1.1～1.2一次函数的图象与直线方程&直线的倾斜角、斜率及其关系（题型专练）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.1一次函数的图像与直线方程； 1.2直线的倾斜角、斜率及其关系 题型一：两点斜率（倾斜角） 1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C． D．2 3．经过两点的直线的倾斜角为60°，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知直线经过点，，，则的倾斜角为（ ） A． B． C．0 D． 题型二：直线的方向向量 1．已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线的倾斜角为，方向向量．则（ ） A． B． C． D． 3．直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（ ） A．2 B． C． D． 4．直线的方向向量可以是（ ） A． B． C． D． 题型三：直线的斜率（倾斜角） 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D．不存在 3．若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A． B． C． D． 4．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ） A． B． C． D． 题型四：三点共线 1．若三点在同一条直线上，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．若三点在同一条直线上，则实数（ ） A． B． C．2 D．4 3．若、、三点共线，则（ ） A． B． C． D． 4．已知三点，，在同一条直线上，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型五：倾斜角与斜率的关系 1．下列说法正确的是（ ） ①直线的倾斜角的取值范围是； ②平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ③直线的倾斜角越大，其斜率就越大. A．① B．②③ C．①③ D．①② 2．下列说法错误的是（ ） A．有的直线斜率不存在 B．截距可以为负值 C．若直线l的倾斜角为，且，则它的斜率 D．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 3．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 4．（多选）下列说法中，正确的是（ ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 题型六：直线的斜率大小（图像） 1．．如图，直线、、的斜率分别为、、，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，在同一平面直角坐标系中表示直线与，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 题型七：直线平移、旋转 1．若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 2．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（ ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 3．将直线沿轴的负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度得直线，此时与重合，则直线的斜率为_________________. 题型八：两直线夹角 1．设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为_______________. 2．若直线与直线的夹角为，则_______________. 3．若直线与直线的夹角为，则实数的值为______________. 4．（多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（ ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 题型一：倾斜角（斜率）范围 1．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线斜率为，且．那么倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二：直线的倾斜角范围 1．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围（ ） A． B． C． D． 2．已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 1．设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 2．已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知直线l经点，若直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_________________，其斜率的取值范围为___________________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1一次函数的图像与直线方程； 1.2直线的倾斜角、斜率及其关系 题型一：两点斜率（倾斜角） 1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率关系，及两点求斜率确定倾斜角的大小. 【详解】直线斜率，又因为直线倾斜角的范围是，所以直线倾斜角为. 故选：D 2．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可 【详解】由题意斜率， 解得：， 故选：D 3．经过两点的直线的倾斜角为60°，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】由题意可得,解得， 故选：B 4．已知直线经过点，，，则的倾斜角为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用倾斜角的定义求解即可. 【详解】直线经过点，， 故直线的方程为：，倾斜角为. 故选：B 题型二：直线的方向向量 1．已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角. 【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 2．已知直线的倾斜角为，方向向量．则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 3．直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率，再利用正切二倍角求出. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以， 则. 故选：D 4．直线的方向向量可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方向向量的定义即可求解. 【详解】的方向向量是与向量共线的向量，故D符合, 故选：D 题型三：直线的斜率（倾斜角） 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线方程化成斜截距式后得出直线的斜率即可求解． 【详解】由， 所以的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故选：B． 2．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据直线的方程可得出该直线的倾斜角. 【详解】直线垂直于轴，该直线的倾斜角为. 故选：B. 3．若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角和斜率的关系即可得出结果. 【详解】直线的斜率，解得. 故选：D. 4．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到. 【详解】因为直线的斜率，对应的倾斜角为， 由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得， 故选：C． 题型四：三点共线 1．若三点在同一条直线上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得． 故选：B. 2．若三点在同一条直线上，则实数（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 3．若、、三点共线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式可得出，可得出实数的值. 【详解】由于、、三点共线，则， 即，解得. 故选：A. 4．已知三点，，在同一条直线上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 题型五：倾斜角与斜率的关系 1．下列说法正确的是（ ） ①直线的倾斜角的取值范围是； ②平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ③直线的倾斜角越大，其斜率就越大. A．① B．②③ C．①③ D．①② 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系逐项分析判断即可． 【详解】对于①，直线的倾斜角的范围为，①正确； 对于②，平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为时没有斜率，②正确； 对于③，倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，③错误. 故选：D. 2．下列说法错误的是（ ） A．有的直线斜率不存在 B．截距可以为负值 C．若直线l的倾斜角为，且，则它的斜率 D．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 【答案】D 【分析】根据斜率的概念，截距概念，斜率与倾斜角的关系判断． 【详解】当直线与轴垂直，斜率不存在，A正确； 截距是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为负，B正确； 由斜率与倾斜角的关系知C正确； 直线l的斜率为1，则它的倾斜角为，D错． 故选：D． 3．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【详解】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 4．（多选）下列说法中，正确的是（ ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 【答案】CD 【分析】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 题型六：直线的斜率大小（图像） 1．．如图，直线、、的斜率分别为、、，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 2．如图，在同一平面直角坐标系中表示直线与，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合一次函数参数的几何意义判断即可 【详解】过坐标原点，直线的倾斜角为45°，A，B选项中图象不合题意； 对于选项C，过坐标原点，且，则直线在y轴上的截距应该大于零，选项中图象不合题意； 对于选项D，过坐标原点，且，则直线在y轴上的截距应该小于零，选项中图象符合题意． 故选：D 3．如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 4．（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 【详解】由图像可知， 则， 故选：AD. 题型七：直线平移、旋转 1．若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点斜率公式即可求解. 【详解】设是直线上任意一点，则平移后得点，于是直线的斜率. 故选：A. 2．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（ ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 【答案】D 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示： 因为，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意， 通过画图（如图所示）可知： 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：D． 3．将直线沿轴的负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度得直线，此时与重合，则直线的斜率为_________________. 【答案】 【分析】设直线上一点，经过平移变化得到，因为平移后的点仍然在直线上，即可求出直线的斜率. 【详解】设直线上一点，其沿轴负方向平移个单位长度， 再沿轴正方向平移个单位长度后的坐标为. 因为平移后的点仍然在直线上，所以直线的斜率. 故答案为： 题型八：两直线夹角 1．设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为_______________. 【答案】或 【分析】由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 2．若直线与直线的夹角为，则_______________. 【答案】/ 【分析】根据题意，作出图象，找到所求角与直线的倾斜角的关系，利用诱导公式和同角的正余弦与正切之间的关系计算即得. 【详解】因轴，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，由图知，， 则. 故答案为：. 3．若直线与直线的夹角为，则实数的值为______________. 【答案】 【分析】根据题意求出直线的倾斜角，由此可得出实数的值. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 4．（多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（ ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 【答案】ABC 【分析】将三角形的顶点放到坐标原点，画出图象，结合等边三角形的性质及直线的斜率、倾斜角的定义判断即可. 【详解】依题意，不妨将三角形的顶点放到坐标原点，则在轴上（如下图所示）， 则，所以直线的斜率为，故A正确； 因为边上的高也为的平分线，所以边上的高所在直线的斜率为，故B正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故D错误. 故选：ABC 题型一：倾斜角（斜率）范围 1．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 2．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【详解】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 3．已知直线斜率为，且．那么倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，且，解得. 故选：C. 4．已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据斜率公式求出斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以， 即直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D． 题型二：直线的倾斜角范围 1．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线斜率的定义，结合正切函数的单调性即可得到结果. 【详解】根据题意，直线的斜率为，由此得， 又因为，所以结合正切函数的单调性，可得. 故选：D 2．已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出a的取值范围. 【详解】因为， 所以，即直线的斜率． 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是． 故选：C． 3．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 故选：D. 4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案. 【详解】直线的斜率为， 故， 又，故. 故选：D 1．设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出和的值，求出直线的斜率的取值范围. 【详解】解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， ∵，， ∴直线的斜率的取值范围是或， 故选：A. 2．已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线、的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 3．已知直线l经点，若直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B. 4．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_________________，其斜率的取值范围为___________________． 【答案】； 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：；． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：；． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$