1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角、斜率及其关系，通过生活中楼梯坡度的情境导入，从一次函数图象与直线方程过渡到确定直线位置的几何要素，逐步构建倾斜角定义、斜率公式及与方向向量关系的知识脉络，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以新课标核心素养为导向，通过情境导入培养数学抽象，结合图形分析倾斜角范围、斜率计算等典型例题发展直观想象与数学运算，如“坡度=高度/宽度”到斜率公式的抽象、图形辅助判断倾斜角取值范围。通性通法总结助力学生掌握解题策略，教师可依托结构化内容提升教学效率，学生能深化对代数与几何联系的理解。

1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 新课程标准解读 核心素养 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直 线位置的几何要素 数学抽象 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法 刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算 公式 直观想象、 数学运算 3.掌握直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 直观想象、 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在实际生活中，楼梯或路面的倾斜程度可以用坡度来刻画（如 图）. 【问题】　那么坡度是如何来刻画道路的倾斜程度的？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1. 倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l ， 把 x 轴（正方向）按 方向绕着交点旋转到和直线 l 首次 时所成的角，称为直线 l 的倾斜角.通常倾斜角用 α表示； （2）范围：当直线 l 和 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.因 此，直线的倾斜角α的取值范围为 ⁠. 逆时针　 重合　 [0，π）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 斜率 在直线 l 上任取两个不同的点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），记Δ x ＝ x2－ x1（Δ x ≠0），Δ y ＝ y2－ y1，则在直线 l 上点 P1平移到点 P2， 相当于在横轴上改变了Δ x ，即横坐标的改变量为Δ x ，在纵轴上改 变了Δ y ，即纵坐标的改变量为Δ y ，因此，比值 k ＝ 反映了直线 l 的倾斜程度.称 k ＝ （其中 x1≠ x2）为经过不同两点 P1 （ x1， y1）， P2（ x2， y2）的直线 l 的斜率， k ＝ 的大小与两点 P1， P2在直线上的位置 ⁠. 若直线 l 垂直于 x 轴，则它的斜率不存在；若直线 l 不与 x 轴垂直， 则它的斜率存在且唯一. 　 无关　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点二　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 1. 直线的斜率 k 与倾斜角α的关系 若直线 l 的倾斜角为α ，则直线 l 的斜率为 k ＝ ⁠ . （1）当α∈ 时，斜率 k 0，且 k 随倾斜角α的增大而 ⁠ ⁠； tan α ≥　 增 大　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）当α∈ 时，斜率 k 0，且 k 随倾斜角α的增大 而 ⁠； （3）当α＝ 时，直线 l 与 x 轴垂直，此时直线 l 的斜率不存在. ＜　 增大　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 直线的斜率与方向向量的关系 （1）若 k 是直线 l 的斜率，则 v ＝ ⁠是它的一个方 向向量； （2）若直线 l 的一个方向向量的坐标为（ x ， y ），其中 x ≠0，则它 的斜率 k ＝ ⁠. （1， k ）　 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？ 提示：不是，如60°＜120°，但斜率分别为 和－ ，而 ＞ － .应分区间说明，当α∈[0°，90°）和α∈（90°，180°） 时，上述结论在这两个区间分别成立. 2. 当直线 l 的斜率 k 存在时，直线 l 的一个方向向量是（1， k ），那 么当 k 不存在时，它的一个方向向量是什么？ 提示：（0，1）（答案不唯一）. 【想一想】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是直线 l 的倾斜角，则0°≤α＜180°. （　√　） （2）若 k 是直线的斜率，则 k ∈R. （　√　） （3）任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （　√　） （4）任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. （　×　） √ √ √ × 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 若直线 l 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（　　） A. 45° B. 135° C. 45°或135° D. －45° 解析：　作出直线 l ，如图所示，由图易知，应选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 已知直线 l 的倾斜角为30°，则直线 l 的一个方向向量的坐标 为 ⁠. 解析：由直线 l 的倾斜角为30°，得直线 l 的斜率 k ＝tan 30°＝ ， 所以直线 l 的一个方向向量的坐标为（1， ）. （1， ）（答案不唯一）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线的倾斜角 【例1】　（1）一条直线 l 与 x 轴相交，其向上方向与 y 轴正方向所成 的角为α（0°＜α＜90°），则其倾斜角为（　D　） A. α B. 180°－α C. 180°－α或90°－α D. 90°＋α或90°－α D 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：如图①，当 l 向上方向 的部分在 y 轴左侧时，倾斜角为 90°＋α；如图②，当 l 向上方向的 部分在 y 轴右侧时，倾斜角为90° －α. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）直线 y ＝0的倾斜角为 ⁠. 解析：直线 y ＝0即为 x 轴，该直线的倾斜角为0. 0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解答此类问题的关键是要 根据题意画出图形，找准倾斜角.弄清直线是如何旋转的，并明确倾斜 角的大小. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 直线 x ＝ 的倾斜角为（　　） A. 不存在 C. 0 D. π 解析：　根据题意，直线 x ＝ 与 x 轴垂直，其倾斜角为 ，故 选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知直线 l1的倾斜角α1＝15°，直线 l1与 l2的交点为 A ，直线 l1和 l2 向上的方向之间所成的角为120°，则直线 l2的倾斜角为 ⁠. 解析：如图，直线 l2的倾斜角为α2，结合图形及三角 形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋ 15°＝135°，故直线 l2的倾斜角为135°. 135°　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 直线的斜率 角度1　根据直线的倾斜角求斜率 【例2】　（1）已知直线 l 的倾斜角为30°，则直线 l 的斜率为 （　C　） C 解析：因为直线 l 的倾斜角为30°，所以直线 l 的斜率 k ＝tan 30°＝ .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）已知斜率为2的直线 l 与 x 轴交于点 A ，直线 l 绕点 A 逆时针旋转 60°得到直线l'，则直线l'的斜率为 ⁠. 解析：设直线 l ，l'的倾斜角分别为α，β，则tan α＝2，因 为直线 l 绕点 A 逆时针旋转60°得到直线l'，所以β＝α＋60°， 所以直线l'的斜率为 k ＝tan（α＋60°）＝ ＝ ＝－ . － 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 角度2　利用经过直线上不同两点的坐标求斜率 【例3】　已知坐标平面内△ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A （－1， 1）， B （1，1）， C （1，－1），求直线 AB ， BC ， AC 的斜率. 解： kAB ＝ ＝0， kAC ＝ ＝－1. ∵ B ， C 两点的横坐标相等，∴直线 BC 的斜率不存在. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求直线斜率的方法 （1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则该直线的斜率 k ＝tan α； （2）公式法：已知直线上任意两点的坐标 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等，若相 等，则斜率不存在；若不相等，则直线的斜率 k ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 已知过两点 A （4， y ）， B （2，－3）的直线的倾斜角为135°， 则 y ＝ ⁠. 解析：直线 AB 的斜率 k ＝tan 135°＝－1，又 k ＝ ，由 ＝ －1，得 y ＝－5. 2. 过点 P （－2， m ）， Q （ m ，4）的直线的斜率为1，则 m 的值 为 ⁠. 解析：由斜率公式 k ＝ ＝1，得 m ＝1. －5　 1　 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 直线的方向向量与倾斜角、斜率之间的关系 【例4】　已知直线 l 的一个方向向量为 v ＝（3，－ ），求直线 l 的 斜率和倾斜角. 解：因为直线 l 的一个方向向量为 v ＝（3，－ ），所以直线 l 的斜 率为 ＝－ ，设直线 l 的倾斜角为θ，则tan θ＝－ ，又0≤θ＜π， 所以θ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　设直线 l 的一个方向向量为 a ＝（ u ， v ），直线 l 的倾斜角为θ， A （ x1， y1）， B （ x2， y2）是直线 l 上不同的两点，则 （1） u ＝0⇔ x2－ x1＝0⇔θ＝ ⇔ k 不存在； （2） u ≠0⇔ k ＝ ＝tan θ＝ ⇔ a ＝ u （1， k ）； （3） a ＝（ u ， v ）＝λ（ cos θ， sin θ）（λ≠0）； （4） v （ x2－ x1）－ u （ y2－ y1）＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知直线 l 经过点 A （－2，0）与 B （－5，3），求直线 l 的一 个方向向量、斜率 k 与倾斜角θ. 解：因为直线 l 经过点 A （－2，0）与 B （－5，3）， 所以直线 l 的一个方向向量 ＝（－3，3）， 直线 l 的斜率 k ＝ ＝－1， 又直线 l 的倾斜角为θ，所以tan θ＝－1， 因为θ∈[0，π），所以θ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型四 直线的倾斜角与斜率的应用 【例5】　已知坐标平面内三点 P （3，－1）， M （6，2）， N （－ ， ），直线 l 过点 P . 若直线 l 与线段 MN 相交： （1）求直线 l 的倾斜角的取值范围； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：如图所示，考虑临界状态，令直线 PM 的倾斜角为 α1，直线 PN 的倾斜角为α2， 由题意知，tan α1＝ ＝1， tan α2＝ ＝－ ， 故直线 PM 的倾斜角为 ，直线 PN 的倾斜角为 . 结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线 l 的倾斜角α 的取值范围是 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）利用（1）的结论求直线 l 的斜率的取值范围. 解：由（1）知 ≤α≤ ，由正切函数的性质可得， 当 ≤α＜ 时， k ＝tan α≥1； 当 ＜α≤ 时， k ＝tan α≤－ ； 当α＝ 时，斜率不存在. 综上，斜率 k 的取值范围是 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. 求过定点 P 的直线 l 斜率的取值范围的策略 如图，过点 P 的直线 l 与线段 AB 相交时，因为过点 P 且与 x 轴垂直 的直线 PC 的斜率不存在，而直线 PC 与线段 AB 不相交，所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是 kPA ≤ k ≤ kPB . 解决这类问题时，可利用数形结 合思想直观地判断直线的位置. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 斜率公式的几何意义 求形如 的最值，利用 的几何意义：连接定点（ a ， b ）与动 点（ x ， y ）的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率 的取值范围问题，简化运算过程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知 f （ x ）＝log2（ x ＋1），且 a ＞ b ＞ c ＞0，试用图示法比较 ， ， 的大小关系. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解： 表示经过点 O （0，0）和点 A （ x ， f （ x ））的直线的 斜率，所以我们可以赋予 ， ， 几何意义：表示 3个斜率.作函数 f （ x ）＝log2（ x ＋1）的图象如图所示. 因为 a ＞ b ＞ c ＞0，在函数图象上找到对应点（ a ， f （ a ））， （ b ， f （ b ）），（ c ， f （ c ）），将这三点与原点相连，可得 ＞ ＞ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（　　） A. （4，2）与（－4，1） B. （0，3）与（3，0） C. （3，－1）与（2，－1） D. （－2，2）与（－2，5） 解析：　D项，因为 x1＝ x2＝－2，所以直线垂直于 x 轴，倾斜角 为90°，斜率不存在. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 若经过 A （ m ，3）， B （1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则 m ＝（　　） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 解析：　由题意知，tan 45°＝ ，得 m ＝2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 若直线 l 的方向向量为 a ＝（1， ），则直线 l 的斜率为（　　） 解析：　取坐标平面内两点 O （0，0）和 A （1， ），则 a ＝ ＝（1， ），则直线 OA 的斜率即为直线 l 的斜率，而 kOA ＝ ，所以直线 l 的斜率为 .故选D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. （多选）给出下列四种说法，其中错误的是（　　） A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角 B. 一条直线的倾斜角可以为－30° C. 倾斜角为0°的直线只有一条，即 x 轴 解析：　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为 负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于 y 轴，因此A正 确，B、C错误；D中α有可能为135°，故D错误. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 经过 A （ m ，3）， B （1，2）两点的直线的倾斜角α的取值范围 是 .（其中 m ≥1） 解析：当 m ＝1时，倾斜角α＝90°；当 m ＞1时，tan α＝ ＞0， ∴0°＜α＜90°.故0°＜α≤90°. （0°，90°]　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $