-4=0,则圆心G到直线AB的距离d= = , 点P到直线AB的距离的最小值为d-r= -3,(将圆上的点到直线的距离的最值转化为圆心到直线的距 离加减半径)故A错误; 如图,在Rt△PTG中,|PT|= = ,   由A知|GT|min= , 第1讲　描述运动的基本概念 则|PT|min= = ,故B正确; 如图,当直线BP与圆相切时,∠PBA取到最大值∠P1BA和最小值∠P2BA(关键点),   当∠PBA最小时,|PB|=|P2B|= = ,同理得,当∠PBA最大时,|PB|=|P1B|= ,故C错误,D正确. 二级结论　　　已知点P(x0,y0)是圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点,经过点P作圆C的切线,记 一个切点为A,则|PA|= . 　　本题求|PB|时,可把圆的方程化为一般式为x2+y2-8x-8y+23=0,则|PB|= = . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江苏连云港赣榆期中]平面直角坐标系中,圆C经过直线x+3y-2=0与3x-2y-6=0的交点,圆心C位 于第一象限,且______.(在①②两个条件中任选一个,补充在横线上) ①圆C经过点O(0,0),圆心在直线y=2x+1上; ②圆心C(1,b),半径为 . (1)求圆C的方程; (2)过点P(1,-7)作圆C的切线,求切线的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由 解得  所以圆C过点(2,0). 若选①,设圆心C(a,2a+1),a>0,则(a-2)2+(2a+1)2=a2+(2a+1)2,解得a=1, 所以圆心为C(1,3),半径为 , 所以圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=10. 若选②,由题意得(1-2)2+(b-0)2=10,解得b=3(负值舍去), 所以圆心为C(1,3),则圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=10. (2)当切线的斜率不存在时,不合题意;当切线的斜率存在时,设切线方程为y+7=k(x-1),即kx-y-k-7=0, 因为圆心C(1,3)到切线的距离等于半径,即 = = , 所以k=±3,所以切线方程为3x-y-3-7=0或-3x-y+3-7=0,即3x-y-10=0或3x+y+4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　圆的相交弦问题 11.[2025浙江宁波镇海中学月考]若直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,且|MN|=2 ,则k的 值为 ( ) A.0　　    B.- 　　     C.- 或0　　    D.- 或0     D     解析    圆(x-3)2+(y-2)2=4的圆心为(3,2),半径为2, 当|MN|=2 时,圆心(3,2)到直线y=kx+3的距离d= = =1,解得k=- 或k=0. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　直线与圆的相交弦问题,常利用圆心、弦的一个端点、弦的中点构成的直角三角形来解决, 由勾股定理知,弦长l、圆心到直线的距离d、圆的半径r满足:r2=d2+ . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[教材习题改编]已知圆C:(x+1)2+(y-2)2=16,直线l过点P(2,3),且与圆C交于A,B两点,若点P为线段AB的 中点,则直线l的方程为( ) A.x+3y-11=0　　　     B.3x+y-9=0 C.x-3y+7=0　　　　    D.3x-y-3=0     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:由已知得C(-1,2), 所以kCP= = . 因为P(2,3)为弦AB的中点,所以CP⊥AB,所以kAB=-3, 所以直线l的方程为y-3=-3(x-2), 即3x+y-9=0. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则(x1+1)2+(y1-2)2=16①, (x2+1)2+(y2-2)2=16②, 因为P(2,3)为弦AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=6, ①-②,整理得 =-3,所以直线l的斜率为-3,所以直线l的方程为y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[多选题][2026江西赣州阶段检测]已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=9,直线l:y-1=k(x-3).下列命题正确的有  ( ) A.直线l与圆C可能相切 B.x轴被圆C截得的弦长为2  C.直线l被圆C截得的弦长的最小值为4 D.若直线l与圆相交于A,B两点,则△ACB的面积的最大值为  BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　直线l:y-1=k(x-3),过定点D(3,1). 