02-§2 1-2.1 圆的标准方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“圆的标准方程”核心内容，从直线方程过渡到圆的方程，通过题组设计（对标准方程的理解、点与圆的位置关系、方程求解及应用）构建递进式学习支架，帮助学生衔接前后知识，形成完整知识脉络。 其亮点在于融入新定义问题（如“镜像距离”“曼哈顿距离”）和多情境应用（如对称圆、最短路径），以数学眼光抽象数量关系，通过参数方程推导和逻辑推理培养数学思维，总结解题技法（如反射法、垂径定理）助力数学语言表达。学生能提升探究能力，教师可高效开展分层教学。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对圆的标准方程的理解 1.若直线l:y=ax-b经过第二、三、四象限,则圆C:(x-a)2+(y-b)2=1的圆心C位于 ( ) A.第一象限　　    B.第二象限 C.第三象限　　    D.第四象限     B     解析　因为直线l经过第二、三、四象限,所以a<0,-b<0,即a<0,b>0,故圆心C(a,b)位于第二象限. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025广东中山一中段考]若圆(x-a)2+(y+1)2=3关于直线5x+4y-a=0对称,则 a= ( ) A.-1　　    B.1　　    C.3　　    D.-3     B     解析　由圆的方程可知圆心坐标为(a,-1),由题意可得圆心(a,-1)在直线5x+4y-a=0上,因此5a-4-a=0,解得 a=1. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江西分宜中学开学考试]方程|x|-2= 表示的图形是( ) A.两个半圆　　    B.两个圆 C.一个圆　　    D.一个半圆     A     解析　由题意得|x|-2≥0,故x≥2或x≤-2, 当x≥2时,x-2= ,两边平方, 整理得(x-2)2+(y-1)2=1,表示以(2,1)为圆心,1为半径的圆在直线x=2上及其右侧的部分; 当x≤-2时,-x-2= ,两边平方, 整理得(x+2)2+(y-1)2=1,表示以(-2,1)为圆心,1为半径的圆在直线x=-2上及其左侧的部分. 故原方程表示两个半圆. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　点与圆的位置关系 4.[教材习题改编]已知m,n是方程x2+ x-2=0的两个不等实数根,则点P(m,n)与圆C:x2+y2=8的位置关系是  ( ) A.点P在圆内　　　    B.点P在圆上 C.点P在圆外　　　    D.无法确定     C     解析　由题意得  故m2+n2=(m+n)2-2mn=6-2×(-2)=10>8, 所以点P(m,n)在圆C:x2+y2=8外. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏南京中华中学月考]若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点在圆x2+y2=4的内部,则实数k的取值 范围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.(-2,2)     B     解析　联立 得  则两直线的交点坐标为(k-1,3k-1), 因为两直线的交点在圆x2+y2=4的内部,所以(k-1)2+(3k-1)2<4, 则5k2-4k-1<0,解得- <k<1, 故实数k的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026湖南长沙雅礼中学联考]已知圆O:x2+y2=r2(r>0),则“点A(1,0)在圆O外”是“点B(1,1)在圆O 外”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     A     解析　点A到圆心O的距离|OA|=1,点B到圆心O的距离|OB|= . 若点A在圆O外,则|OA|>r,即r<1,故r<|OB|,即点B在圆O外,充分性成立; 若点B在圆O外,则|OB|>r,即r< ,不能判断|OA|与r的大小关系,必要性不成立.故为充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江西部分学校期中]已知P(x1,y1),Q(x2,y2),定义dPQ= 为P,Q两点的“镜像距 离”.若点P(1,m)和点Q(n,-1)在圆x2+y2=4上,则P,Q两点的“镜像距离”是 ( ) A.2 或1+ 　　    B.2或2  C.2或4　　    D.1+ 或4     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得m=± ,n=± ,有四种情形: P(1, ),Q( ,-1), dPQ= =2; P(1, ),Q(- ,-1), dPQ= =4; P(1,- ),Q( ,-1), dPQ= =4; P(1,- ),Q(- ,-1), dPQ= =2. 综上所述,P,Q两点的“镜像距离”是2或4. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　圆的标准方程的求解及应用 8.[2026江西赣州中学月考]已知点A(1,1),B(5,3),则以AB为直径的圆的方程为 ( ) A.(x-2)2+(y-3)2=5　　    B.(x-2)2+(y-3)2=1 C.(x-3)2+(y-2)2=5　　    D.(x-3)2+(y-2)2=1     C     解析    解法一:因为AB为直径,所以圆心为AB的中点(3,2),半径r= = , 所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=5. 解法二:以线段AB为直径的圆的方程为(x-1)(x-5)+(y-1)(y-3)=0,化简得(x-3)2+(y-2)2=5. 二级结论　　　已知点A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026山西吕梁方山高级中学月考]在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点M(-1,3),N(2,6),且与x轴相切, 则圆心C的横坐标是 ( ) A.-10　　    B.2或-10 C.-2或10　　    D.-2     B     解析　设圆心C(a,b),因为圆C与x轴相切,所以r=|b|,故圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2. 因为该圆经过点M(-1,3),N(2,6), 所以  化简得  ①-②得b=5-a,将b=5-a代入①,得a2+8a-20=0,解得a=-10或a=2. 规律总结　设圆心C(a,b),若圆C与x轴相切,则r=|b|;若圆C与y轴相切,则r=|a|;若圆C与x轴、y轴均相切,则 r=|a|=|b|. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026湖北武汉部分学校期中]已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=3,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的 标准方程为 ( ) A.(x-2)2+(y+2)2=3　　     B.(x+2)2+(y+2)2=3 C.(x+2)2+(y-2)2=3　　     D.(x-2)2+(y-2)2=3     A     解析　圆C1的圆心C1(-1,1),半径r1= ,设C2(a,b), ∵圆C1与圆C2关于直线x-y-1=0对称, ∴ 解得  故圆C2的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=3. 第1讲　描述运动的基本概念 解题技法　　    破解圆关于直线对称的圆的方程的关键:求圆P1:(x-x1)2+(y-y1)2=r2关于直线l:Ax+By+C=0 对称的圆P2的方程的思路: (1)圆心P1和圆心P2关于直线l对称,求圆心P1(x1,y1)关于直线l对称的点P2(x2,y2), 由 (其中B≠0,x1≠x2)得P2的坐标; (2)圆关于直线对称的圆,半径不变; (3)得所求对称圆的标准方程. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江西赣州中学综合训练]在平面直角坐标系xOy中,一只蚂蚁从点M(-4,-2)出发,爬到y轴后又爬 到圆C:(x+2)2+(y-2)2=1上,则它爬行的最短路程是 ( ) A.2 -1　　    B.4　　     C.8　　    D.2 -1     A     解析　由题意得圆C的圆心C(-2,2),半径r=1,易得点M(-4,-2)关于y轴的对称点为M'(4,-2), 故所求的最短路程即为点M'到圆C上的点的最短距离,为|CM'|-r= -1=2 -1.   第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025安徽芜湖第一中学期中]若直线y=2x+a和直线y=- x+b将圆(x-1)2+(y-1)2=1的周长四等分,则a+b =_________. 解析　圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(1,1), 且直线y=2x+a与直线y=- x+b互相垂直, ∵两直线将圆的周长四等分, ∴圆心(1,1)在两条直线上, 即 解得  ∴a+b= . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　直线与直线的方程 2.1　圆的标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组　圆的标准方程的求解及其应用 1.[2026浙江精诚联盟月考]若圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为3,则实数a的取值范围是  ( ) A.(- , ) B.(- ,- )∪( , ) C.(- ,- )∪( , ) D.(- ,- )∪( , )     B     解析　圆心(0,0)到点(a,1)的距离为 , 要使圆上总存在两个点到点(a,1)的距离为3,则 -1<3< +1, 则2< <4,则3<a2<15, 解得- <a<- 或 <a< . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南京金陵中学月考]在圆的方程的探究中,有四位同学给出了结论,甲:该圆经过点(-12,-1); 乙:该圆的圆心为(2,-3);丙:该圆的半径为5;丁:该圆经过点(5,1).如果只有一位同学的结论是错误的,那么 这位同学是( ) A.甲　　    B.乙　　    C.丙　　    D.丁     A     解析　由圆上的点到圆心的距离等于半径求解. 点(-12,-1)与点(2,-3)之间的距离不为5,故甲、乙、丙不可能全部正确,故丁正确; 点(2,-3)与点(-12,-1),(5,1)之间的距离不同,故甲、乙不可能全部正确,故丙正确; 点(2,-3)与点(5,1)之间的距离为5,故乙可能正确,此时只有甲错误; 点(-12,-1)与点(5,1)之间的距离大于10,故不存在半径为5的圆同时经过点(-12,-1)和(5,1),故甲不可能正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西金溪第一中学月考]已知曲线1-x= ,则 的最大值、最小值分别为 ( ) A.5 , 　　    B.5 , -3 C. +3, 　　    D. +3, -3     B 解析　由1-x= ∈[0,3],得x∈[-2,1],将1-x= 两边平方,整理得(x-1)2+y2=9,所以曲线1-x=  表示以(1,0)为圆心,3为半径,且位于直线x=1左侧,包括(1,3)和(1,-3)两点的半圆,如图,   易得B(1,-3),C(1,3),D(1,0),  表示该半圆上的点(x,y)与点A(0,-4)之间的距离, 由(0-1)2+(-4)2>9,知点A在圆(x-1)2+y2=9外, 由图知 的最大值为|AC|=5 ,最小值为|AD|-r= -3. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西抚州临川一中期中]在平面直角坐标系中,圆O:x2+y2=1,点A ,B ,M为圆O上的动 点,则下列说法中正确的是 ( ) A.2|MA|-|MB|的最大值为  B.2|MA|+|MB|的最小值为2  C.2|MA|-|MB|的最大值为  D.2|MA|+|MB|的最小值为      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点M(x,y),则x2+y2=1. 2|MA|=2  =  =  = = . 设C(-2,0),则2|MA|= =|MC|, 易得点C在圆O外,点B在圆O内,如图所示,   第1讲　描述运动的基本概念 2|MA|-|MB|=|MC|-|MB|≤|BC|= = ,当且仅当M为线段CB的延长线与圆O的交点时取等号, 所以2|MA|-|MB|的最大值为 ; 由2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|≥|BC|= ,当且仅当M为CB与圆O的交点M1时取等号,所以2|MA|+|MB|的最小 值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026湖北荆州沙市中学月考]在平面直角坐标系xOy中,曲线C:x2+y2=9,A(-2,1),B,D在曲线C上,且AB ⊥AD,BD的中点为M,则M的轨迹方程为__________________.     (x+1)2+  =      解析　曲线C:x2+y2=9是以原点O为圆心,3为半径的圆,易得A(-2,1)在圆内. 设BD的中点M(x,y), 因为AB⊥AD,OM⊥BD,所以|OB|2=|OM|2+|BM|2=|OM|2+|AM|2(利用垂径定理和直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半来转化), 所以9=x2+y2+(x+2)2+(y-1)2, 化简得(x+1)2+ = , 故M的轨迹方程为(x+1)2+ = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西阶段性练习]在平面直角坐标系中,从点A(4,0)发出的一条光线,经直线x+y=6反射后,到达Ω: x2+y2≤2|x|+2|y|区域的边界,则光线经过反射到达Ω边界的最短总路程为___________.      -      第1讲　描述运动的基本概念 解析　设光线的反射点为P,经直线x+y=6反射后,与Ω的边界交于点B. 设点A(4,0)关于直线x+y=6的对称点为A'(x0,y0), 则 解得 则A'(6,2). 则光线经过反射到达Ω边界的总路程为|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≤|A'B|. 