第1章 1.6 第2课时 点到直线的距离公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦点到直线的距离公式这一核心知识点，从仓库到铁路的最短距离实际问题引入，通过向量法和坐标法推导公式，明确公式结构及注意事项，结合不同类型例题与跟踪训练，构建“引入-推导-理解-应用-拓展”的学习支架。 资料以实际情境培养学生数学眼光，通过两种推导方法发展数学思维，例题覆盖多种直线类型强化数学语言应用。课中助力教师分层教学，课后学生可借助练习查漏补缺，提升公式灵活应用能力。

第2课时　点到直线的距离公式 学习目标　1.理解利用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 导语 在铁路的附近，有一大型存放救灾物资的仓库，现要修建一条公路与之连接起来，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P， 怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 一、点到直线的距离公式 问题　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)，如何求出点P到直线l的距离d呢？ 提示　方法一　设M(x1，y1)是直线l上任意一点，我们可以把线段PN的长理解成向量在直线l的法向量n＝(A，B)方向上的投影向量的长度. 所以d＝ ＝ ＝. ① 因为点M(x1，y1)在直线l：Ax＋By＋C＝0上， 所以Ax1＋By1＋C＝0，A(x1－x0)＋B(y1－y0)＝Ax1＋By1－(Ax0＋By0)＝－C－Ax0－By0. ② 将②代入①，我们就得到了点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(其中A，B不全为0). 方法二　设过点P且垂直于直线l的直线为l1，易求直线l1的方程，并与l联立方程组即得交点N，故而求得d. 知识梳理 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(其中A，B不全为0). 注意点 (1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离. (2)公式中的点P是任意一点，当点P是原点时，d＝；当点P在直线上时，点P到直线的距离为0，距离公式仍然成立. (3)点到直线的距离是该点与直线上任意一点之间的距离中的最小值. 例1　(课本例23)　求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x+4y－1＝0； (2)y＝2x+3； (3)2x+5＝0. 解　(1)根据点到直线的距离公式，得 d＝. 即点P(－2，1)到直线3x+4y－1＝0的距离为. (2)直线方程y＝2x+3可化为一般式2x－y+3＝0. 根据点到直线的距离公式，得 d＝. 即点P(－2，1)到直线y＝2x+3的距离为. (3)直线方程2x+5＝0可化为x＝－，这条直线垂直于x轴，所以 d＝. 即点P(－2，1)到直线2x+5＝0的距离为. 例1　求点P0(－1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. 解　(1)由点到直线的距离公式知 d＝＝2. (2)方法一　直线方程化为一般式为x－2＝0. 由点到直线的距离公式知d＝＝3. 方法二　因为直线x＝2与y轴平行， 所以由图①知d＝|－1－2|＝3. (3)方法一　由点到直线的距离公式得d＝＝1. 方法二　因为直线y－1＝0与x轴平行， 所以由图②知d＝|2－1|＝1. 反思感悟　(1)直线要化为一般式，再用公式； (2)当直线垂直于坐标轴，数形结合求解更方便. 跟踪训练1　已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，6)，B(－4，3)，C(2，－3)，则点A到BC边的距离为　　　　　　　　　. 答案　 解析　由直线方程的两点式， 得BC的方程为， 即x＋y＋1＝0， ∴点A到BC边的距离d＝. 二、点到直线的距离公式的简单应用 例2　若直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到l的距离相等，则直线l的方程是(　　) A.4x＋y－6＝0 B.x＋4y－6＝0 C.3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0 D.2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0 答案　C 解析　方法一　由题意可得kMN＝＝－4，线段MN的中点为C(3，－1)，满足条件的直线l经过线段MN的中点或与直线MN平行. 当直线l经过线段MN的中点时， 由两点式可得直线l的方程为， 即3x＋2y－7＝0； 当直线l与MN平行时，kl＝kMN＝－4， 由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－4(x－1)， 即4x＋y－6＝0. 综上，直线l的方程为3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0. 方法二　显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 根据条件有 解得或 故直线l的方程为3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0. 反思感悟　若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可. 跟踪训练2　(多选)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　AD 解析　由题意得＝1， 解得a＝或a＝－. 三、点到直线的距离公式的综合应用 例3　已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程. 解　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0， 由点到直线的距离公式得＝2， 解得k＝， 所以直线l的方程为3x－4y－10＝0. 故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. 延伸探究　求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 解　设原点为O，连接OP(图略)， 易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线. 由l⊥OP，得kl·kOP＝－1， 所以kl＝－＝2， 所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0， 即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，最大距离为. 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 跟踪训练3　已知平行四边形ABCD，A(1，2)，B(2，4)，C，求： (1)点D的坐标及点A到直线CD的距离； (2)平行四边形ABCD的面积. 解　(1)设点D(x0，y0)，则线段BD的中点坐标为， 依题意，得线段AC的中点坐标为， 由平行四边形的性质知 解得所以D. 直线CD的斜率k＝＝2， 直线CD的方程为y－5＝2， 即2x－y＋4＝0， 所以点A(1，2)到直线CD的距离 d＝. (2)由(1)知，线段CD的长 |CD|＝， 所以平行四边形ABCD的面积S＝|CD|·d＝×＝4. 1.知识清单： (1)点到直线的距离公式的推导过程. (2)点到直线的距离公式d＝(其中A，B不全为0). (3)点到直线的距离公式的应用. 2.方法归纳：公式法、数形结合法. 3.常见误区：设直线方程时忽略斜率是否存在. 1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A.1 B. C.2 D. 答案　D 2.(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　) A.0 B. C.3 D.2 答案　AB 解析　点M到直线l的距离d＝＝3， 解得m＝0或. 3.已知点M(1，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　) A. B. C. D.3 答案　B 解析　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值， 所以|MP|的最小值为. 4.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，则△ABC的面积S＝　　　　. 答案　4 解析　由直线方程的两点式得直线BC的方程为，即x－2y＋3＝0. 由两点间的距离公式得 |BC|＝＝2，设点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高， 则d＝. 所以S＝|BC|·d＝×2×＝4， 即△ABC的面积为4. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A.3 B. C.1 D. 答案　B 解析　方法一　点P(1，－1)到直线l的距离 d＝. 方法二　如图所示，则d＝－(－1)＝. 2.点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　直线y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0， 由点到直线的距离公式得d＝. 3.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A. B.－1 C.＋1 D.2－ 答案　B 解析　由点到直线的距离公式，得1＝， 即|a＋1|＝. 因为a>0，所以a＝－1，故选B. 4.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是(　　) A. B. C.2 D. 答案　C 解析　|OP|最小即OP⊥l， 所以|OP|min＝＝2. 5.(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为(　　) A.4x＋3y－3＝0 B.4x＋3y＋17＝0 C.4x－3y－3＝0 D.4x－3y＋17＝0 答案　AB 解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则＝2， 即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 6.(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y＝x＋1 B.y＝2 C.y＝x D.y＝2x＋1 答案　BC 解析　对于A，d1＝＝3>4； 对于B，d2＝2<4； 对于C，d3＝＝4； 对于D，d4＝>4， 所以符合条件的是B，C选项. 7.(5分)倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　. 答案　x－y＋10＝0或x－y－10＝0 解析　因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b， 化为一般式得x－y＋b＝0. 由直线与原点的距离为5， 得＝5，即|b|＝10. 所以b＝±10.所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0. 8.(5分)经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为　　　　. 答案　2 解析　设所求直线的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0， 因为原点到直线的距离d＝＝1，所以λ＝±3， 即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0， 所以和原点相距为1的直线的条数为2. 9.(10分)已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3，1)到该直线的距离为，求该直线的方程. 解　当直线在两坐标轴上的截距相等且为0， 即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx， 即kx－y＝0，由已知得， 整理得7k2－6k－1＝0， 解得k＝－或k＝1， 所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时， 设直线的方程为x＋y＝a， 由题意得，整理得|a－4|＝2， 解得a＝6或a＝2， 所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 10.(10分)已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(－1，0)，B(1，0)，C(0，2). (1)求点A到BC边所在直线的距离d；(4分) (2)求证：AB边上任意一点P到直线AC，BC的距离之和等于d.(6分) (1)解　因为B(1，0)，C(0，2)， 所以由截距式可得直线BC的方程为x＋＝1，即2x＋y－2＝0. 由点到直线的距离公式，得点A(－1，0)到BC边所在直线的距离d＝. (2)证明　设P(t，0)为AB边上任意一点，则－1≤t≤1. 由A(－1，0)，C(0，2)可得直线AC的方程是－x＋＝1，即2x－y＋2＝0， 所以点P到直线AC的距离d1＝(t＋1)，点P到直线BC的距离d2＝(1－t)，所以d1＋d2＝＝d，即AB边上任意一点P到直线AC，BC的距离之和等于d. 11.当点P(2，3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　) A.3，－3 B.5，2 C.5，1 D.7，1 答案　C 解析　直线l恒过点A(－3，3)， 根据已知条件可知，当直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1. 12.(多选)已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为(　　) A.(－1，0) B. C.(1，6) D. 答案　AB 解析　由|AB|＝＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(m，n)，又直线AB的方程为， 即3x＋4y－17＝0， 所以 解得或 故点C的坐标为(－1，0)或. 13.(5分)在△ABC中，A(3，3)，B(2，－2)，C(－7，1)，则∠BAC的平分线AD所在直线的方程为　　　　　　. 答案　y＝x 解析　设M(x，y)为∠BAC的平分线AD上的任意一点，由已知可求得AC边所在直线的方程为x－5y＋12＝0，AB边所在直线的方程为5x－y－12＝0. 由角平分线的性质得， 所以x－5y＋12＝5x－y－12或x－5y＋12＝y－5x＋12， 即y＝－x＋6或y＝x. 结合图形，可知kAC<kAD<kAB，即<kAD<5， 所以y＝－x＋6不符合题意，舍去. 故∠BAC的平分线AD所在直线的方程为y＝x. 14.(5分)已知x＋y－3＝0，则的最小值为　　　　. 答案　 解析　设P(x，y)，A(2，－1)， 则点P在直线x＋y－3＝0上， 且＝|PA|. |PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝. 15.(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.设点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，(　　) A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l可能重合 C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D.若d1d2<0，则直线P1P2与直线l相交 答案　BD 解析　设点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则d1＝，d2＝， 若d1－d2＝0，则d1＝d2， 即， 所以Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C， 若d1＝d2＝0，即Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0， 则点P1，P2都在直线l上， 此时直线P1P2与直线l重合， 故选项A，C错误，选项B正确； 当d1d2<0时，P1，P2在直线l的两侧， 则直线P1P2与直线l相交，故选项D正确. 16.(11分)已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；(5分) (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系.(6分) 解　(1)当a＝0时，直线m：－x＋3y＋6＝0， 联立解得 即m与n的交点为(－21，－9). 当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0； 当直线l不过原点时，设l的方程为＝1， 将(－21，－9)代入得b＝－12， 所以直线l的方程为x－y＋12＝0， 故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. (2)设原点O到直线m的距离为d， 则d＝， 解得a＝－或a＝－， 当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n； 当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n. 学科网（北京）股份有限公司 $