精品解析：北京大学附属中学元培学院2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学练习

2025—2026学年第二学期期中考试元培高一 数学试卷 考生须知 1．考生要认真填写姓名、班级和学号． 2．本试卷共4页，分为两部分，共150分．考试时间为120分钟． 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．选择题和画图题必须用2B铅笔作答，其他题目必须用黑色字迹的签字笔作答． 4．考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知向量，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值. 【详解】向量，且，，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题. 2. 已知复数，，在复平面内的对应点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，则. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 4. 已知两条直线，，三个平面，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则且 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】A：说明两平面交线为，，此时和是同一平面内的两条直线，它们的位置关系可以是平行，也可以是相交，因此不必然成立，A错误， B：若且，直线有可能在平面内（或平面内），此时不满足（或），B错误， C：面面平行的判定定理要求平面内有两条相交直线都平行于，而不一定是相交直线，若，则两个平面也可能相交，C错误， D：面面平行的性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，所得的交线互相平行，命题成立，D正确. 5. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】设小正方形的边长为， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， ， 因为，所以. 6. 已知圆锥顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线且，，则三棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由勾股定理分别计算圆锥的母线长、及，，进而可判断平面为圆锥的轴截面，再由等体积法，由圆的几何性质可得，从而可得三棱锥的体积最大值. 【详解】由题意，圆锥的高，底面半径， 根据勾股定理得母线长，. 已知，因此直角的面积为： ， . 所以底面圆内弦的长度为，恰好等于底面圆的直径，因此为底面圆的直径. 又因为三棱锥的体积等价于以为顶点、为底面的三棱锥的体积， 即，其中是点到平面的距离. 因为为底面圆的直径，所以平面为圆锥的轴截面，所以平面平面， 点在圆锥底面上运动，所以点到轴截面的距离等于点到直线的距离， 点在圆锥底面上运动，为底面圆的直径，所以点到的距离最大值就是，即. 所以，因此三棱锥体积的最大值为. 7. 已知平行四边形，为实数，，则“点P在平行四边形内（不含边界）”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断点P在平行四边形内（不含边界）是否能推出，以及判断是否能推出点P在平行四边形内（不含边界）即可求解. 【详解】由，点P在平行四边形内（不含边界）可得， ， 反之，当时，如时，则点在平行四边形外部， 所以点P在平行四边形内（不含边界）是的充分不必要条件， 故选：A. 8. 已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两组三点共线条件，将目标向量用同一组基底表示出两种形式，再根据平面向量基本定理比较系数列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 由题意得三点共线，三点共线， 所以存在实数使得， 存在实数使得， 所以有，解得， 则， 所以，. 9. 已知在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的动点．若点为线段上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，设，在线段上取点，使得，推导出，可得，则，分析可知当、、三点共线，且时，取最小值，求出的长，即可得解. 【详解】如图， 连接、，设，点、、在平面中， 在长方形中，，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，且，， 故四边形是边长为的正方形，所以为的中点， 点在上，在线段上取点，使得， 在和中，，，， 故，所以，故， 故当、、三点共线，且时，取最小值， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，此时点与线段的中点重合，且， 故的最小值是. 10. 已知在等腰直角中，，为斜边的中点．以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可得，进而将可看作是点到点的距离，即可求解． 【详解】以为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由于，所以， 由于点在上，不妨设 ，, ，其中， , 所以， 表示上的点到点的距离， 由于点在线段上运动， 故当点运动到点，且点在时，距离最大， 为, 当点运动到点，且点也在时，距离最小为0， 综上可知：． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若向量，满足，，且与的夹角为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求向量的模的平方后结合数量积的运算再开方即可求解. 【详解】 ， 则. 12. 已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原中的大小是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据斜二测画法，画出原几何图形，判断出原为等边三角形，从而可求的大小. 【详解】根据斜二测画法，画出原几何体，如图， 易知,，所以， 所以原为等边三角形，所以. 故答案为：. 13. 