因为(3-1)2+(1-2)2<9,所以点D在圆C的内部,直线l与圆C相交,故A错误; 在圆C的方程中令y=0,得(x-1)2=5,解得x=1± ,故x轴被圆C截得的弦长为2 ,故B正确; 圆C的圆心C(1,2),半径为3,|CD|= , 当l⊥CD时,直线l被圆C截得的弦长取得最小值,此时弦长为2 =4,故C正确; 当l⊥CD,即|AB|最小时,sin∠ACD取得最小值,为 ,因为 < < , 即sin <sin∠ACD<sin ,所以 <∠ACD< ,故 <∠ACB< , 当直线l过圆心C时,∠ACB=π,因此∠ACB可以取得 , 所以△ACB的面积S= |CA|2sin∠ACB= sin∠ACB≤ ,当且仅当∠ACB= 时取等号,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 二级结论　　　已知弦AB恒过定点P,且定点P在圆C内,当CP⊥AB时,∠ACB(弦所对的圆心角)最小.若 ∠ACB∈[α,π),则当α> 时,(S△ACB)max= R2sin α;当α≤ 时,(S△ACB)max= R2. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏连云港赣榆高级中学质量检测]已知圆C:(x-1)2+y2=1. (1)若直线l:y=kx+2与圆C交于A,B两点, (i)求k的取值范围; (ii)证明:直线OA与直线OB(O为坐标原点)的斜率之和为定值; (2)若直线y=x+a和直线y=x+b将圆C的周长四等分,求|a-b|的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)联立 得(k2+1)x2+(4k-2)x+4=0. (i)因为直线l与圆C有两个交点, 所以Δ=(4k-2)2-16(k2+1)>0, 解得k<- , 故k的取值范围是 . (ii)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系得  第1讲　描述运动的基本概念 所以kOA+kOB= + = + = +2k= +2k=1, 故直线OA,OB的斜率之和为定值. (2)设直线y=x+a与圆C交于点E,F,直线y=x+b与圆C交于点M,N. 因为直线y=x+a和直线y=x+b将圆(x-1)2+y2=1的周长四等分,所以圆心位于两直线之间. 连接CE,CF,CM,CN, 则∠ECF=∠MCN= , 所以△ECF为等腰直角三角形,所以圆心C到直线y=x+a的距离为 ,同理可得圆心C到直线y=x+b的距 离为 , 故直线y=x+a和直线y=x+b间的距离为 ,所以 = ,即|a-b|=2. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　本题(1)(ii)中,设出直线与圆的交点坐标,将直线与圆的方程联立,利用根与系数的关系表示 两个交点坐标之间的关系,然后根据题干中的等量关系求解参数,在解题过程中并未求出交点坐标,称 这种方法为“设而不求法”,在后续圆锥曲线的学习中有着广泛的应用. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §2　圆与圆的方程 2.3　直线与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线与圆的位置关系 1.[2026福建福州九校期中]若圆C:x2+y2-12x+10y+25=0上有四个不同的点到直线l:3x+4y+c=0的距离为 3,则c的取值范围是 ( ) A.(0,17)　　    B.(-13,0) C.(-13,17)　　    D.(13,17)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将圆C的方程化为标准形式为(x-6)2+(y+5)2=36,故圆心为C(6,-5),半径为6. 设圆心C(6,-5)到直线l:3x+4y+c=0的距离为d. 要使圆上有四个不同的点到直线l:3x+4y+c=0的距离为3, 则与直线l平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点, 所以d+3<6,得d<3,即 <3,解得-13<c<17.故c的取值范围为(-13,17). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江西九江外国语学校月考]曲线x= +1(-3≤y≤3)与直线y=kx-4k+5有两个不同的交点,则 实数k的取值范围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D. ∪      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　直线方程可变形为y-5=k(x-4),可知直线过定点A(4,5), 将x-1= (-3≤y≤3)两边平方得(x-1)2+y2=9(1≤x≤4), 则曲线是以(1,0)为圆心,3为半径,且位于直线x=1右侧,包括(1,3)和(1,-3)两点的半圆,如图,   当直线过点(1,-3)时,直线与曲线有两个不同的交点, 此时k= = , 当直线的斜率不存在时,直线与曲线相切,此时直线与曲线有一个交点, 因此k≥ .故k的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西阶段性练习]若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y无关,则 实数a的可能取值是( ) A.-4　　    B.-6　　     C.4　　    D.6     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    令z=|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5 , 设d1表示点P(x,y)到直线3x-4y+a=0的距离,d2表示点P(x,y)到直线3x-4y-9=0的距离,则z=5(d1+d2), 显然直线3x-4y+a=0与3x-4y-9=0平行, 要使z为定值,则只需直线3x-4y+a=0与3x-4y-9=0在圆心的两侧且直线3x-4y+a=0与圆相离或相切, 所以 ≥1,即|a-1|≥5,解得a≥6或a≤-4. 当a≤-4时,直线3x-4y+a=0与3x-4y-9=0在圆心的同侧,不合要求,舍去; 当a≥6时,直线3x-4y+a=0与3x-4y-9=0在圆心的两侧,满足题意. 故a≥6,结合选项知D符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026福建泉州质量监测]已知直线x+ay-2 a+1=0与圆O:x2+y2=r2(r>0)交于不同的两点A,B,若∠AOB 存在最小值且最小值不大于60°,则r的取值范围为 ( ) A.( ,2]　　    B.( ,2 ] C.(3,2 ]　　    D.(3,6]     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将直线方程x+ay-2 a+1=0变形为x+1+a(y-2 )=0, 则直线恒过定点P(-1,2 ), 圆O:x2+y2=r2(r>0)的圆心O(0,0), 则|OP|= =3, 因为∠AOB存在最小值,所以点P在圆O内,所以r>|OP|,根据圆的性质知,当OP⊥AB时,弦AB最短,∠AOB 最小,此时|AB|=2 =2 , 在△AOB中,|OA|=|OB|=r,当∠AOB=60°时,△AOB为等边三角形,此时|AB|=r, 因为∠AOB的最小值不大于60°, 所以最小值对应的弦AB满足|AB|≤r,即2 ≤r,解得-2 ≤r≤2 , 所以3<r≤2 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　圆的切线与弦长问题 5.[2026江苏南京第六十六中学考试]已知圆C:x2+(y+2)2=r2(r>0)与直线l:y= x+2,直线l上存在点P,过点 P可以作两条互相垂直且与圆C相切的直线,则r的取值范围是 ( ) A.(0, ]　　    B.(1, ] C.[ ,2)　　    D.[ ,+∞)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设两切点分别为A,B,则|PA|=|PB|,由题意知PA⊥PB,则四边形PACB是正方形, 故|PC|= r, 因此只要直线l上存在点P,使得|PC|= r即可满足题意, 因为C(0,-2),直线l: x-y+2=0, 所以圆心C到直线l的距离d= =2≤ r,解得r≥ , 所以r的取值范围是[ ,+∞).   第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江西南昌第二中学月考]已知线段MN是圆C:(x-1)2+y2=8的一条动弦,且|MN|=2 ,若点P为直线2 x-y+6=0上的任意一点,则| + |的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C的圆心C(1,0),半径r=2 , 设动弦MN的中点为Q,连接CQ,则CQ⊥MN,所以|CQ|= = , 即点Q的轨迹是以点C为圆心, 为半径的圆, 因为点C(1,0)到直线2x-y+6=0的距离d= = > , 所以直线2x-y+6=0与点Q的轨迹相离. 连接PQ,又| + |=|2 |=2| |,| |min=d- = , 所以| + |的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2025陕西榆林期中联考]已知点P(x0,y0),直线l:x0x+y0y=1及圆C:x2+y2=1,则下列结论正确的是      ( ) A.若点P在圆C上,则l与圆C相切 B.若点P在圆x2+y2=4上,则l被圆C截得的弦长为  C.若点P在圆C外,过点P作圆C的切线,则l为过两切点的直线 D.若点P在圆C内,过点P的直线与圆C交于M,N两点(MN非直径),则圆C在M,N处的切线的交点在l上     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,点P在圆C上,则 + =1,圆心C(0,0)到l的距离d= =1, 故l与圆C相切,A正确; 对于B,点P在圆x2+y2=4上,则 + =4,又圆C的圆心C(0,0)到l的距离d= = ,所以l被圆C截得的弦 长为2 = ,B错误; 对于C,设两切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则圆C在点A,B处的切线方程分别为x1x+y1y=1,x2x+y2y=1, 因为点P在两切线上,所以x1x0+y1y0=1,x2x0+y2y0=1,所以点A,B都在直线x0x+y0y=1上,C正确; 对于D,由C可设圆C在M,N处的切线的交点为(x'0,y'0),则直线MN的方程为x'0x+y'0y=1,因为点P在该直线 上,所以x0x'0+y0y'0=1,所以点(x'0,y'0)在直线x0x+y0y=1上,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西萍乡上栗中学月考]设动直线l与☉C:(x+1)2+y2=5交于A,B两点.若|AB|既存在最大值又存在 最小值,则在下列所给的方程中,直线l的方程可以是 ( ) A.x+2y=a　　    B.ax+y=2a C.ax+y=2　　    D.x+ay=a     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得☉C的圆心C(-1,0),半径r= . 选项A,直线x+2y=a的斜率为- , 则x+2y=a为斜率为- 的直线系方程, 圆心C(-1,0)到直线x+2y=a的距离d= , 当a≤-6或a≥4时,d≥ =r,则直线与圆不相交,不满足题意,故A错误. 选项B,直线方程ax+y=2a可化为a(x-2)+y=0,则直线恒过点(2,0), 因为(2+1)2+02>5,所以点(2,0)在圆C外,故直线与圆不一定相交,故B错误. 选项C,直线ax+y=2恒过点(0,2),且点(0,2)在圆C上, 当a= 时,直线方程为x+2y-4=0,此时圆心C(-1,0)到直线x+2y-4=0的距离d= = =r,则直线与圆相 第1讲　描述运动的基本概念 切,不满足题意,故C错误. 选项D,直线方程x+ay=a可化为x+a(y-1)=0,则直线恒过点M(0,1),且点M在圆C内,故直线恒与圆C相交, 当直线过圆心C时,由点C(-1,0)在直线x+a(y-1)=0上,得a=-1,此时|AB|取得最大值; 如图,取AB的中点T,连接CT,CM,则CT⊥AB,圆心C到直线的距离d=|CT|≤|CM|,|AB|=2 =2 , 当d=|CM|,即直线与CM垂直时,由kCM= =1,得直线的斜率为- =-1, 所以a=1,此时|AB|取得最小值,故D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 题组三　直线与圆的位置关系的综合应用 9.[2026江苏无锡天一中学段考]瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心 位于同一直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC,B(- 1,3),C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x+3)2+y2=r2(r>0)相切,则下列结论正确的是 ( ) A.△ABC的“欧拉线”方程为x-y-1=0 B.若点(x,y)在圆M上,则 的最大值是7 C.圆M上的点到直线x+y-2=0的最大距离为  D.若点(x,y)在圆M上,则x+ y的最小值是-3-4      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,∵AB=AC, ∴△ABC的“欧拉线”为BC的垂直平分线, 易得BC的中点为 , 且kBC= =-1, ∴线段BC的垂直平分线的方程为y- =x- ,即x-y-1=0,故A正确; 对于B,∵△ABC的“欧拉线”与圆M:(x+3)2+y2=r2(r>0)相切, ∴圆心(-3,0)到直线x-y-1=0的距离为 =2 =r, ∴圆M的方程为(x+3)2+y2=8,  表示圆上的点(x,y)与(0,1)连线的斜率, 第1讲　描述运动的基本概念 设 =k,则y-1=kx,即kx-y+1=0, 由题意知直线kx-y+1=0与圆M:(x+3)2+y2=8有交点, 所以 ≤2 ,即k2-6k-7≤0,解得-1≤k≤7,所以 的最大值为7,故B正确; 对于C,∵圆心(-3,0)到直线x+y-2=0的距离d= = , ∴圆M上的点到直线x+y-2=0的距离的最大值为d+r= +2 = ,故C错误; 对于D,令t=x+ y,∴y= ,代入方程(x+3)2+y2=8,可得4x2+(18-2t)x+t2+3=0, ∵点(x,y)在圆M上,∴关于x的方程4x2+(18-2t)x+t2+3=0有实数根, 则Δ=(18-2t)2-4×4×(t2+3)≥0,整理得t2+6t-23≤0,解得-3-4 ≤t≤-3+4 , ∴t的最小值为-3-4 , 即x+ y的最小值为-3-4  ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西十校协作体联考]已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是圆O:x2+y2=1上位于第三象限的不同的两点,∠ AOB= ,则 + 的最大值为__________.     2      第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,作圆O:x2+y2=1及直线l:x+y- =0,过点A,O,B分别作直线l的垂线,垂足分别为C,D,E,过O作 直线AC的垂线,垂足为F,过O作直线BE的垂线,垂足为G,   点O到直线l的距离为|OD|= = ,点A到直线l的距离为|AC|= ,点B到直线l的距离为|BE|=  ,则 + =|AC|+|BE|. 第1讲　描述运动的基本概念 设∠AOF=θ , 则∠BOG= -θ. 又|OA|=|OB|=1, 所以|AF|=sin θ,|BG|=sin = cos θ+ sin θ, 则|AF|+|BG|= cos θ+ sin θ= ·sin ,当θ= 时,|AF|+|BG|取得最大值,为 , 所以|AC|+|BE|=|AF|+|BG|+2|OD|≤ +2× =2 , 故 + 的最大值为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[创新题·新情境][2026江西萍乡上栗中学月考]某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物, 该建筑物底面直径为8米,在其南面有一条东西走向的观景直道,建筑物的东西两侧有与观景直道平行 的两段辅道,观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心O的东北方向20 米的点A处有一个360°全 景摄像头,其安装高度低于建筑物的高度.   (1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道上不在该摄像头的监控范围内的长度. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)以O为原点,正东方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系, 则O(0,0),A(20,20),观景直道所在直线的方程为y=-10. 依题意得游客所在点的坐标为B(-5,0), 则直线AB的方程为 = ,化简得4x-5y+20=0, 圆心O到直线AB的距离d= = <4,故直线AB与圆O相交,所以游客不在该摄像头监控范围内. 第1讲　描述运动的基本概念   (2)由图知过点A的直线l与圆O相切或相离时,监控范围不会被景观建筑物遮挡,设直线l过A且与圆O相 切, ①若直线l垂直于x轴,则l不可能与圆O相切; ②若直线l不垂直于x轴,设l:y-20=k(x-20),整理得kx-y-20k+20=0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以圆心O到直线l的距离为 =4,解得k= 或k= , 所以直线l的方程为y-20= (x-20)或y-20= (x-20),即3x-4y+20=0或4x-3y-20=0, 设这两条直线与直线y=-10分别交于点D,E, 由 解得x=-20, 由 解得x=-2.5, 所以 =|-2.5-(-20)|=17.5, 故观景直道上不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　通过新定义“包络圆”考查直线与圆的位置关系 12.[2025江西赣州二十四校期中联考]若集合A是由满足一定条件的全体直线组成的集合,定义:若集合 A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线,且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线,则称该圆 为集合A的包络圆. (1)若圆E:x2+y2=4是集合A={(x,y)|ax+by=2}的包络圆. (i)求a,b满足的关系式; (ii)若3a+4b+t=0,求t的取值范围; (2)若集合A={(x,y)|xcos θ+(y+6)sin θ+6 =0,θ∈R}的包络圆为圆C,P是圆C上任意一点,判断y轴上是否 存在定点M,N,使得 = ,若存在,求出点M,N的坐标;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)(i)因为圆E:x2+y2=4是集合A={(x,y)|ax+by=2}的包络圆, 所以圆心E(0,0)到直线ax+by=2的距离为2, 即 =2,化简得a2+b2=1, 即a,b满足的关系式为a2+b2=1. (ii)由a2+b2=1及3a+4b+t=0,可得圆x2+y2=1与直线3x+4y+t=0有公共点, 所以 ≤1,解得-5≤t≤5,故t的取值范围是[-5,5]. (2)设C(m,n),由题意可知点C到直线xcos θ+(y+6)sin θ+6 =0的距离d为与θ无关的定值, 即d= 为与θ无关的定值, 所以m=0,n+6=0,故C(0,-6),此时d=6 , 第1讲　描述运动的基本概念 所以圆C的方程为x2+(y+6)2=72. 设P(x,y),则x2+(y+6)2=72,即x2+y2=36-12y, 假设y轴上存在定点M,N,使得 = ,设M(0,y1),N(0,y2), 则 = =  = = , 所以  解得 或  所以y轴上存在定点M(0,2),N(0,3)或M(0,-14),N(0,-15),使得 = . 第1讲　描述运动的基本概念 $