01-§1 01-1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“直线与直线的方程”，涵盖倾斜角、斜率及其关系等核心知识点。从一次函数图象切入衔接初中知识，通过题组练习搭建学习支架，逐步深入斜率公式、倾斜角范围及方向向量等内容，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于题组设计分层（基础到能力提升），易错警示针对性强，创新题型结合现实（如工人种植效率与斜率关联）。通过多选题辨析概念、正切函数图象分析倾斜角范围，培养数学思维的推理能力与几何直观，助力学生提升解题能力，教师可高效开展教学。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　过两点的直线的斜率公式 1.[2026江西上饶月考]已知点A(a,3),B(1,-2),若直线AB的斜率为-1,则a的值为( ) A.-6　　    B.6　　    C.-4　　    D.4     C     解析　因为直线AB的斜率为-1,所以 =-1,解得a=-4. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西南昌中学月考]已知点A(-3,2),B(2,1),过点P(0,-1)的直线l与线段AB有交点,则直线l的斜率的 取值范围为 ( ) A.(-∞,-1]∪[1,+∞)　　　　　　    B.[-1,1] C. ∪[1,+∞)　　　　　　    D.      A     解析　由题意得直线PA的斜率kPA= =-1,直线PB的斜率kPB= =1,设直线l的斜率为k,若过点P (0,-1)的直线l与线段AB有交点,则k≤kPA或k≥kPB,即k≤-1或k≥1,故直线l的斜率的取值范围为(-∞,-1]∪ [1,+∞)(当直线的倾斜角能取到 时,斜率的范围取两边).   第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025吉林长春外国语学校月考]已知k∈R,b=k2-2k+3,则下列直线的方程不可能是y=kx+b的是( )  A  B  C  D     B 解析　对于y=kx+b,令x=0,得y=b,即直线y=kx+b与y轴的交点为(0,b). 对于A,(0,b)即(0,3),易知k= =2,b=k2-2k+3=3,不满足题意; 对于B,(0,b)即(0,2),易知k= =-1,b=k2-2k+3=6≠2,满足题意; 对于C,(0,b)即(0,3),易知k=0,b=k2-2k+3=3,不满足题意; 对于D,(0,b)即(0,2),易知k= =1,b=k2-2k+3=2,不满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[教材习题改编]已知a>0,平面内A(0,-a),B(1,a2),C(3,2a3)三点共线,则a=_________.     2     解析　因为A,B,C三点共线,且xB≠xC,所以kAB=kAC,即a2+a= ,即2a3-3a2-2a=0,结合a>0可得a=2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线的倾斜角与斜率 5.[多选题][2025江西宜春赣西外国语学校月考]在下列四个命题中,正确的有( ) A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π) C.若一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为45° D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,垂直于x轴的直线斜率不存在,故A错误; 对于B,直线的倾斜角的取值范围是[0,π),故B正确; 对于C,直线的斜率为1即直线的倾斜角的正切值为1,结合直线的倾斜角的取值范围可得直线的倾斜角 为45°,故C正确; 对于D,若直线的倾斜角为90°,则直线的斜率不存在,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题]设直线l过坐标原点,其倾斜角为α,若将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则l1的 倾斜角可能为( ) A.α+45°　　    B.α-135°　　    C.135°-α　　    D.α-45°     AB     解析　如图1,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;如图2,当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α -135°. 故l1的倾斜角为α+45°或α-135°.    第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西抚州金溪第一中学联考]设直线l1:y=2x的倾斜角为α,直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的两 倍,则直线l2的斜率为 ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      D     解析　由题意得,直线l1的斜率为tan α=2,直线l2的倾斜角为2α,所以直线l2的斜率为tan 2α= =- . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[易错题][2026河北承德双滦实验中学月考]过A(m2,m+3),B(1,2m2)两点的直线l的倾斜角为135°,则m的 值为( ) A.-1或2　　    B.2　　    C.-1　　    D.-2     B     解析　由题意知直线l的斜率存在,设为k, 所以m2≠1(易错点),即m≠±1, k= =tan 135°=-1, 所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2, 又m≠±1,所以m=2. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河南百师联盟月考]设直线的倾斜角为α,斜率为k.若k≥- ,则α的取值范围是 ( ) A. 　　    B.  C. ∪ 　　    D. ∪      C     解析　由直线的斜率与倾斜角的关系,得k=tan α . 因为k≥- ,所以tan α≥- , 画出函数k=tan α,α∈ ∪ 的图象,如图, 结合图象知α的取值范围是 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　当题干中说斜率时,斜率一定存在,倾斜角取不到 ,已知斜率的范围求倾斜角的范围时,最 好借助正切函数的图象. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西九江第一中学质量检测] 经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与以A(1,-2),B(2,1)为端点的线段没有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范 围是_________. 解析　由题意得kPA= =-1,kPB= =1,则直线PA的倾斜角为 ,直线PB的倾斜角为 ,由直线l与线 段AB没有公共点,结合α∈[0,π),可得α∈ (注意包含倾斜角为 的情况).   第1讲　描述运动的基本概念 题组三　直线的方向向量与斜率的关系 11.[2026安徽淮南崇文高级中学阶段检测]经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,k),则k的 值为( ) A.1　　    B.2　　     C.3　　    D.4     B     解析　∵直线AB的一个方向向量为(1,k), ∴ = =2,解得k=2. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026湖南长沙雅礼中学质量检测]已知直线的一个方向向量为(1,2),其倾斜角为α,则2sin2α-cos2α=  ( ) A.- 　　    B. 　　    C.- 　　    D.      B     解析　∵直线的一个方向向量为(1,2), ∴直线的斜率为2,即tan α=2, ∴2sin2α-cos2α= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026湖南长沙雅礼中学质量检测]已知直线的一个方向向量为(1,2),其倾斜角为α,则2sin2α-cos2α=  ( ) A.- 　　    B. 　　    C.- 　　    D.      B     解析　∵直线的一个方向向量为(1,2), ∴直线的斜率为2,即tan α=2, ∴2sin2α-cos2α= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的斜率与倾斜角 1.[2026江西阶段性练习]已知点A(2,-1),B(3,m),若m∈ ,则直线AB的倾斜角的取值范围为 ( ) A. 　　    B. ∪  C. ∪ 　　    D. ∪      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得直线AB的斜率k= =m+1, 因为m∈ , 所以k∈ , 设直线AB的倾斜角为α, 则tan α∈ , 又0≤α<π,所以α∈ ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026广东揭阳第一中学阶段考试]过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是 ,则实数 m的取值范围是 ( ) A.(0,2]　　    B.(0,4) C.[2,4)　　    D.(0,2)∪(2,4)     B     解析　设过点A(2,1),B(m,3)的直线为l.当直线l的倾斜角α∈ ∪ 时,l的斜率k∈(-∞,-1)∪(1,+ ∞),即 <-1或 >1,解得0<m<2或2<m<4; 当直线l的倾斜角α= 时,m=2. 综上,实数m的取值范围是(0,4). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏宿迁中学调研测试]已知三条直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α,β,γ,且 k1<k2<k3,则其倾斜角的关系可能为( ) A.α<β<γ　　    B.β<γ<α C.α<γ<β　　    D.γ<α<β     ABD     解析　正切函数y=tan x在 和 上分别单调递增,分以下四种情况讨论: 当0<k1<k2<k3时,α,β,γ均为锐角,且α<β<γ; 当k1<0<k2<k3时,α为钝角,β,γ均为锐角,且β<γ<α; 当k1<k2<0<k3时,α,β均为钝角,γ为锐角,且γ<α<β; 当k1<k2<k3<0时,α,β,γ均为钝角,且α<β<γ. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[易错题][2026河南南阳第一中学月考]若点A(-2,1),点B为曲线Γ:|x|+|y|=1上一点,则直线AB的倾斜角α 的取值范围是( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.以上都不对     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于曲线Γ:|x|+|y|=1, 当x>0,y>0时,曲线Γ:x+y-1=0, 当x<0,y>0时,曲线Γ:-x+y-1=0, 当x<0,y<0时,曲线Γ:x+y+1=0, 当x>0,y<0时,曲线Γ:x-y-1=0, 记C(-1,0),D(0,-1),E(1,0),F(0,1), 如图所示,曲线Γ为正方形CDEF,   当点B在点F处时,kAB=0,此时α=0(易错点); 当点B在正方形CDEF(不包含点F)的边界上运动时,kAC≤kAB<0,即-1≤kAB<0,此时 ≤α<π. 