第一章 1.6 第1课时 两点间的距离公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦平面直角坐标系中两点间的距离公式，先关联数轴上两点距离公式，通过问题链从与坐标轴平行的特殊情况过渡到一般情况，用勾股定理推导公式，形成从具体到抽象的学习支架，为解决三角形形状判断、参数求解等问题奠定基础。 以公交站点选址情境引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过分层例题和变式训练（如等腰直角三角形判断、参数值求解），发展数学思维中的推理能力，规范的解题步骤助力数学语言表达。课中辅助教师引导知识建构，课后习题帮助学生巩固提升，查漏补缺。

1．6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 [学习目标]　1.掌握两点间的距离公式.2.会利用两点间的距离公式解决一些相关的问题． 导语 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 一、两点间的距离公式 问题1　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示　|AB|＝|xB－xA|. 问题2　已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 提示　(1)当AB与x轴平行时， |AB|＝|x2－x1|； (2)当AB与y轴平行时，|AB|＝|y2－y1|； (3)当AB与坐标轴不平行时，如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|BC|2＋|AC|2， 所以|AB|＝. 知识梳理 点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|AB|＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)用向量知识分析，|AB|可以理解为向量的长度．也可以理解为向量分别在x轴和y轴上的投影数量的绝对值，分别为|AC|＝|x2－x1|，|CB|＝|y2－y1|.再由勾股定理求|AB|. 例1　(1)在数轴上有两点A，B，点A(－1)，|AB|＝6，那么AB的中点C的坐标为(　　) A．2 B．－4 C．3或－3 D．2或－4 答案　D 解析　设B(x1)，C(x0)， ∵|AB|＝|x1－(－1)|＝|x1＋1|＝6， ∴x1＝5或x1＝－7， 又C(x0)为AB的中点， ∴x0＝＝，∴x0＝2或－4. (2)已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． 解　方法一　∵|AB|＝＝＝2， |AC|＝＝＝2， 又|BC|＝＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝＝2， |AB|＝＝＝2， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形． 反思感悟　计算两点间的距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， 则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． 跟踪训练1　(1)在数轴上从点A(－2)引一线段到点B(1)，再同向延长同样的长度到点C，则点C的坐标为(　　) A．13 B．0 C．4 D．－2 答案　C 解析　如图所示，故C(4)为所求． (2)已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则的值为(　　) A. B. C．3 D．2 答案　D 解析　|AC|＝＝4， |CB|＝＝2， 则＝＝2. 二、由两点间的距离求参数的值 例2　若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________． 答案　(2,10)或(－10,10) 解析　由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.设点M的坐标为(xM，±10)． 由两点间的距离公式， 得|MN|＝＝10或|MN|＝＝10， 解得xM＝－10或xM＝2， 所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10)． 延伸探究　将本例中“点M到x轴”改为“点M到y轴”，其他条件不变，求点M的坐标． 解　由点M到y轴的距离等于10可知，其横坐标为±10.设点M的坐标为(±10，yM)， 由两点间的距离公式得 |MN|＝＝10， 或|MN|＝＝10， 解得yM＝－6或10. 所以点M的坐标为(－10，－6)或(－10,10)． 反思感悟　根据两点间的距离公式得到所求参数的方程，注意含有根号需要平方，方能求解． 跟踪训练2　已知A(a,3)，B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值． 解　|AB|＝ ＝＝5， 即(a－3)2＋(3a)2＝25， 展开得a2－6a＋9＋9a2＝25， 即10a2－6a－16＝0， 即5a2－3a－8＝0， 解得a＝－1或a＝， 因此a的值为－1或. 三、由两点间的距离求直线方程 例3　已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝kx＋1上的两点，若|x2－x1|＝3，且|AB|＝6，求直线l的方程． 解　由题意可知y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1， ∴y1－y2＝k(x1－x2)， ∵|x2－x1|＝3，∴(x2－x1)2＝9， ∴(y2－y1)2＝k2(x1－x2)2＝9k2， ∵|AB|＝ ＝＝6， ∴k2＝3， 解得k＝±， 故直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1. 反思感悟　从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法可以优化解题过程．这些解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形的几何性质，如对称、线段垂直平分线的性质等，同样是很重要的． 跟踪训练3　已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程． 解　设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则两式相减， 得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.① 由已知及两点间的距离公式，得 (x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25.② 由①②解得或 又点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l上， 因此直线l的斜率为0或不存在．因为直线l过点P(3,1)，所以直线l的方程为y＝1或x＝3. 1．知识清单：两点间的距离公式． 2．方法归纳：待定系数法、坐标法． 3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解． 1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　) A．5 B. C. D．4 答案　A 解析　|MN|＝＝5. 2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 答案　B 解析　∵P(1,1)，Q(5,5)， ∴|PQ|＝＝4. 3．到点A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　) A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0 答案　B 解析　设P(x，y)，因为点P到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等， 则|PA|＝|PB| 即＝， 化简整理得3x＋y＋4＝0. 4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(4,3)，B(5,2)，C(1，0)，平面内的点P满足|PA|＝|PB|＝|PC|，则点P的坐标为____________． 答案　(3,1) 解析　设点P的坐标为(x，y)， 由 可得 解得 因此，点P的坐标为(3,1). 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为(　　) A．10 B．5 C．8 D．6 答案　A 解析　设A(a,0)，B(0，b)， 则a＝6，b＝8， 即A(6,0)，B(0,8)， 所以|AB|＝＝10. 2．(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离 答案　BCD 解析　＝ ＝＝， 可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项BCD正确． 3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是(　　) A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋ 答案　C 解析　由两点间距离公式得 |AB|＝＝3， |BC|＝＝3， |CA|＝＝3. 故△ABC的周长为6＋3. 4．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　C 解析　由中点坐标公式可得，BC边的中点D. 由两点间的距离公式得 |AD|＝＝. 5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B， 由两点间的距离公式，得|AB|＝. 6．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)， ∴|AB|＝ ＝＝ ＝， ∴当a＝时，|AB|取得最小值． 7．(5分)过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，则|AB|＝__________. 答案　2 解析　因为过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直， 所以kAB＝＝1，即a－b＝2， 所以|AB|＝＝＝2. 8．(5分)在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则点Q的坐标为________． 答案　(10,0)或(0,0) 解析　设Q(x0,0)，则有 13＝，得x0＝0或x0＝10， 即点Q的坐标为(10,0)或(0,0)． 9．(10分)已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值． 解　由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中， 令y＝0，得x＝，则A； 令x＝0，得y＝，则B， 故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴＝， 解得a＝±2. 10．(11分)已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 解　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y＋1＝k(x－1)， 解方程组得 即B. 由|AB|＝ ＝5， 解得k＝－， 所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)， 即3x＋4y＋1＝0. 当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1. 此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意． 综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. 11．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是(　　) A．(－4,5) B．(－1,2) C．(－3,4) D．(4,5) 答案　BC 解析　设所求点的坐标为(x0，y0)， 则x0＋y0－1＝0，且＝， 两式联立解得或 12．直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是(　　) A. B．2 C．2 D．4 答案　C 解析　因为l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q， 所以|OQ|＝ ＝＝， 当m＝0时，|OQ|max＝2， 所以|OQ|的最大值是2. 13．已知点A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，则四边形ABCD的形状为(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形 答案　D 解析　由两点间的距离公式可得， |AB|＝＝， |BC|＝＝， |CD|＝＝， |DA|＝＝， 所以|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DA|. 又|AC|＝＝， |BD|＝＝， 所以|AC|＝|BD|， 故四边形ABCD是正方形． 14．(5分)已知点M(4,3)，过原点的直线l与直线y＝3交于点A，若|AM|＝2，则直线l的方程为________________． 答案　x－2y＝0或3x－2y＝0 解析　设点A的坐标为(t,3)， 则|AM|＝＝2， 解得t＝2或t＝6. 当t＝2时，点A的坐标为(2,3)， 则直线l的斜率为， 此时直线l的方程为y＝x，即3x－2y＝0； 当t＝6时，点A的坐标为(6,3)， 则直线l的斜率为， 此时直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0. 综上所述，直线l的方程为x－2y＝0或3x－2y＝0. 15．在平面直角坐标系内有四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1，5)，D(－2,2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为(　　) A．10 B.＋ C．14 D.＋ 答案　D 解析　依题意可知，四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)构成一个四边形ABCD， 因为|PA|＋|PC|≥|AC|， 当且仅当P在对角线AC上时取得等号， 因为|PB|＋|PD|≥|BD|， 当且仅当P在对角线BD上时取得等号， 所以|PA|＋|PC|＋|PB|＋|PD|≥|AC|＋|BD| ＝＋ ＝＋， 当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号． 故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为＋. 16．(12分)已知AO是△ABC的边BC的中线，用坐标法证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 证明　取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设A(m，n)，B(－a,0)，C(a,0)(其中a>0)，则 |AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)， |AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 学科网（北京）股份有限公司 $