1.2.2 圆的一般方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“圆的一般方程”，通过隧道截面、圆拱桥等生活情境导入，从圆的标准方程展开引出一般方程，搭建从已知到未知的知识衔接支架，系统梳理方程特征及表示图形的条件。 其亮点在于紧扣逻辑推理与数学运算核心素养，通过方程辨析、待定系数法求方程、轨迹方程推导等题型，结合配方法、代入法等通性通法总结，助力学生提升思维与运算能力，为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

2.2　圆的一般方程 新课程标准解读 核心素养 1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程 逻辑推理 2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部 分，圆在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（ x － a ） 2＋（ y － b ）2＝ r2展开为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，其中 D ， E ， F 均为常数. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【问题】　（1）任何一个圆的标准方程是否都可变形为关于 x ， y 的 二次项系数为1，且不含 xy 的项二元二次方程的形式？ （2）若一个形如 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的二元二次方程表示圆，则 D ， E ， F 应满足什么条件？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点　圆的一般方程 1. 圆的一般方程 当 D2＋ E2－4 F ＞0时，二元二次方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0称为 圆的一般方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0表示的图形 条件 图形 D2＋ E2－ 4 F ＜0 不表示任何图形 D2＋ E2－ 4 F ＝0 D2＋ E2－ 4 F ＞0 一个点（－ ，－ ）　 （－ ，－ ）　 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 提醒　圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特 殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的 一般方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（其中 D ， E ， F 为常数）具有 以下特点：① x2， y2项的系数均为1；②没有 xy 项；③ D2＋ E2－4 F ＞0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程 x2＋ y2＋ x ＋1＝0表示一个圆. （　×　） （2）二元二次方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0一定是某个圆的方程. （　×　） （3）若方程 x2＋ y2－2 x ＋ Ey ＋1＝0表示圆，则 E ≠0. （　√　） （4）任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. （　√　） × × √ √ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0的圆心坐标是（　　） A. （2，3） B. （－2，3） C. （－2，－3） D. （2，－3） 解析：　－ ＝2，－ ＝－3，∴圆心坐标是（2，－3）.故选D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 方程 x2＋ y2－ x ＋ y ＋ k ＝0表示一个圆，则实数 k 的取值范围 是 ⁠. 解析：方程表示圆⇔1＋1－4 k ＞0⇔ k ＜ . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 圆的一般方程的辨析 【例1】　若方程 x2＋ y2＋2 mx －2 y ＋ m2＋5 m ＝0表示圆，求： （1）实数 m 的取值范围； 解：由题意知 D2＋ E2－4 F ＝（2 m ）2＋（－2）2－4（ m2 ＋5 m ）＞0， 即4 m2＋4－4 m2－20 m ＞0， 解得 m ＜ ， 故 m 的取值范围为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）圆心坐标和半径. 解：将方程 x2＋ y2＋2 mx －2 y ＋ m2＋5 m ＝0写成标准方程 为（ x ＋ m ）2＋（ y －1）2＝1－5 m ， 故圆心坐标为（－ m ，1），半径 r ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0表示圆的两种判断方法 （1）配方法：对形如 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的二元二次方程可以通 过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆； （2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断 D2＋ E2－4 F 是 否为正，确定它是否表示圆. 提醒　在利用 D2＋ E2－4 F ＞0来判断二元二次方程是否表示圆 时，务必注意 x2及 y2的系数. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. （多选）若 x2＋ y2－ x ＋ y －2 m ＝0是一个圆的方程，则实数 m 可取 的值有（　　） B. 0 C. 1 D. 2 解析：　由题意得 D2＋ E2－4 F ＝（－1）2＋12－4×（－2 m ） ＞0，解得 m ＞－ .故选B、C、D. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 若方程 x2＋ y2＋2 ax ＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圆，则 a 的取值范围 是 ⁠. 解析：法一　方程 x2＋ y2＋2 ax ＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0可化为（ x ＋ a ）2＋（ y ＋ a ）2＝1－ a ，若它表示圆，则需满足1－ a ＞0，故 a ＜1. （－∞，1）　 法二　要使方程 x2＋ y2＋2 ax ＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圆，则需满 足（2 a ）2＋（2 a ）2－4（2 a2＋ a －1）＞0，解得 a ＜1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 求圆的一般方程 【例2】　已知△ ABC 的三个顶点为 A （1，4）， B （－2，3）， C （4，－5），求△ ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径. 解：法一　设△ ABC 的外接圆方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0， ∵ A ， B ， C 三点在圆上， ∴ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解得 ∴△ ABC 的外接圆方程为 x2＋ y2－2 x ＋2 y －23＝0， 即（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝25. ∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　∵ kAB ＝ ＝ ， kAC ＝ ＝－3， ∴ kAB · kAC ＝－1，∴ AB ⊥ AC . ∴△ ABC 是以角 A 为直角的直角三角形， ∴外心是线段 BC 的中点， 坐标为（1，－1）， r ＝ ｜ BC ｜＝5. ∴外接圆方程为（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝25. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 待定系数法求圆的方程的解题策略 （1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标 或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数 法求出 a ， b ， r ； （2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般 方程，再用待定系数法求出常数 D ， E ， F . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　求经过点 A （－2，－4）且与直线 x ＋3 y －26＝0相切于点 B （8，6）的圆的方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设所求圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，则圆心坐标为 . ∵圆与 x ＋3 y －26＝0相切于点 B ，∴ · ＝－1， 即 E －3 D －36＝0. ① ∵点 A （－2，－4）， B （8，6）在圆上，∴2 D ＋4 E － F －20 ＝0， ② 8 D ＋6 E ＋ F ＋100＝0. ③ 联立①②③，解得 D ＝－11， E ＝3， F ＝－30， 故所求圆的方程为 x2＋ y2－11 x ＋3 y －30＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 求动点的轨迹方程 【例3】　已知Rt△ ABC 的斜边为 AB ，且 A （－1，0）， B （3， 0），求： （1）直角顶点 C 的轨迹方程； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：法一　设顶点 C （ x ， y ），因为 AC ⊥ BC ，且 A ， B ， C 三点不共线，所以 x ≠3，且 x ≠－1. 又 kAC ＝ ， kBC ＝ ，且 kAC · kBC ＝－1， 所以 · ＝－1，化简得 x2＋ y2－2 x －3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋ y2－2 x －3＝0（ x ≠3，且 x ≠－1）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　同法一得 x ≠3，且 x ≠－1. 由勾股定理得｜ AC ｜2＋｜ BC ｜2＝｜ AB ｜2， 即（ x ＋1）2＋ y2＋（ x －3）2＋ y2＝16， 化简得 x2＋ y2－2 x －3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋ y2－2 x －3＝0（ x ≠3，且 x ≠－ 1）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法三　设 AB 的中点为 D ，由中点坐标公式得 D （1，0），由直角三 角形的性质知，｜ CD ｜＝ ｜ AB ｜＝2，由圆的定义知，动点 C 的轨 迹是以 D （1，0）为圆心，以2为半径的圆（由于 A ， B ， C 三点不共 线，所以应除去与 x 轴的交点）. 设 C （ x ， y ），则直角顶点 C 的轨迹方程为（ x －1）2＋ y2＝4（ x ≠3，且 x ≠－1）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程. 解：设点 M （ x ， y ），点 C （ x0， y0）， 因为 B （3，0）， M 是边 BC 的中点， 由中点坐标公式得 x ＝ （ x ≠3，且 x ≠1）， y ＝ ，于是有 x0＝2 x －3， y0＝2 y . 由（1）知，点 C 在圆（ x －1）2＋ y2＝4（ x ≠3，且 x ≠－1）上运动， 将 x0， y0代入该方程得（2 x －4）2＋（2 y ）2＝4， 即（ x －2）2＋ y2＝1.因此动点 M 的轨迹方程为（ x －2）2＋ y2＝1（ x ≠3，且 x ≠1）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 代入法求轨迹方程的一般步骤 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　已知 A （2，1）， B （－4，9），动点 P 满足∠ APB ＝90°，求动 点 P 的轨迹. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由题意，点 A （2，1）， B （－4，9），动点 P 满足∠ APB ＝90°， 所以点 P 落在以 AB 为直径的圆上，其中圆心坐标为（－1，5）， 半径为 r ＝ ｜ AB ｜＝5， 所以点 P 的轨迹方程为（ x ＋1）2＋（ y －5）2＝25，其中 x ≠2且 x ≠－4. 所以点 P 的轨迹为以（－1，5）为圆心，半径为5的圆，且除去点 A （2，1）和 B （－4，9）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 圆 x2＋ y2＋4 x －6 y －3＝0的圆心和半径分别为（　　） A. （4，－6），16 B. （2，－3），4 C. （－2，3），4 D. （2，－3），16 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 将圆 x2＋ y2－2 x －4 y ＋4＝0平分的直线是（　　） A. x ＋ y －1＝0 B. x ＋ y ＋3＝0 C. x － y ＋1＝0 D. x － y ＋3＝0 解析：　要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐 标为（1，2）.A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过 圆心，故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 若Rt△ ACB 的斜边的两端点 A ， B 的坐标分别为（－3，0）和（7， 0），则直角顶点 C 的轨迹方程为（　　） A. x2＋ y2＝25（ y ≠0） B. x2＋ y2＝25 C. （ x －2）2＋ y2＝25（ y ≠0） D. （ x －2）2＋ y2＝25 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　线段 AB 的中点坐标为（2，0），因为△ ACB 为直角三角 形， C 为直角顶点，所以点 C 到点（2，0）的距离为 ｜ AB ｜＝ 5，所以点 C （ x ， y ）满足 ＝5（ y ≠0），即（ x －2）2＋ y2＝25（ y ≠0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 已知方程 x2＋ y2－2 x ＋2 k ＋3＝0表示圆，则 k 的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：方程可化为（ x －1）2＋ y2＝－2 k －2，只有－2 k －2＞0，即 k ＜－1时才能表示圆. （－ ∞，－1）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 若曲线 C ： x2＋ y2－2 ax －4 ay ＋4 a2－3＝0上所有的点都在 x 轴上 方，则 a 的取值范围是 ⁠. 解析：曲线 C ： x2＋ y2－2 ax －4 ay ＋4 a2－3＝0可化为（ x － a ）2＋ （ y －2 a ）2＝ a2＋3，∵ a2＋3＞0，∴该曲线为圆，且圆心 C （ a ， 2 a ），半径 r ＝ ，由题得即 ∴ a ＞1. （1，＋∞）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $