1.2.3 直线与圆的位置关系 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”，涵盖位置关系判断、切线及弦长问题。通过“大漠孤烟直”诗句与太阳落山图片导入，从生活情境抽象数学问题，衔接初中圆的概念与高中代数方法处理几何问题的思想，构建学习支架。 其亮点在于以直观想象为起点，通过几何法、代数法等多种解题方法培养数学运算与逻辑推理能力，如例1用三种方法判断位置关系，例2结合几何法求切线长最值。通性通法总结帮助知识结构化，助力学生提升核心素养，也为教师提供系统教学资源。

2.3　直线与圆的位置关系 新课程标准解读 核心素养 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置 关系 直观想象、 数学运算 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代 数方法处理几何问题的思想 直观想象、 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 “大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日 落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条 直线，观察下面三幅太阳落山的图片. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）上述直线与圆的位置关系，怎样用代数方法表示？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【问题】　（1）图片中，地平线与太阳有怎样的位置关系？ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点　直线与圆的位置关系 已知直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A ， B 不全为0）和圆 C ：（ x － a ）2 ＋（ y － b ）2＝ r2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ⁠个 ⁠个 ⁠个 判 断 方 法 几何法：设圆心 C （ a ， b ）到 直线 l 的距离为 d ＝ （ A ， B 不全为0） ⁠ ⁠ ⁠ 2　 1　 0　 　 d ＜ r 　 d ＝ r 　 d ＞ r 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 位置关系 相交 相切 相离 判 断 方 法 ⁠ ⁠ ⁠ Δ＞0　 Δ＝0　 Δ＜0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【想一想】 1. 若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？ 提示：一定. 2. 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？ 提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交. （　×　） （2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切. （　√　） （3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元 后得到的一元二次方程无解. （　√　） （4）过圆外一点的直线与圆相离. （　×　） × √ √ × 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 直线 x ＋ y ＋ m ＝0与圆 x2＋ y2＝ m 相切，则 m 的值为（　　） A. 0或2 B. 2 D. 无解 解析：　由于直线与圆相切，故 ＝ ，解得 m ＝0（舍 去）或 m ＝2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 直线 y ＝2 x ＋3被圆 x2＋ y2－6 x －8 y ＝0所截得的弦长等于 ⁠. 解析：圆的方程可化为（ x －3）2＋（ y －4）2＝25.故圆心为（3， 4），半径 r ＝5.又直线方程为2 x － y ＋3＝0，所以圆心到直线的距 离为 d ＝ ＝ ，所以弦长为2 ＝2× ＝2 ＝4 . 4 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 判断直线与圆的位置关系 【例1】　直线（ a －1） x － y ＋2 a ＋1＝0（ a ∈R）与圆（ x ＋1）2＋ y2＝25的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　法一（代数法）　联立直线与圆的方程，消去 y 并整理 得（ a2－2 a ＋2） x2＋2 a （2 a －1） x ＋（2 a ＋1）2－24＝0，则 Δ＝[2 a （2 a －1）]2－4（ a2－2 a ＋2）[（2 a ＋1）2－24]＝8 （12 a2－27 a ＋23）.由于（－27）2－4×12×23＜0，则12 a2－ 27 a ＋23＞0，即Δ＞0，故直线与圆相交. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二（几何法）　圆（ x ＋1）2＋ y2＝25的圆心的坐标为（－1， 0），半径 r ＝5.圆心到直线的距离 d ＝ ＝ .而 d2－ r2＝（ ）2－52＝－2× ，由 a2－2 a ＋2＞0与12 a2－27 a ＋23＞0知 d2－ r2＜0，即 d ＜ r ，故 直线与圆相交. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法三　将直线方程化为（ x ＋2） a －（ x ＋ y －1）＝0，由 得即直线（ a －1） x － y ＋2 a ＋1＝0过定 点（－2，3）.又（－2＋1）2＋32＝10＜25，所以定点（－2，3）在 圆（ x ＋1）2＋ y2＝25的内部，故直线与圆相交. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 判断直线与圆的位置关系的方法 （1）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断； （2）几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断. 特别地当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过 圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 直线 x － ky ＋1＝0与圆 x2＋ y2＝1的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相离 C. 相交或相切 D. 相切 解析：　直线 x － ky ＋1＝0恒过定点（－1，0），而（－1，0） 在圆上，故直线与圆相切或相交. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知点（ a ， b ）在圆 C ： x2＋ y2＝ r2（ r ≠0）的外部，则直线 ax ＋ by ＝ r2与圆 C 的位置关系是（　　） A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不确定 解析：　由题意知 a2＋ b2＞ r2，且圆心到直线 ax ＋ by ＝ r2的距离 为 d ＝ ，则 d ＜ r ，故直线 ax ＋ by ＝ r2与圆 C 的位置关系是 相交. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 切线问题 【例2】　（1）若圆 C ： x2＋ y2＋2 x －4 y ＋3＝0关于直线2 ax ＋ by ＋ 6＝0对称，则由点（ a ， b ）向圆所作的切线长的最小值是（　C　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 C 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：由题意易知圆心 C （－1，2），半径长 r ＝ ，点（ a ， b ）在直线 y ＝ x －3上，所以点（ a ， b ）与圆心的距离的最小值即圆心到直线 y ＝ x －3的距离 d ，易求 d ＝ ＝3 ，所以切线长的最小值为 ＝ ＝4. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）过点 A （－1，4）作圆（ x －2）2＋（ y －3）2＝1的切线 l ，则 切线 l 的方程为 ⁠. 解析：∵（－1－2）2＋（4－3）2＝10＞1，∴点 A 在圆外. 当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程是 x ＝－1，不满足题意.当直 线 l 的斜率存在时，设直线 l 的斜率为 k ，则切线 l 的方程为 y －4 ＝ k （ x ＋1），即 kx － y ＋4＋ k ＝0.圆心（2，3）到切线 l 的距 离为 ＝1，解得 k ＝0或 k ＝－ ，因此，所求直线 l 的方程为 y ＝4或3 x ＋4 y －13＝0. y ＝4或3 x ＋4 y －13＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. 过圆上一点（ x0， y0）的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率 k ，再由垂直关系得切线的斜率为－ ，由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直 接得切线方程 y ＝ y0或 x ＝ x0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 过圆外一点（ x0， y0）的切线方程的求法 设切线方程为 y － y0＝ k （ x － x0），由圆心到直线的距离等于 半径建立方程，可求得 k ，即可得切线方程.当用此法只求出一 个方程时，另一个方程应为 x ＝ x0，因为在上面解法中不包括斜 率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方 程组的方法求解. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 求切线长（最值）的两种方法 （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量 统一成一个，转化成函数求最值； （2）几何法：把切线长（最值）问题转化为圆心到直线的距离 问题. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 过圆 x2＋ y2－2 x －4 y ＝0上一点 P （3，3）的切线方程为（　　） A. 2 x － y ＋9＝0 B. 2 x ＋ y －9＝0 C. 2 x ＋ y ＋9＝0 D. 2 x － y －9＝0 解析：　 x2＋ y2－2 x －4 y ＝0的圆心为 C （1，2）， kPC ＝ ， ∴切线的斜率 k ＝－2，∴切线方程为 y －3＝－2（ x －3），即2 x ＋ y －9＝0. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 由直线 y ＝ x ＋1上任一点向圆（ x －3）2＋ y2＝1引切线，则该切线 长的最小值为（　　） A. 1 D. 3 解析：　圆心 C （3，0）到 y ＝ x ＋1的距离 d ＝ ＝2 . 所以切线长的最小值为 l ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 弦长问题 【例3】　求直线 l ：3 x ＋ y －6＝0被圆 C ： x2＋ y2－2 y －4＝0截得的 弦长. 解：法一　圆 C ： x2＋ y2－2 y －4＝0，可化为 x2＋（ y －1）2＝5， 其圆心坐标为（0，1），半径 r ＝ . 点（0，1）到直线 l 的距离为 d ＝ ＝ ， 所以截得的弦长为2 ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　设直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点. 由得交点 A （1，3）， B （2，0）， 所以弦 AB 的长为｜ AB ｜＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【母题探究】 　（变条件，变设问）若本例改为“过点（2，0）的直线被圆 C ： x2＋ y2－2 y －4＝0截得的弦长为 ”，求该直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由例题知，圆心 C （0，1），半径 r ＝ ，又弦长为 ，所以 圆心到直线的距离 d ＝ ＝ ＝ . 又直线过点（2，0），知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为 k ，则直线方程为 y ＝ k （ x －2）， 所以 d ＝ ＝ ， 解得 k ＝－3或 k ＝ ， 所以直线方程为 y ＝－3（ x －2）或 y ＝ （ x －2）， 即3 x ＋ y －6＝0或 x －3 y －2＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求弦长常用的3种方法 （1）利用圆的半径 r ，圆心到直线的距离 d ，弦长 l 之间的关系 ＋ d2＝ r2解题； （2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标 后，直接用两点间距离公式计算弦长； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）利用弦长公式，设直线 l ： y ＝ kx ＋ b ，与圆的两交点为（ x1， y1），（ x2， y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与 系数的关系得弦长 l ＝ ｜ x1－ x2｜＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 过点（3，1）作圆（ x －2）2＋（ y －2）2＝4的弦，其中最短弦的 长为 ⁠. 解析：设点 A （3，1），易知圆心 C （2，2），半径 r ＝2.易知点 A 在圆内，当弦过点 A （3，1）且与 CA 垂直时为最短弦，｜ CA ｜＝ ＝ ，∴半弦长为 ＝ ＝ ，∴最短弦的长为2 . 2 　 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知圆 C 的圆心与点 P （－2，1）关于直线 y ＝ x ＋1对称，直 线3 x ＋4 y －11＝0与圆 C 相交于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝6， 求圆 C 的方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设点 P 关于直线 y ＝ x ＋1的对称点为 C （ m ， n ）， 则由⇒ 故圆心 C 到直线3 x ＋4 y －11＝0的距离 d ＝ ＝3， 所以圆 C 的半径的平方 r2＝ d2＋ ＝18. 故圆 C 的方程为 x2＋（ y ＋1）2＝18. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 直线 y ＝ x ＋1与圆 x2＋ y2＝1的位置关系是（　　） A. 相切 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D. 相离 解析：　∵圆心（0，0）到直线 y ＝ x ＋1的距离 d ＝ ＝ ＜1，∴直线与圆 x2＋ y2＝1相交，又（0，0）不在 y ＝ x ＋1上， ∴直线不过圆心. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 直线 x －3 y ＋3＝0与圆（ x －1）2＋（ y －3）2＝10相交所得弦长为 （　　） 解析：　圆（ x －1）2＋（ y －3）2＝10的圆心坐标为（1，3）， 半径 r ＝ ，圆心到直线 x －3 y ＋3＝0的距离 d ＝ ＝ ＝ ，故弦长为2 ＝ ，故选A. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. （多选）若直线3 x ＋4 y ＝ b 与圆 x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0相切，则 b 的值可以是（　　） A. －2 B. －12 C. 2 D. 12 解析：　圆的方程为 x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0，可化为（ x －1）2 ＋（ y －1）2＝1，由圆心（1，1）到直线3 x ＋4 y － b ＝0的距离为 ＝1，得 b ＝2或12. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 过点 P （2，3）且与圆（ x －1）2＋（ y －2）2＝1相切的直线方程 为 ⁠. 解析：∵ P （2，3）在圆（ x －1）2＋（ y －2）2＝1外，∴过点 P （2，3）与圆（ x －1）2＋（ y －2）2＝1相切的直线有两条.当斜率 存在时，设切线的斜率为 k ，则切线方程为 y －3＝ k （ x －2），即 kx － y ＋3－2 k ＝0，∴ ＝1，∴ k ＝0，∴切线方程为 y ＝3，当斜率不存在时，切线方程为 x ＝2. x ＝2或 y ＝3　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 如果一条直线经过点 M （－3，－ ）且被圆 x2＋ y2＝25所截得的弦 长为8，则这条直线方程为 ⁠. 解析：圆 x2＋ y2＝25的半径 r ＝5，直线被圆所截得的弦长 l ＝8，于 是弦心距 d ＝ ＝ ＝3.而圆心 O （0，0）到直 线 x ＝－3的距离恰为3，∴直线 x ＝－3是符合题意的一条直线.设直 线 y ＋ ＝ k （ x ＋3）也符合题意，即圆心到直线 kx － y ＋（3 k － ）＝0的距离等于3，于是 ＝3，解得 k ＝－ .∴直线方程为 3 x ＋4 y ＋15＝0.综上所述，满足题意的直线方程为 x ＝－3或3 x ＋4 y ＋15＝0. x ＝－3或3 x ＋4 y ＋15＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $