01-§1 04-1.5 两条直线的交点坐标（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点坐标”，涵盖基础计算、三线位置关系及三角形、平行四边形中的应用。课堂从直线方程回顾切入，通过题组训练构建从概念理解到综合应用的学习支架，衔接直线方程与后续几何问题。 其亮点在于分层设计（基础过关、能力提升、创新题型），融入数学思维（推理运算）与数学语言（模型应用），如用向量法求夹角、欧拉线定义探究等实例。采用一题多解与规律总结，助力学生提升逻辑推理与问题解决能力，为教师提供系统教学资源与分层教学思路。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　直线与直线的方程 1.5　两条直线的交点坐标 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　两条直线的交点坐标及其应用 1.[2026河北承德双滦实验中学月考]直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,若l1与l2只有一个公共点,则  ( ) A.A1B1-A2B2=0　　    B.A1B2-A2B1≠0 C. ≠ 　　    D. ≠      B     解析　若l1与l2只有一个公共点,则l1与l2相交,故A1B2≠A2B1,即A1B2-A2B1≠0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏镇江学情调研]若三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3-a不能构成三角形,则实数a的所有可能取值 组成的集合为________________.     {3,1,-1}     解析　当三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3-a交于同一点时,不能构成三角形, 联立 解得 将(0,0)代入x+ay=3-a,得3-a=0,解得a=3; 当直线x+ay=3-a与x+y=0平行时,不能构成三角形,此时a=1; 当直线x+ay=3-a与x-y=0平行时,不能构成三角形,此时a=-1. 综上,实数a的所有可能取值组成的集合为{3,1,-1}. 规律总结　当三条直线不能构成三角形时,三条直线交于同一点,或其中两条直线平行,或三条直线平行. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西南昌师范大学附属中学素养测试]若直线l:y=kx- 与直线x+y-3=0相交,且交点位于第一象 限,则直线l的倾斜角θ的取值范围是_________.(用弧度制表示) 解析　由两直线相交知k≠-1,联立 解得  则两直线的交点坐标为 . 因为交点位于第一象限,所以 解得k> ,又k=tan θ , 所以 <θ< . 故倾斜角θ的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏泰州兴化期中]若直线l1:2x-y+1=0与x轴交于点A,直线l2:x-3y-3=0与x轴交于点B,直线l1与l2交 于点P,则∠APB=_________. 解析　对于2x-y+1=0,令y=0,得x=- ,故A , 对于x-3y-3=0,令y=0,得x=3,故B(3,0), 由 得  所以P ,所以 = , = ,所以cos< , >=  = = ,所以∠APB= . 第1讲　描述运动的基本概念 小题速解　易得直线l1的斜率k1=2,直线l2的斜率k2= ,且∠APB为直线l1与l2的夹角,由夹角公式可得tan∠ APB= = =1,故∠APB= . 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　　　夹角公式与到角公式 1.到角与夹角的定义 　　当直线l1与l2相交时,把l1绕着l1与l2的交点按逆时针方向旋转到与l2首次重合时所转的角记作θ,则θ 叫作l1到l2的角,l2到l1的角就是π-θ,其中θ∈[0,π); 　　当直线l1与l2相交时,直线l1与l2相交所成的四个角中最小的正角,记作α,则α叫作直线l1与l2的夹角,其 中α∈  . 2.到角公式与夹角公式 　　若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 (1)直线l1到l2的角θ满足tan θ=  ,θ∈[0,π),若tan θ不存在,则θ= ; (2)直线l1与l2的夹角α满足tan α=   ,α∈  ,若tan α不存在,则α= . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西上饶蓝天中学月考]已知△ABC的三个顶点分别为A(1,1),B(-1,-3),C(3,-1). (1)若CE⊥AB,且E为垂足,求点E的坐标; (2)过△ABC内一点P(1,0)有一条直线l与边AB,AC分别交于点M,N,且点P是线段MN的中点,求直线l的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得kAB= =2, 则AB边上的高所在直线的斜率为- , ∴直线AB的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0, AB边上的高所在直线的方程为y+1=- (x-3),即x+2y-1=0, 联立 解得  ∴E . (2)由题知kAC= =-1,∴直线AC的方程为y-1=-1×(x-1),即x+y-2=0. 