综上所述,直线AB的倾斜角α的取值范围为 ∪{0}. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意以下三个易错点:一是起、止直线的确定,从 起始直线到终止直线要按逆时针方向旋转;二是斜率不存在的直线将斜率的取值范围分成两个区间;三 是倾斜角为0的直线将倾斜角的取值范围分成两个部分. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025广东东莞万江中学月考]若正方形的一条对角线所在直线的斜率为 ,则该正方形的两条邻边 所在直线的斜率分别为________________.     2- ,-2-      解析　如图,在正方形OABC中,对角线OB所在直线的斜率为 ,设直线OB的倾斜角为θ,则tan θ= ,由 正方形的性质可知,直线OA的倾斜角为θ-45°,直线OC的倾斜角为θ+45°,故kOA=tan(θ-45°)=  = =2- , kOC=tan(θ+45°)= = =-2- .   第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线斜率的综合应用 6.[2025江西南昌第三中学月考]过曲线y=log4x上一点A作平行于两坐标轴的直线,分别交曲线y=log2x于 点B,C.若直线BC经过原点,则直线BC的斜率为 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      A     解析　设A(x,log4x)(x>0且x≠1),不妨令直线AB平行于y轴,直线AC平行于x轴,则B(x,log2x),C( ,log4x), 由直线BC经过原点,得 = = ,所以x=4,所以B(4,2),C(2,1), 故直线BC的斜率为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025吉林四校联考]如图,直线y= x+3交x轴于A点,将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点 O处,另两个顶点M,N恰好落在直线y= x+3上,若点N在第二象限内,则tan∠AON的值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设直线y= x+3与y轴的交点为B,倾斜角为α,则A(-4,0),B(0,3), 且tan α= = ,又∠ONM= , 所以由三角形的外角定理得∠AON= -α, 因此tan∠AON=tan = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026山东青岛第十七中学素养测试] 已知点A(-2,3),B(1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则 的取值范围是______________________.     (-∞,-2]∪[3,+∞)     第1讲　描述运动的基本概念 解析     = ,其几何意义为过点P(x,y)与点(0,-1)(记为C)的直线的斜率,问题可转化为过点C(0,- 1)的直线(记为l)与线段AB有交点时,求直线l的斜率(记为k)的取值范围. kBC= =3,kAC= =-2. 当l的倾斜角是锐角时,k≥kBC=3; 当l的倾斜角是钝角时,k≤kAC=-2; 当l的倾斜角是直角时,斜率不存在. 综上,k≥3或k≤-2,故k的取值范围为(-∞,-2]∪[3,+∞).   解题技法　求形如 的代数式的取值范围时,通常赋予其几何意义,转化为求经过点(x,y)与点(a,b)的 直线的斜率的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026山西朔州怀仁大地高中月考]已知直线l1过点A(0,1),直线l1与直线l2:y=x的交点B位于第一象限,O 为坐标原点.若△OAB为钝角三角形,则直线l1的斜率k的取值范围是_____________________.     (-∞,-1)∪(0,1)     解析　当△OAB为直角三角形时,OA⊥AB或OB⊥AB. 当OA⊥AB时,k=0,此时l1与l2的交点记为B1; 当OB⊥AB时,k=-1,此时l1与l2的交点记为B2. 当l1从y轴开始,绕点A逆时针旋转到直线AB2(B不与B2重合)时, △OAB为钝角三角形,此时k<-1;记过点A且与l2平行的直线为l3, 当l1从直线AB1开始,绕点A逆时针旋转到直线l3(B不与B1重合)时, △OAB为钝角三角形,此时0<k<1.综上,k∈(-∞,-1)∪(0,1). 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　借助实际生活中平均每小时种植的果树数考查斜率 10.[2026四川达州模拟考试]三名工人种植同一种果树,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的 横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和种植的果树数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午 的工作时间和种植的果树数,i=1,2,3.记pi为第i名工人在这一天中平均每小时种植的果树数,则( ) A.p1,p2,p3中最大的是p1 B.p1,p2,p3中最大的是p2 C.p1,p2,p3中最大的是p3 D.p1,p2,p3中最小的是p2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由pi为第i名工人在这一天中平均每小时种植的果树数,得pi为线段AiBi的中点(记为Mi)与原点O所 连直线的斜率,如图所示,   易知p2>p1>p3,故p1,p2,p3中最大的是p2,最小的是p3. 第1讲　描述运动的基本概念 $