第一章 1.6 第3课时 两条平行直线间的距离公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本高中数学讲义聚焦两条平行直线间的距离公式，衔接两点间距离、点到直线距离公式，通过转化思想推导公式，系统呈现公式应用于求距离、参数及最值问题的学习支架。 资料以问题驱动公式推导，培养数学观察与逻辑推理能力，结合数形结合解决最值问题，知识梳理与分层练习助力教师授课，学生课后可回顾强化，有效弥补知识盲点。

第3课时　两条平行直线间的距离公式 [学习目标]　1.理解两条平行直线间的距离公式的推导.2.会求两条平行直线间的距离． 导语 前面我们已经学习了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的． 一、两条平行直线间的距离 问题　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离(其中A，B不全为0，且C1≠C2)? 提示　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离，即d＝， 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝＝＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． 知识梳理 1．两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． 注意点： (1)两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两条平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 例1　(1)求两条平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． 解　由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0， 所以d＝＝＝. (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则|AB|等于(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两条平行线间的距离公式， 得|AB|＝＝. 反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)，则两条平行直线间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． 跟踪训练1　已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C. D．4 答案　A 解析　由两条直线平行可得＝(m≠0)， 解得m＝24. 则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0， 由两条平行直线间的距离公式得 d＝＝1. 二、由平行直线间的距离求参数 例2　已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程是________． 答案　2x－y＋1＝0 解析　方法一　由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0， 则有＝， 即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1， 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 方法二　由题意知直线l必介于直线l1与直线l2中间， 故设直线l的方程为2x－y＋c＝0， 则c＝＝1. 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 反思感悟　由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题． 跟踪训练2　(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为2，则实数C的值为(　　) A．9 B．－9 C．11 D．－11 答案　BC 解析　∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为2，∴＝2， 解得C＝11或C＝－9. 三、平行直线间的距离的最值问题 例3　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 解　(1)如图， 显然有0<d≤|AB|. 又|AB|＝＝3. 故所求的d的变化范围为(0,3]． (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直． 又kAB＝＝， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 跟踪训练3　已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________． 答案　x＋2y－3＝0 解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 因为A(1,1)，B(0，－1)． 所以kAB＝＝2， 所以两条平行直线l1，l2的斜率为－， 所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 1．知识清单： (1)两条平行直线间的距离． (2)两条平行直线间的距离的最值问题． 2．方法归纳：数形结合法、解方程(组)法． 3．常见误区：运用两条平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 2．两条直线y＝x,6x－4y＋13＝0之间的距离为(　　) A. B. C. D．13 答案　B 解析　两条直线的方程分别为3x－2y＝0,3x－2y＋＝0，所以两条直线之间的距离d＝＝. 3．两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为2，则c等于(　　) A．0或40 B．10或30 C．－20或10 D．－20或40 答案　B 解析　由题意可得，＝2， 即|20－c|＝10， 解得c＝10或c＝30. 4．与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0，l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程为____________． 答案　2x－3y＋1＝0 解析　由题意设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0(C≠4且C≠－2)． 由直线l与两条平行线的距离相等，得＝， 即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1. 故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1．两平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于(　　) A．1 B．0 C. D．3 答案　A 解析　l1，l2的距离为d＝＝1. 2．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　10x＋24y＋5＝0可化为5x＋12y＋＝0. 由平行线间的距离公式可得d＝＝. 3．已知点A(0,0)和B(1,1)，点C为直线l：x－y＋2＝0上一点，则△ABC的面积为(　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　A 解析　由点A(0,0)和B(1,1)，可得|AB|＝，直线AB：x－y＝0， 又点C为直线l：x－y＋2＝0上一点， 所以AB∥l，所以点C到直线AB的距离为＝， 所以△ABC的面积为××＝1. 4．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行， 则3＝a(a－2)， 即a2－2a－3＝0， 解得a＝3或a＝－1， 当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合； 当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行， 两直线之间的距离为＝. 5．(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程可能为(　　) A．2x－y＝0 B．2x＋y－2＝0 C．2x＋y＝0 D．2x＋y＋2＝0 答案　CD 解析　因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0的距离为， 所以可得所求直线与已知直线平行， 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)， 则d＝＝， 解得c＝0或c＝2， 故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 6．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　　) A．3 B．－17 C．－3 D．17 答案　AB 解析　由题意知，n≠0，－＝，所以n＝－4， 所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0， 由两平行直线间的距离公式得 ＝2， 解得m＝7或m＝－13， 所以m＋n＝3或m＋n＝－17. 7．(5分)两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是______________． 答案　0<d≤5 解析　当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|＝5，所以0<d≤5. 8．(5分)与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为____________． 答案　x＋y＝0或x＋y－10＝0 解析　易知l1∥l2，且它们之间的距离 d＝＝. 设所求直线为l4，则l4∥l3， 所以可设l4：x＋y＋c＝0(c≠－5)， 则＝， 解得c＝0或－10， 所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0. 9．(10分)(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；(5分) (2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线方程．(5分) 解　(1)设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－2)． 由题意知＝1， 解得m＝3或－7， 所以所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0. (2)设所求直线方程为3x－y＋c＝0，由题意， 可得点P到直线的距离等于， 即d＝＝， 解得c＝9或c＝－3， 所以所求直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 10．(10分)设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0. (1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；(5分) (2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．(5分) 解　(1)若l1∥l2，则m≠0， ∴＝－，∴m＝6， ∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0， ∴l1，l2之间的距离d＝＝. (2)由题意，得 ∴0＜m＜3， 直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S＝m(3－m)＝－2＋， ∴当m＝时，S的最大值为， 此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0. 11．已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为(　　) A. B. C.或 D．0或 答案　B 解析　∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等， ∴＝，解得m＝2， ∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0， 则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为 ＝. 12．(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为 (　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案　ABC 解析　当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为 |PQ|＝＝5， 所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5]． 13．正方形ABCD的中心为点O(－1,0)，AB边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，则CD边所在的直线方程为(　　) A．x＋3y＋7＝0 B．3x－y－3＝0 C．3x－y＋9＝0 D．x＋3y－27＝0 答案　A 解析　点O(－1,0)到直线x＋3y－5＝0的距离 d＝＝， 设与边AB平行的边CD所在直线的方程是 x＋3y＋m＝0(m≠－5)， 则点O(－1,0)到直线x＋3y＋m＝0的距离 d＝＝， 解得m＝－5(舍去)或m＝7， 所以CD边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 14．(5分)若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________． 答案　15°或75° 解析　由两平行直线间的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0间的距离为d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 15.(5分)如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则直线l2的方程为________________． 答案　x＋y－3＝0 解析　设直线l2的方程为y＝－x＋b(b>1)， 由题图知A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)． 所以AD＝，BC＝b. 梯形的高h就是两平行直线l1与l2间的距离， 故h＝＝(b>1)， 由梯形面积公式得×＝4， 所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3. 所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0. 16．(12分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值；(4分) (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．(8分) 解　(1)l2的方程即为2x－y－＝0， ∴l1和l2间的距离d＝＝， ∴＝.∵a>0，∴a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上， 且＝×， 即c＝或c＝. ∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得 ＝•， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. ∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意． 联立方程 解得x0＝－3，y0＝，应舍去． 联立 解得x0＝，y0＝. ∴P即为同时满足三个条件的点． 学科网（北京）股份有限公司 $