设M(x0,y0),由点P(1,0)是线段MN的中点,得N(2-x0,-y0), 第1讲　描述运动的基本概念 ∵点M,N分别在直线AB,AC上, ∴ 解得  ∴M , ∴直线l的斜率kl= = , ∴直线l的方程为y-0= (x-1), 即x-2y-1=0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　过两直线交点的直线方程 6.[教材习题改编]已知直线l1:x-y+1=0,l2:2x-y-1=0,则过l1和l2的交点且与直线3x+4y=0垂直的直线的方程 为 ( ) A.3x-4y-1=0　　    B.3x-4y+1=0 C.4x-3y-1=0　　    D.4x-3y+1=0     D     解析　联立 解得  所以l1和l2的交点坐标为(2,3). 解法一:直线3x+4y=0的斜率为- , 故所求直线的斜率为 ,故所求直线的方程为y-3= (x-2),即4x-3y+1=0. 解法二:过点(2,3)且与直线3x+4y=0垂直的直线的方程为4(x-2)-3(y-3)=0,化简得4x-3y+1=0. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[教材习题改编]在平面直角坐标系xOy中,过直线l1:7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点,且在y轴上的截距 为1的直线l的方程为_________________.(写成一般式)     9x+5y-5=0     解析    解法一:由  得 即直线l1与l2的交点坐标为 ,又直线l过点(0,1),所以直线l的方程为 = ,即9x+5 y-5=0. 解法二:由题设,可令直线l的方程为7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0, 因为直线l过点(0,1), 所以0-3+1+λ(0+4-3)=0,解得λ=2,故直线l的方程为9x+5y-5=0. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏兴化中学学情调研]已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别为x+y-1=0,3x-y+4=0,且 它的对角线的交点是M(3,3),则这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是____________________.     x+y-11=0,3x-y-16=0     解析　由 解得  则平行四边形的一个顶点的坐标为 ,记为A, 点A关于点M的对称点的坐标为 ,记为C,则平行四边形的另两边所在的直线均过点C, 它们分别与直线x+y-1=0,3x-y+4=0平行, 设对应方程分别为x+y-m=0,3x-y+n=0,m≠1,n≠4, 则 + -m=0,3× - +n=0,解得m=11,n=-16, 所以这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是x+y-11=0,3x-y-16=0. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026湖南永州第四中学月考]已知△ABC的顶点B(5,1),AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0. (1)求直线AB的方程; (2)在下面两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. ①角A的平分线所在的直线方程为x+2y-13=0; ②BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0.,求直线AC的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)直线方程x-2y-5=0化为斜截式方程为y= x- ,其斜率为 , 所以直线AB的斜率k=-2, 又B(5,1),所以直线AB的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0. (2)若选①:角A的平分线所在的直线方程为x+2y-13=0. 由 解得 所以点A(3,5). 设点B关于直线x+2y-13=0的对称点为B'(x0,y0), 则  第1讲　描述运动的基本概念 解得 所以点B' , 因为点B' 在直线AC上, 所以kAC=kAB'= = , 所以直线AC的方程为y-5= (x-3),即2x-11y+49=0. 若选②:BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0. 由 解得 所以点A(4,3). 设点C(x1,y1),由题意知BC的中点在直线2x-y-5=0上, 第1讲　描述运动的基本概念 所以2× - -5=0,即2x1-y1-1=0, 所以点C在直线2x-y-1=0上, 因为AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0且AB边上的高一定过点C, 所以点C在直线x-2y-5=0上, 由 解得  则C(-1,-3),所以kAC= = , 所以直线AC的方程为y-3= (x-4),即6x-5y-9=0. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　直线与直线的方程 1.5　两条直线的交点坐标 第1讲　描述运动的基本概念 题组　两条直线的交点问题 1.[2026云南昆明行知中学月考]过点P(3,0)作直线l,使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的 线段恰好被点P平分,则直线l的方程的一般式为 ( ) A.8x+y-24=0　　    B.8x-y-24=0 C.x-8y-3=0　　    D.x+8y-3=0     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3, 此时l与直线2x-y-2=0,x+y+3=0的交点分别为(3,4),(3,-6), 则所截得的线段的中点为(3,-1),不符合题意,舍去. 当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x-3),k≠2且k≠-1,直线l与直线2x-y-2=0交于点A,与直线x+y+3=0交于 点B. 由 可得A , , 由 可得B , 由中点坐标公式可得  第1讲　描述运动的基本概念 解得k=8, 所以直线l的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0. 解法二:设直线l与直线2x-y-2=0交于点A(x1,y1),与直线x+y+3=0交于点B(x2,y2). 因为P为AB的中点, 所以 则  所以 解得  所以直线l的方程为 = , 整理得8x-y-24=0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026江西赣州中学阶段检测]已知三条直线l1:2x-3y+1=0,l2:4x+3y+5=0,l3:mx-y-1=0将整个平 面分成7部分,则实数m的取值可能为 ( ) A.2　　    B.- 　　    C.- 　　    D.      AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得直线l1,l2,l3能围成三角形,所以l3与l1,l2都不平行,且l3不过l1与l2的交点. 若l3与l1或l2平行,则m= 或m=- ; 若l3过l1与l2的交点, 联立 解得  则l1与l2的交点坐标为 , 将 代入l3:mx-y-1=0,解得m=- . 综上,m≠ 且m≠- 且m≠- . 结合选项可知实数m的取值可以为2或 . 第1讲　描述运动的基本概念 解题关键　三条直线将平面分成7部分⇔三条直线能围成三角形;三条直线将平面分成6部分⇔三条直 线交于一点,或其中两条直线平行,另一条与这两条相交. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026安徽亳州月考]已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+2(k为常数)上两个不同的点,则关于l1:a1x+b1y -2=0和l2:a2x+b2y-2=0的交点情况,正确的是( ) A.无论k,P1,P2如何,总有唯一交点 B.存在k,P1,P2使l1与l2有无穷多个交点 C.无论k,P1,P2如何,总是无交点 D.存在k,P1,P2使l1与l2无交点     A     解析　因为P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+2(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+2的斜率存在,所以k=  ,a1≠a2,且b1=ka1+2,b2=ka2+2,所以a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+2a2-2a1=2a2-2a1,联立 得(a1b2-a2b 1)x=2(b2-b1),即(a1-a2)x=b2-b1,所以方程有唯一解,即无论k,P1,P2如何,l1与l2总有唯一交点. 第1讲　描述运动的基本概念 4.已知a>0,直线l1:x+ay=2a+4与y轴的交点为A,l2:2x+ay=2a+8与x轴的交点为B,l1与l2的交点为C,坐标原点 为O,则四边形OACB的面积的最小值为 ( ) A.8+4 　　    B.16　　    C.8 　　    D.16+8      A     解析　因为直线l1:x-4=-a(y-2),l2:2(x-4)=-a(y-2)都过点(4,2),所以C(4,2).连接OC, 在x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+ ,所以A ,在2x+ay=2a+8中,令y=0,得x=4+a,所以B(4+a,0), 所以S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=  ×4+ (4+a)×2=8+ ≥8+2 =8+4 ,当且仅当a= ,即a=2  时等号成立,所以当a=2 时,四边形OACB的面积取得最小值,为8+4 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026云南砚山第一中学月考]已知直线m:x-2y+2=0,n:2x-y+1=0,若直线l过点P(1,3)且与直线m,n在第 一象限围成一个等腰的锐角三角形,则直线l的斜率是 ( ) A.1　　    B.-1　　    C.- 　　    D.- 或1     B     解析　设直线m,n,l的倾斜角分别为β,α,θ,直线l的斜率为k, 则tan β= ,tan α=2,tan θ=k, 易得直线n过点P,又直线l过点P,所以P为n与l的交点. 设m与n的交点为A,m与l的交点为B, 联立 解得 则A(0,1),   第1讲　描述运动的基本概念 易知∠PAB=α-β,所以tan∠PAB=tan(α-β)= = = <1, 所以∠PAB< , 又△PAB为等腰的锐角三角形,所以∠PAB为等腰△PAB的顶角, 故k<0,且∠PBA=∠APB,又∠PBA=π-θ+β,∠APB=θ-α, 所以tan(π-θ+β)=tan(θ-α),即tan(β-θ)=tan(θ-α), 所以 = , 即 = ,解得k=1或k=-1,又k<0,所以k=-1. 故直线l的斜率为-1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025湖北华中师范大学第一附属中学期中]设a为实数,若直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:(a2+a-5)x+3 ay-3=0两两相交,且交点恰为直角三角形的三个顶点,则这样的l1,l2,l3有 ( ) A.2组　　    B.3组　　     C.4组　　    D.5组     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    l1,l2,l3的方向向量分别为m1=(1,-a),m2=(1,-1),m3=(3a,-a2-a+5). 若l1⊥l2,则m1·m2=(1,-a)·(1,-1)=1+a=0,解得a=-1, 此时l1:-x+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:-5x-3y-3=0,它们交于一点(0,-1),不符合题意. 若l1⊥l3,则m1·m3=(1,-a)·(3a,-a2-a+5)=a(a2+a-2)=0,解得a=-2或a=0或a=1, 当a=-2时,l1:-2x+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:x+2y+1=0,满足题意; 当a=0时,l1:y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:-5x-3=0,满足题意; 当a=1时,l1:x+y+1=0,l2:x+y+1=0,不符合题意. 若l2⊥l3,则m2·m3=(1,-1)·(3a,-a2-a+5)=a2+4a-5=0,解得a=-5或a=1(舍去), 当a=-5时,l1:-5x+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:5x-5y-1=0,满足题意. 综上,a=-5,a=-2,a=0时满足要求,故有3组. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西玉山第一中学集中训练]已知直线l1:x=0,l2:3x-4y=0,点A的坐标为(1,a) .过点A的直线l 的斜率为k,且与l1,l2分别交于点M,N(M,N的纵坐标均为正数). (1)若k=-1,且A为线段MN的中点,求实数a的值及△AON的面积; (2)是否存在实数a,使得 + 的值与k无关?若存在,求出所有这样的实数a;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为直线l过点A(1,a),且斜率为k,所以直线l的方程为y=k(x-1)+a, 因为直线l与l1,l2分别交于点M,N, 所以k≠ . 由 解得  则M(0,a-k), 由 解得  则N , 因为M,N的纵坐标均为正数, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 即  结合a> ,解得k< . (1)若k=-1,则M(0,a+1),N , 因为A为线段MN的中点, 所以 解得a= , 所以M ,N , 故△AON的面积S=S△MON-S△MOA= × ×2- × ×1= . 第1讲　描述运动的基本概念 (2)假设存在满足题意的a,使得 + 的值与k无关. 因为|OM|=a-k,|ON|= , 所以 + = + = , 因为2-k>0,所以当a=2时, + 为定值 , 所以存在实数a=2,使得 + 的值与k无关. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　通过定义“欧拉线”,考查直线方程、直线的交点坐标 8.[2026湖北襄阳一中月考]三角形是生活中随处可见的简单图形,其中有非常有趣的特殊点及特殊线. 数学家欧拉在1765年发现,给定一个三角形,其外心、重心、垂心落在同一条直线上,后人为了纪念欧 拉,称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A(0,2),B(-1,0),则“△ABC的欧拉线方 程为x=-1”是“点C的坐标为(-2,2)”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点C(a,b),则△ABC的重心为 ,显然点 在直线x=-1上,则a=-2, 易得直线AB的斜率为2,线段AB的中点为 , 则线段AB的中垂线方程为y-1=- · ,即x+2y- =0, 由 得  所以△ABC的外心O1 , 即|CO1|=|BO1|, 因此(-2+1)2+ = , 第1讲　描述运动的基本概念 解得b=2或b= , 故点C的坐标为(-2,2)或 ; 当C的坐标为(-2,2)时,△ABC的重心为 ,外心为 , 因此△ABC的欧拉线方程为x=-1,所以“△ABC的欧拉线方程为x=-1”是“点C的坐标为(-2,2)”的必要 不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 $