当x≥0,y≥0时,x2+y2≤2|x|+2|y|化为(x-1)2+(y-1)2≤2,表示圆心为C1(1,1),半径为 的圆在第一象限内及x 轴、y轴非负半轴上的部分; 当x≥0,y<0时,x2+y2≤2|x|+2|y|化为(x-1)2+(y+1)2≤2,表示圆心为C2(1,-1),半径为 的圆在第四象限内及y 轴负半轴上的部分; 当x<0,y≥0时,x2+y2≤2|x|+2|y|化为(x+1)2+(y-1)2≤2,表示圆心为C3(-1,1),半径为 的圆在第二象限内及x 第1讲　描述运动的基本概念 轴负半轴上的部分; 当x<0,y<0时,x2+y2≤2|x|+2|y|化为(x+1)2+(y+1)2≤2,表示圆心为C4(-1,-1),半径为 的圆在第三象限内的 部分. 如图,易知当点A',P,B,C1共线且B在C1与P之间时,|A'B|取得最小值,为|A'C1|- = - = -  . 故光线经过反射到达Ω边界的最短总路程为 - .   第1讲　描述运动的基本概念 7.[2024江苏淮安期中]在△ABC中,A(-4,1),B(8,5),△ABC的内心为D(6,1). (1)求△ABC内切圆的方程; (2)求△ABC外接圆的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由A(-4,1),B(8,5)可得直线AB的方程为y-1= (x+4), 即x-3y+7=0, D(6,1)到直线x-3y+7=0的距离d= = , 因此△ABC内切圆的半径为 ,圆心为D(6,1), 所以△ABC内切圆的方程为(x-6)2+(y-1)2=10. (2)设直线AB与内切圆相切于点M,内切圆半径为r,连接AD,BD,DM,如图,   第1讲　描述运动的基本概念 因为|AB|= =4 , |AM|= = =3 , 所以|BM|=|AB|-|AM|= =r, 所以∠ABD=45°,因为BD平分∠ABC, 所以∠ABC=2∠ABD=90°,因此AB⊥BC, 所以△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形. 由kAB= = ,得kBC=- =-3, 所以直线BC的方程为y=-3(x-8)+5, 因为AD平分∠BAC,AD∥x轴,所以直线AB,AC关于直线AD对称, 因此kAC=-kAB=- , 第1讲　描述运动的基本概念 因此直线AC的方程为y=- (x+4)+1, 联立直线AC,BC的方程, 得 解得  故C(11,-4), 因此AC的中点坐标为 ,即外接圆圆心为 ,又外接圆的半径为 |AC|= × =  , 故△ABC外接圆的方程为 + = . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　由新定义结合圆的标准方程引出圆的参数方程 8.[多选题][2026广东深圳实验学校统测]“曼哈顿距离”是赫尔曼·闵可夫斯基使用在几何度量空间 的几何学用语.在平面直角坐标系中,点P(x1,y1),Q(x2,y2)的曼哈顿距离为LPQ=|x1-x2|+|y1-y2|.若点P(1,2),Q为 圆C:x2+y2=4上一动点,则 ( ) A.点P(1,2),A(-1,3)的曼哈顿距离为3 B.设Q(2cos θ,2sin θ),则LPQ= C.LPQ的最小值为3-2  D.LPQ的最大值为3+2      AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,点P(1,2),A(-1,3)的曼哈顿距离为LPA=|1-(-1)|+|2-3|=2+1=3,故A正确; 对于B,若Q(2cos θ,2sin θ), 则LPQ=|2cos θ-1|+|2sin θ-2|, 易知|2sin θ-2|=2-2sin θ, 当cos θ≥ 时,LPQ=2cos θ-1+2-2sin θ=1-2(sin θ-cos θ)=1-2 sin , 当cos θ< 时,LPQ=1-2cos θ+2-2sin θ=3-2(sin θ+cos θ)=3-2 sin , 故LPQ=  故B错误; 第1讲　描述运动的基本概念 对于C,D,由B知不妨取θ∈[0,2π), 当cos θ≥ 时,θ∈ ∪ , 则θ- ∈ ∪ , 当θ- = ,即θ= 时,LPQ取得最大值,为1+2 ,当θ- = ,即θ= 时,LPQ取得最小值,为2- ; 当cos θ< 时,θ∈ , 则θ+ ∈ , 当θ+ = ,即θ= 时,LPQ取得最大值,为3+2 ,当θ+ 趋近于 ,即θ趋近于 时,LPQ趋近于2- . 综上,LPQ的最小值为2- ,LPQ的最大值为3+2 ,故C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展 圆的参数方程 　　圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程为 (θ为参数); 　　圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为 (θ为参数). 第1讲　描述运动的基本概念 $