精品解析：北京市首都师范大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

首师附朝阳学校2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 2026．5 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：A 2. 复数在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限. 【详解】∵复数=,∴复数对应的点的坐标是（）, ∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 3. 中内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以. 4. 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为 A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过建立圆柱和球的等量体积关系，即可得到答案. 【详解】解：设圆柱的高为h，则 ，， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆柱和球的相关公式，难度较小. 5. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根平面向量的数量积的运算公式和夹角公式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若， 可得， 因为，是两个不共线向量，所以，所以， 所以，所以， 又由，是两个不共线向量，可得， 即与的夹角为钝角，所以必要性成立； 由向量与的夹角为钝角，不妨设， 可得，此时， 所以与不垂直，即充分性不成立， 所以“与的夹角为钝角”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是（ ） A. CE B. CF C. CG D. CC1 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，使AC交BD于点O，连接A1O，CF，由，证得平行四边形，从而得线面平行． 【详解】如图，连接AC，使AC交BD于点O，连接A1O，CF， 在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，由于， 又OC＝AC，可得：，即四边形A1OCF为平行四边形， 可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面A1BD，CF⊄平面A1BD， 可得CF∥平面A1BD， 故选：B. 7. 在中，内角所对的边分别为，若，且，则的形状是 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】通过正弦定理可得可得三角形为等腰，再由可知三角形是直角，于是得到答案. 【详解】因为，所以，所以，即.因为，所以，又因为，所以，所以，故的形状是等腰直角三角形. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等. 8. 如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，求出的夹角范围，再利用向量数量积的定义、运算律求解作答. 【详解】过点作交半圆弧于点，连接，如图， 而是正三角形，则，令夹角为， 当点P在弧上时，，当点P在弧上时，，于是， 显然，， 所以 . 故选：B 9. 在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由余弦定理求得，并求得，利用三角恒等变换思想将化为以角为自变量的正弦型函数，利用正弦函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由和余弦定理得，又，. 因为三角形为锐角三角形，则，即，解得， ， ，即，所以，， 则，因此，的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形中代数式取值范围的计算，涉及利用余弦定理求角，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将代数式转化为以某角为自变量的三角函数来求解，考查计算能力，属于中等题. 10. 已知，，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到，则，结合余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，即， 即，即， 所以， 所以 ， 因为， 所以当时取最大值，最大值为. 故选：B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 11. 已知，，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数相等求出实数a，b，再利用复数模的定义计算作答. 【详解】依题意，化为：，而，则，解得， 所以. 故答案为： 12. 在单位长度的正方形网格中的位置如图所示，则_________，向量在向量上的投影的数量为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】设分别为水平向右、竖直向上的单位向量， 则，，则， 得到，， 则， 因为，所以； 向量在向量上的投影的数量为. 13. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】由，得，得， 所以的面积为. 故答案为：. 14. 如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，、分别是、的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】设三棱柱为高为，底面积为，则，点到平面的距离为，利用柱体和锥体的体积公式可求得. 【详解】设三棱柱为高为，底面积为，则，点到平面的距离为， 所以，，，故. 故答案为：. 15. 已知函数的最大值为2，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，再求函数值即可. 【详解】函数，， 故函数的最大值为，由已知得，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论： ①四棱锥的体积为定值； ②三棱锥的体积的最大值为； ③的最小值为. 请写出所有正确结论的序号______ 【答案】①② 【解析】 【分析】对于①：根据∥平面可知四棱锥的高为定值，进而可得结果；对于②：分析可知的面积最大值为，三棱锥的最大值为2，即可得体积最大值；对于③：将翻折到与矩形共面，结合平面几何性质分析最值. 【详解】对于①：因为∥平面，且， 可知点到平面的距离相等，即四棱锥的高为定值， 且底面为面积为定值，所以四棱锥的体积为定值，故①正确； 对于②：因为点在棱上，且， 可知当且仅当点与点重合时，的面积取到最大值， 又因为点在棱上，且平面， 可知当且仅当点与点重合时，三棱锥的高取到最大值2， 所以三棱锥的体积的最大值为，故②正确； 对于③：如图将翻折到与矩形共面， 连接交于点，此时取得最小值， 因为，，则，可得， 所以的最小值为，故③错误； 故答案为：①②. 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知，为锐角，，． Ⅰ求的值； Ⅱ的值． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据同角三角函数关系，求得，再利用二倍角公式求得结果；（Ⅱ）根据同角三角函数求得和；再利用两角和差公式求解出，从而得到，利用两角和差正切公式求得结果. 【详解】（Ⅰ）已知，为锐角，，所以： 则： （Ⅱ）由于，为锐角，则 又 由（Ⅰ）知： 所以： 则： 故： 【点睛】本题考查同角三角函数、二倍角公式、两角和差公式的应用，关键在于能够熟练的掌握公式构成，属于基础题. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期和的单调递减区间； （2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值. 【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间； （2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值. 【详解】（1）， 所以，函数的最小正周期为. 由，可得， 函数的对称中心为； 解不等式，解得. 因此，函数的单调递减区间为； （2）当时，， 当时，即当时，函数取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． （1）求的值； （2）若四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）先计算出，然后用模的坐标公式即可求解； （2）先设，利用即可求解； （3）利用数量积的坐标公式和二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由，，得， 所以． 【小问2详解】 设，而，则， 由四边形是平行四边形，得，即，解得， 所以点的坐标是． 【小问3详解】 由点是直线上的一个动点，得，即，于是 因此， 所以当时，取得最小值． 20. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且平面∩平面，，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）连结，交于点O，如图示： ∵O是正方形对角线交点， ∴O为中点，而E为线段的中点， ∴，平面，平面， ∴平面； （2）由（1）平面，且平面∩平面，平面，所以； （3） 【解析】 【分析】（1）连结，交于点O，连结，可得，再由线面平行的判定可得平面； （2）根据（1）的结论及线面平行的性质定理证明结论； （3）由等体积法及棱锥的体积公式求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设知，三棱锥的体积. 21. 在中，． （1）求A的大小； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）选择①②，均有最长边上高线长. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化简求值； （2）若选择条件①，方法一，根据正弦定理和余弦定理求三边，判断最长边，再根据几何关系求高，方法二，根据边长和角，根据大角对大边，直接判断最长边，再求高； 若选择条件②，根据面积求，再根据余弦定理求边长，再求最长边的高； 如选择条件③，根据正弦定理，判断是否存在. 【小问1详解】 因为，所以 所以， 所以，因为，所以舍 所以，则； 【小问2详解】 选择① 因为，由正弦定理 代入，得 法一： 由余弦定理 代入得 所以 所以或（舍），所以边最长， 边上的高线 法二： 因为，所以， 所以，所以，所以为最长边 边上的高线 选择② 因为 所以 因为，由余弦定理 所以 所以或 所以最长边上的高线， 若选择③，， 根据正弦定理，，则，不成立， 此时不存在. 22. 对任意正整数，定义集合．设，定义：，． （1）（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； （2）设，证明：； （3）设，，，，求； 【答案】（1） （2）设，则有： ，，，， ，，， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）（2）根据集合新定义判断、证明即可； （3）首先根据定义得，然后分类讨论即可求解； 【小问1详解】 因为，，，，所以， 因为集合中元素的每个坐标绝对值都不超过，显然不超过，因此； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则有，． 由，所以必为偶数，因此， 当时，，但，不可能； 当时，，但，不可能； 所以，， 因为，同理得，， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首师附朝阳学校2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 2026．5 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4 2. 复数在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 中内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为 A. 1 B. C. 2 D. 4 5. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是（ ） A. CE B. CF C. CG D. CC1 7. 在中，内角所对的边分别为，若，且，则的形状是 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不确定 8. 如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为 A. B. C. D. 10. 已知，，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 11. 已知，，，则_____________. 12. 在单位长度的正方形网格中的位置如图所示，则_________，向量在向量上的投影的数量为_________． 13. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为______. 14. 如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，、分别是、的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则___________. 15. 已知函数的最大值为2，则=__________. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论： ①四棱锥的体积为定值； ②三棱锥的体积的最大值为； ③的最小值为. 请写出所有正确结论的序号______ 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知，为锐角，，． Ⅰ求的值； Ⅱ的值． 18. 已知函数. （1）求的最小正周期和的单调递减区间； （2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． （1）求的值； （2）若四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）求的最小值． 20. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且平面∩平面，，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 21. 在中，． （1）求A的大小； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 22. 对任意正整数，定义集合．设，定义：，． （1）（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； （2）设，证明：； （3）设，，，，求； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $