2.3 直线与圆的位置关系-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．已知直线l：x－y＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－2m＝0相离，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－，＋∞) C．(－∞，－) D．(－，－) 解析：选D．由x2＋y2－2y－2m＝0，得x2＋(y－1)2＝2m＋1，因为直线l：x－y＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－2m＝0相离，所以解得－<m<－.所以实数m的取值范围是(－，－).故选D． 2．(2024·陕西汉中检测)若直线3x＋y＋a＝0截圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5所得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析：选B．易知圆心为(－1，2)，半径r＝，而直线3x＋y＋a＝0截圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5所得的弦长为2，即为直径的长，故直线3x＋y＋a＝0过圆心，所以有3×(－1)＋2＋a＝0，解得a＝1.故选B． 3．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 解析：选B．设圆心坐标为(a，－a)，由圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切可得＝，解得a＝1，所以圆心为(1，－1)，半径r＝＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B． 4．(2024·陕西安康期中)“m＝0”是“直线3x－4y＋m＝0与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．当m＝0时，直线3x－4y＋m＝0为3x－4y＝0，则圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心(2，－1)到直线3x－4y＝0的距离d＝＝2＝r，故此时直线和圆相切；当直线3x－4y＋m＝0与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切时，则＝2，解得m＝0或m＝－20，推不出一定是m＝0，故“m＝0”是“直线3x－4y＋m＝0与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切”的充分不必要条件．故选B． 5．(2024·河南南阳期末)过坐标原点O作圆C：x2＋y2－4x＋3＝0的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝(　　) A． B． C． D．2 解析：选C．圆x2＋y2－4x＋3＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝1，其圆心为C(2，0)，半径为1，如图，由题意知，|MC|＝|CN|＝1，|OM|＝|ON|，ON⊥CN，|OC|＝2，所以sin ∠NOC＝＝，所以∠NOC＝30°，所以∠MON＝2∠NOC＝60°，且|ON|＝2cos 30°＝，所以△MON为等边三角形，所以|MN|＝|ON|＝.故选C． 6．(多选)(2024·安徽蚌埠期末)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x－2ay＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．若a≠0，则点O在圆C外 B．圆C与x轴相切 C．若圆C截x轴所得弦长为2，则a＝1 D．点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2 解析：选AD．圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－a)2＝4，圆心为C(2，a)，半径为2，对于A，若a≠0，则有(0－2)2＋(0－a)2＝a2＋4>4，即点O在圆C外，A正确；对于B，因为圆心C到x轴的距离为|a|，而|a|与2的大小关系不确定，所以圆C与x轴不一定相切，B错误；对于C，若圆C截x轴所得弦长为2，则()2＋|a|2＝22，解得a＝±1，C错误；对于D，当a＝0时，点O在圆C上，点O到圆C上一点的最大距离为4，点O到圆C上一点的最小距离为0，则4×0＝02＝a2；当a≠0时，则点O在圆C外，且|OC|＝＝，所以点O到圆C上一点的最大距离为＋2，最小距离为－2，则点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为(＋2)(－2)＝a2＋4－4＝a2.综上所述，点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2，D正确．故选AD． 7．直线l与圆P：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为________________． 解析：由圆的方程可得，圆心为P(－1，2)，所以kPC＝＝－1，故直线l的斜率k＝1，所以直线l的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0. 答案：x－y＋5＝0 8．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有________个． 解析：圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，半径为2，圆心到直线l的距离为＝＝.因此和直线l平行的圆的直径的两端点及与直线l在圆心同侧且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为，共3个点． 答案：3 9．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 解析：方法一：由题意知点A关于直线y＝a的对称点为A′，所以kA′B＝，所以直线A′B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 方法二：易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，由题意知该对称圆与直线AB有公共点．直线AB的方程为y＝x＋a，即(a－3)x－2y＋2a＝0，又对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 方法三：易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，由题意知该对称圆与直线AB有公共点．设直线AB的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋3＋2k＝0，因为对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1，所以≤1，解得－≤k≤－，又k＝，所以－≤≤－，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 答案： 10．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，求|CD|. 解：l：mx＋y＋3m－＝0变形为l：m(x＋3)＋y－＝0，令解得故直线l经过定点(－3，)，由于(－3)2＋()2＝12，故(－3，)在圆x2＋y2＝12上，不妨设为A(－3，)，x2＋y2＝12的圆心为O(0，0)，半径为2，设圆心O(0，0)到直线l的距离为d，由垂径定理可得d2＋()2＝12，解得d＝3，由点到直线距离公式可知，＝3，解得m＝－，所以直线l：－x＋y－2＝0，斜率为，倾斜角为30°，过点C作CE平行于AB，交BD于点E，则∠ECD＝30°，且|CE|＝|AB|＝2，因为过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，所以|CD|＝＝＝4. 11．已知圆O：x2＋y2＝9的弦过点P(1，2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为(　　) A．y－2＝0 B．x＋2y－5＝0 C．2x－y＝0 D．x－1＝0 解析：选B．当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1，2)的直径垂直．已知圆心O(0，0)，所以过点P(1，2)的直径所在直线的斜率k＝＝2，故所求直线的斜率为－，所以所求直线的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.故选B． 12．对于圆(x－a)2＋(y－b)2＝5上任意一点P(x，y)，若|x－2y＋m|＋|x－2y＋1|(m≠1)的值与x，y无关，则m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－9]∪[11，＋∞) C．[11，＋∞) D．[－9，11] 解析：选B．由点到直线的距离公式知点P(x，y)到直线x－2y＋m＝0与直线x－2y＋1＝0的距离分别为d1＝与d2＝，所以|x－2y＋m|＋|x－2y＋1|＝(d1＋d2)，即可表示点P(x，y)到直线x－2y＋m＝0与直线x－2y＋1＝0的距离之和的倍，若其值与x，y无关，则圆在平行线x－2y＋m＝0与x－2y＋1＝0之间，即平行线间距离d＝≥2r＝2，解得m≥11或m≤－9.故选B． 13．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝______________________________. 解析：如图所示，设D为AB的中点，则圆心C到直线AB的距离|CD|＝|AC|·sin 60°＝·|AC|，圆心C的坐标为(1，a)，半径|AC|＝2，所以d＝|CD|＝＝×2＝，即(2a－2)2＝3a2＋3，解得a＝4±. 答案：4± 14．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9，直线l：(m＋1)x－(2m＋1)y－m－2＝0. (1)求证：直线l与圆C恒有两个交点； (2)若直线l与圆C交于点A，B，求△ABC面积的最大值，并求此时直线l的方程． 解：(1)证明：因为直线l：(m＋1)x－(2m＋1)y－m－2＝0可变形为x－y－2＋m(x－2y－1)＝0，联立解得 故直线经过的定点为P(3，1).将点P(3，1)代入圆的方程有(3－1)2＋(1－2)2＝5<9，所以点P(3，1)在圆C内，所以直线l与圆C恒有两个交点． (2)由题意得C(1，2)，则|PC|＝，因为S△ABC＝|AC||BC|·sin ∠ACB，所以当∠ACB＝90°时，△ABC面积最大，此时△ABC为等腰直角三角形，△ABC面积最大值为S△ABC＝r2＝，其中r为圆C的半径．此时点C到直线l的距离d＝＝<＝|PC|，所以∠ACB可以取到90°，所以＝，解得m＝0或m＝－.故所求直线l的方程为x－y－2＝0或7x－y－20＝0. 15．已知直线l：x＋y＋2＝0与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线l1：y＝－mx(m∈R)和l2：my－x－4m＋2＝0交于点P，则△MNP的面积的最小值为(　　) A． B．5－ C．2 D．2－3 解析：选B．根据题意可知，动直线l1：mx＋y＝0过定点O(0，0)，动直线l2：my－x－4m＋2＝0，即m(y－4)＋2－x＝0过定点B(2，4)，因为m×(－1)＋1×m＝0，所以无论m取何值，都有l1⊥l2，所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为(1，2)，半径为|OB|＝，设P(x，y)，则点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1，2)到直线l的距离为＝，则点P到直线l的距离的最小值为－.由题可知M(－2，0)，N(0，－2)，则|MN|＝2，所以△MNP的面积的最小值为×2×(－)＝5－.故选B． 16．(2024·安徽淮北月考)已知圆C：x2＋(λ－2)x＋y2＋2λy＋1－λ＝0. (1)证明：圆C过定点； (2)当λ＝2时，求直线y＝x被圆C截得的弦长； (3)当λ＝2时，若直线l：y＝kx－1与圆C交于M，N两点，且·<－2，其中O为坐标原点，求k的取值范围． 解：(1)证明：由x2＋(λ－2)x＋y2＋2λy＋1－λ＝0，得x2－2x＋1＋y2＋λ(x＋2y－1)＝0，联立解得所以圆C过定点，且定点的坐标为(1，0). (2)当λ＝2时，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，则圆C的圆心(0，－2)到直线y＝x的距离d＝，所以直线y＝x被圆C截得的弦长为2＝2＝2. (3)将y＝kx－1代入x2＋(y＋2)2＝5，得(1＋k2)·x2＋2kx－4＝0.则Δ＝4k2＋16(1＋k2)＝16＋20k2>0恒成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝＋＋1<－2，整理得k2<1，则－1<k<1，所以k的取值范围是(－1，1). 学科网（北京）股份有限公司 $