已知一个圆锥的内切球的直径是该圆锥高的一半，则其内切球表面积与该圆锥表面积的比值是_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆锥及内切球轴截面性质用球半径表示圆锥底面圆半径及母线长，再利用球及圆锥的表面积公式求解. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线为，其内切球半径为，则该圆锥的高为，且， 依题意，该圆锥轴截面等腰三角形的内切圆半径为，则， 解得，，该圆锥的表面积，球的表面积， 所以该圆锥的内切球表面积与该圆锥表面积的比值为. 14. 已知在平面直角坐标系中，点在以原点为圆心、为半径的圆上．若动点满足，，则对于点，的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式结合数量积运算律计算求解. 【详解】因为点在以原点为圆心、为半径的圆上，所以， 因为满足，所以，，则， 所以对于点，设的夹角为， ，且， 所以的取值范围是. 15. 如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界）．给出下列四个结论： ①平面截正方体的截面为等腰梯形； ②若，则点的轨迹长度为； ③三棱锥的外接球的表面积为； ④若平面，则直线不可能垂直于直线． 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对①先由平行公理可作截面，进而再判断截面为等腰梯形可得；对②由正方体中可得侧面，再由勾股定理得，从而得的轨迹是正方形内，以​为圆心、​为半径的一段四分之一圆弧，再由弧长公式计算可得；对③先确定直角的外接圆圆心，再由垂径定理找到球心位置，设，再分别计算，，从而可得半径及外接球的表面积；④由①的分析知点的轨迹是线段，再结合正方形的性质，当为对角线的中点时，，故结论错误. 【详解】结论①：取棱的中点，连接，，，如图： 因为是的中点，是棱的中点，所以，. 又因为正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 因此，由平行公理得，所以平面截正方体的截面为，且为梯形. 由勾股定理得：​，，即. 且​，， 因此四边形是一组对边平行、另一组对边等长且不平行的等腰梯形， 也就是平面截正方体的截面，故结论①正确. 结论②：正方体中侧面，因此对侧面内任意点， 由线面垂直的性质得，即为直角三角形. 若​，且，由勾股定理得. 因此的轨迹是正方形内，以​为圆心、​为半径的一段四分之一圆弧，如图： 对应圆心角为，因此轨迹弧长为，故结论②正确. 结论③：因为为直角三角形，其外接圆圆心为斜边的中点， 设为外接球球心，为棱的中点，连接，如图： 所以平面，又因为正方体中，平面，所以. 又因为分别为棱的中点，所以，因此且平面. 所以四边形为直角梯形，设，且， 所以，又因为， 因为为外接球球心，所以，即，解得. 所以外接球的半径， 因此外接球表面积，故结论③正确. 结论④：由对结论①分析知，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以点的轨迹是线段. 因为四边形为正方形，所以当为对角线的中点时，，与“不可能垂直”矛盾，故结论④错误. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知两个向量，． （1）若，求实数的值； （2）若，其中，求的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算出，再根据垂直的坐标表示求参数即可； （2）先求出的坐标，再根据模长公式结合二次函数的最值求解． 【小问1详解】 ， 又， 所以， 解得或； 【小问2详解】 ， ， 当时取等，此时的最小值为． 17. 如图，正方体中，，，，分别为棱，，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接，在中，分别是，的中点，由三角形中位线定理，得//， 同理，在中，分别是，的中点，得//，则//， 又平面，平面，所以//平面. （2）证明：由（1）知，//平面. 连接，因为分别是，的中点，且四边形是正方形，所以//且， 所以四边形是平行四边形，所以//，， 又四边形是正方形，所以//，， 所以//，，所以四边形是平行四边形，所以//，， 又平面，平面，所以//平面. 又，平面，，平面，所以平面//平面. （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设正方体棱长为2. 由（2）知//，，因此异面直线与所成角等于与所成角（或其补角），即求或其补角. 在中，，，， 由余弦定理得，， 异面直线所成角范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为. 18. 已知在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）由的面积为，得，解得， 选条件①：由，得，， 因此可能为锐角，也可能为钝角，不满足存在且唯一确定，因此条件①不符合要求； 选条件②：由，得， ， 由正弦定理得，由，解得， 由余弦定理得，因此； 选条件③：由及正弦定理，得，由，解得， 由余弦定理得，因此， 所以选择条件①不符合要求，选择条件②或③时，. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角的正弦公式，即可求得答案. （2）根据面积公式，可得，若选条件①：，分析可得不符合题意；若选条件②：根据同角三角函数的关系，可求得，根据诱导公式及两角和的正弦公式，可求得，根据正弦定理，可求得b，c的值，代入余弦定理，即可得答案；若选条件③：由正弦定理角化边可得，进而可得b，c的值，代入余弦定理，即可得答案. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，解得，又 所以. 【小问2详解】 略 19. 如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． （1）记平面平面，证明：； （2）若点在侧棱上且，求证：平面． 【答案】（1）证明：在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）证明：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面． 【解析】 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）连接交于，连接，取中点，过作的平行线交于，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知函数的定义域为，若对任意，都有，则称函数具有性质． （1）判断函数，是否具有性质，并说明理由； （2）已知函数，判断是否存在，，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值． 【答案】（1）具有性质P，不具有性质． （2）存在，，． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【小问1详解】 具有性质P，不具有性质，理由如下： 因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， ，故不具有性质. 【小问2详解】 若具有性质，则， 则，因为，所以， 则，由得， 若，则存在，使得，而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则，即，则， 验证：当，时，， 则对任意，得到， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； 【小问3详解】 由（2）知，，， 令，由题知在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知，， 则， 故， 化简得， 21. 对于任意平面向量，定义．个平面向量组成的向量组，，，称为向量组，如果对每个都有，，，，．一个向量组称为向量组，如果存在使得． （1）已知向量组，，，判断该向量组是否为向量组？是否为向量组？说明理由． （2）当时，是否存在向量组不是向量组？若存在，举出一个例子；若不存在，说明理由． （3）当为奇数时，证明：任意向量组都是向量组． 【答案】（1）该向量组是向量组，是向量组. 因为，，，所以该向量组是向量组； 令，，， 所以， 所以，满足向量组的定义，因此该向量组也是向量组. （2）当时，存在一组向量是向量组不是向量组， 取，，，， ，，，， 满足向量组的定义，对于任意的， 则，所以的值为， 因为，所以. 又因为，所以. 所以此时. 所以不存在，使得， 故该向量组不是向量组. （3）当为奇数， 若对于一个向量组，将其中的数对更换为或者将与对换位置，向量组仍然为向量组. 所以不妨设对于任意的均有，取. 情况1：若对于每个，均有， 不妨设，则有 因为， 所以， 且有 所以 情况2：若存在，使得. 则可设， 当为偶数时， 同时 当为奇数时， 同时 综上可得,. 由已知条件可得及， 则有. 不妨设， 若，则 若，则 综上可知，当为奇数时，任意向量组都是向量组. 【解析】 【分析】（1）由向量组，向量组的定义以及向量的坐标运算即可求解；（2）选取，，，，求解可得，不能满足，即可求解；（3）根据与存在，两种情况进行讨论，得到，，然后讨论与的关系即可证明 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中考试元培高一 数学试卷 考生须知 1．考生要认真填写姓名、班级和学号． 2．本试卷共4页，分为两部分，共150分．考试时间为120分钟． 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．选择题和画图题必须用2B铅笔作答，其他题目必须用黑色字迹的签字笔作答． 4．考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知向量，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，在复平面内的对应点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. 5 D. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 已知两条直线，，三个平面，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则且 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 5. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 6. 已知圆锥顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线且，，则三棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平行四边形，为实数，，则“点P在平行四边形内（不含边界）”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的动点．若点为线段上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知在等腰直角中，，为斜边的中点．以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若向量，满足，，且与的夹角为，则_________． 12. 已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原中的大小是_________． 13. 已知一个圆锥的内切球的直径是该圆锥高的一半，则其内切球表面积与该圆锥表面积的比值是_________． 14. 已知在平面直角坐标系中，点在以原点为圆心、为半径的圆上．若动点满足，，则对于点，的取值范围是_________． 15. 如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界）．给出下列四个结论： ①平面截正方体的截面为等腰梯形； ②若，则点的轨迹长度为； ③三棱锥的外接球的表面积为； ④若平面，则直线不可能垂直于直线． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知两个向量，． （1）若，求实数的值； （2）若，其中，求的最小值． 17. 如图，正方体中，，，，分别为棱，，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 已知在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． （1）记平面平面，证明：； （2）若点在侧棱上且，求证：平面． 20. 已知函数的定义域为，若对任意，都有，则称函数具有性质． （1）判断函数，是否具有性质，并说明理由； （2）已知函数，判断是否存在，，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值． 21. 对于任意平面向量，定义．个平面向量组成的向量组，，，称为向量组，如果对每个都有，，，，．一个向量组称为向量组，如果存在使得． （1）已知向量组，，，判断该向量组是否为向量组？是否为向量组？说明理由． （2）当时，是否存在向量组不是向量组？若存在，举出一个例子；若不存在，说明理由． （3）当为奇数时，证明：任意向量组都是向量组． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $