北京市陈经纶中学2025-2026学年高一第二学期期中诊断数学试卷

2025—2026学年第二学期期中诊断数学试卷—答案 一、单选题 1．在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，共线，，，与同向，则实数的值为（ ） A．-3 B．-1 C．3 D．-3或3 4．如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A． B． C． D． 5．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A． B．6 C． D． 6．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，的面积记为S，若且，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，在正三棱柱中，，D为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 9．如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，，且，则的最大值为（ ） A．8 B．12 C．18 D．24 10．如图，在中，是的中点，是上一点，且，其中所有正确结论的序号是（ ） ①； ②； ③过点作一条直线与边，分别相交于点E，F，若，，则； ④若是边长为1的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是． A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 二、填空题 11．i是虚数单位，则的值为_______． 12．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是6 dm，则石凳的体积为___________． 13．已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标_______． 14．在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为_______． 15．如图，某湖泊沿岸有A，B，C，D四个镇，已知镇与镇之间的距离为，A镇与镇之间的距离为6 km，测得，，，则A，B两镇之间的距离为_______km． 16．已知是单位向量，向量满足，且，其中x，，且．则下列结论中，正确结论的序号是_______． ①； ②； ③存在x，y，使得； ④当取最小值时，． 三、解答题 17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知且． （1）求； （2）若，求的面积． 18．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且． （1）求的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分． 19．如图，在长方体中，，，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）取、中点M、N，若平面交于，证明：为中点； （3）求异面直线与所成角的大小； 20．如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 21．设m，，已知由正整数组成的集合，集合，，…，是S的互不相同的非空子集，定义数表： ，其中，设，令是，，…，中的最大值． （1）若，，且，求，，及； （2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值； （3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3． 学科网（北京）股份有限公司 $