专题07 二次根式（二十一大题型63道题）专项练习 -2026-2027学年北师大版八年级上册数学

**基本信息** 以21个知识点构建“概念-性质-运算-应用”全链条训练，通过63道题系统提炼二次根式化简、运算及参数问题的解题方法，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|4知识点12题|定义辨析与参数确定|从识别到有意义条件的概念生成| |性质应用|3知识点9题|二次根式性质与复合化简|性质推导到乘除运算的原理延伸| |运算体系|6知识点18题|运算技巧与分母有理化|运算规则到化简策略的方法迁移| |综合拓展|8知识点24题|求值应用与规律探究|实际应用到新定义问题的能力拓展|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题07 二次根式（二十一大题型63道题） 目录 知识点一二次根式的识别 2 知识点二求二次根式的值 2 知识点三求二次根式中的参数 3 知识点四二次根式有意义的条件 3 知识点五利用二次根式的性质化简 3 知识点六复合二次根式的化简 4 知识点七二次根式的乘法、除法及乘除混合运算 5 知识点八最简二次根式的判断 5 知识点九化为最简二次根式  6 知识点十已知最简二次根式求参数 6 知识点十一二次根式的加减运算 6 知识点十二二次根式的混合运算 7 知识点十三分母有理化 7 知识点十四已知字母的值，化简求值 8 知识点十五已知条件式，化简求值 8 知识点十六比较二次根式的大小 9 知识点十七二次根式的应用 9 知识点十八实数的混合运算 10 知识点十九新定义下的实数运算 10 知识点二十实数运算的实际应用 10 知识点二十一与实数运算相关的规律题 11 知识点一二次根式的识别 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 2．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 3．观察下面表中的式子，写出第n个式子(用含n的代数式表示)，并问这个式子一定是二次根式吗？为什么？ 知识点二求二次根式的值 4．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 5．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 6．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 知识点三求二次根式中的参数 7．若是一个整数，则正整数m的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若是整数，且是自然数，则的值是__________． 9．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 知识点四二次根式有意义的条件 10．当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 11．请写出一个使在实数范围内有意义的的值_______________． 12．已知实数满足，求的值． 知识点五利用二次根式的性质化简 13．下列是最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 14．已知在中，，，则___________． 15．如图，已知在中，于，，，． (1)求的长． (2)求的长． 知识点六复合二次根式的化简 16．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 18．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 知识点七二次根式的乘法、除法及乘除混合运算 19．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 20．计算：______． 21．定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 知识点八最简二次根式的判断 22．下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 23．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 24．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 知识点九化为最简二次根式  25．与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 26．若能与最简二次根式合并，则的值为________． 27．小明用计算器计算的近似值，得到 (1)请用这个近似值计算的近似值（结果保留三位小数）； (2)请用这个近似值，计算的近似值（结果保留三位小数）． 知识点十已知最简二次根式求参数 28．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 29．若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 30．已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 知识点十一二次根式的加减运算 31．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 32．计算：_______． 33．计算： (1)． (2)已知，，求代数式的值． 知识点十二二次根式的混合运算 34．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 35．先化简，再求得它的近似值为_________．（结果精确到） 36．计算： (1)； (2)． 知识点十三分母有理化 37．下列化简正确的是（     ） A． B． C． D． 38．已知：，则的值是________． 39．代数求值 (1)若，求的值； (2)若，求的值． 知识点十四已知字母的值，化简求值 40．已知，则代数式的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 41．若的整数部分为a，小数部分为b，则___________． 42．已知：，满足，先化简，再求值． 知识点十五已知条件式，化简求值 43．已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 44．已知，则______． 45．已知，，求的值． 知识点十六比较二次根式的大小 46．下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 47．已知，，，，比较、、的大小___________． 48．作商法比较与的大小． 知识点十七二次根式的应用 49．如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 50．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 51．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中．若一个电视塔的高度为，求该电视塔发射节目信号的传播半径． 知识点十八实数的混合运算 52．一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 53．计算：________． 54．解答下列各题 (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知实数的平方根是，，求的平方根． 知识点十九新定义下的实数运算 55．规定新运算：，则等于（     ） A． B． C． D． 56．定义一种新运算：，则_______． 57．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 知识点二十实数运算的实际应用 58．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，3，4 C．7，14，15 D．1，1， 59．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 60．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 知识点二十一与实数运算相关的规律题 61．有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 62．2022年5月，黔西南州爆发地区性流感，1名感染者每天传染2人，某校九年级（3）班某天有2名学生感染流感，经过2天的传播一共有______ 名学生被感染． 63．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题07 二次根式（二十一大题型63道题） 目录 知识点一二次根式的识别 2 知识点二求二次根式的值 3 知识点三求二次根式中的参数 4 知识点四二次根式有意义的条件 5 知识点五利用二次根式的性质化简 6 知识点六复合二次根式的化简 7 知识点七二次根式的乘法、除法及乘除混合运算 10 知识点八最简二次根式的判断 11 知识点九化为最简二次根式  12 知识点十已知最简二次根式求参数 13 知识点十一二次根式的加减运算 15 知识点十二二次根式的混合运算 16 知识点十三分母有理化 17 知识点十四已知字母的值，化简求值 19 知识点十五已知条件式，化简求值 20 知识点十六比较二次根式的大小 21 知识点十七二次根式的应用 23 知识点十八实数的混合运算 24 知识点十九新定义下的实数运算 25 知识点二十实数运算的实际应用 26 知识点二十一与实数运算相关的规律题 28 知识点一二次根式的识别 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 2．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 3．观察下面表中的式子，写出第n个式子(用含n的代数式表示)，并问这个式子一定是二次根式吗？为什么？ 【答案】是二次根式，理由见解析． 【分析】根据形如（a≥0）是二次根式，可得答案． 【详解】解：第n个式子是，一定是二次根式， 理由如下：的被开方数是非负数， ∴是二次根式． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用了二次根式的定义：形如（a≥0）是二次根式． 知识点二求二次根式的值 4．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的值代入二次根式，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将代入二次根式可得． 5．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 6．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 知识点三求二次根式中的参数 7．若是一个整数，则正整数m的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据二次根式结果为整数的性质，得出需为完全平方数，即可求出正整数的最小值 【详解】解：， 又是整数， 是整数，即为完全平方数， 要找最小的正整数， 满足条件的最小正整数 8．若是整数，且是自然数，则的值是__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及一元二次方程根的判别式．设（为自然数），则，整理得关于的二次方程，其判别式，需为完全平方数．令，得，因式分解后根据整数解条件求解和，再代入求根公式得的值即可解答． 【详解】解：设自然数满足（为自然数）， 则，整理得， 将方程看作关于的二次方程， 其判别式需为完全平方数：， 设（为整数）， 则， 因式分解得， 由于为质数，其整数因式分解为或， 故有：①， ，解得，， ②，，解得，， ③， ，解得（舍去，因为为自然数）， ④，，解得（舍去，因为为自然数）， 将代入原方程，解得，即或， 验证这两个解均满足原方程， 故答案为：或． 9．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 知识点四二次根式有意义的条件 10．当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件逐个分析即可． 【详解】解：， ， 二次根式没有意义的是． 11．请写出一个使在实数范围内有意义的的值_______________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此解出的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵要使在实数范围内有意义， ∴ 被开方数需大于或等于0，可得，解得， ∴任取一个小于或等于3的数即可，例如，． 12．已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再判断的正负情况从而去绝对值，整理整式后即可求出结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，得， ∴， ∴， ∴． ∴代入原式得，， 移项，得， ∴两边同时平方，得． ∴． 【点睛】二次根式具有双重非负性，绝对值具有非负性，利用非负性判断的取值范围，从而化简整理代入求解． 知识点五利用二次根式的性质化简 13．下列是最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的判定标准：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵，，， ∴选项均不是最简二次根式， 选项的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 14．已知在中，，，则___________． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 15．如图，已知在中，于，，，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）于，，， 在中，， ； （2）在中，， ， ． 知识点六复合二次根式的化简 16．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 17．利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【分析】根据，求解即可 【详解】解：， 原式 18．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点七二次根式的乘法、除法及乘除混合运算 19．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意． 20．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 21．定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ， ， ， ∴． 知识点八最简二次根式的判断 22．下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 的被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，的被开方数含分母，不是最简二次根式； 所以最简二次根式共2个，故A选项符合题意． 23．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式，据此列式解答即可．　 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 24．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 知识点九化为最简二次根式  25．与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同类二次根式定义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 对于选项B：，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 对于选项C：，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 对于选项D：，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式． 26．若能与最简二次根式合并，则的值为________． 【答案】5 【分析】先化简，根据同类二次根式可以合并的性质，得到最简二次根式的被开方数与化简后的被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵，能与最简二次根式合并， ∴与是同类二次根式，被开方数相等， ∴， ． 27．小明用计算器计算的近似值，得到 (1)请用这个近似值计算的近似值（结果保留三位小数）； (2)请用这个近似值，计算的近似值（结果保留三位小数）． 【答案】(1)3.464 (2)17.493 【详解】（1）解： （2）解： 知识点十已知最简二次根式求参数 28．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】∵最简二次根式和可以合并， ∴， 解得：. 29．若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的概念，找到满足被开方数为非负数且不含能开得尽方的因数的即可. 【详解】解：令， 解得， 此时是最简二次根式，符合要求. 30．已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得． 【详解】解：最简二次根式与可以合并，， 且、， 则①，②，③， 将①、②代入③，得：， 解得：， 、， ． 知识点十一二次根式的加减运算 31．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 32．计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 33．计算： (1)． (2)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式的运算法则计算即可； （2）利用平方差公式化简计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：， ，， 原式 ． 知识点十二二次根式的混合运算 34．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的除法得到，再进行无理数的估算即可． 【详解】解：． ． 又． ． 即． ． 35．先化简，再求得它的近似值为_________．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题先将所有二次根式化为最简二次根式，再去括号合并同类二次根式，最后代入的近似值计算得到结果． 【详解】解：原式， ， ， ． 故答案为：． 36．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点十三分母有理化 37．下列化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质及运算法则，逐一化简各选项判断正误． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、， ∵， ∴，正确，故选项符合题意． 38．已知：，则的值是________． 【答案】/ 【分析】先将分母有理化化简，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 39．代数求值 (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】先将二次根式分母有理化，再将字母的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 知识点十四已知字母的值，化简求值 40．已知，则代数式的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题应该先化简，再代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴原式． 41．若的整数部分为a，小数部分为b，则___________． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数整数部分与小数部分的计算，先估算得到的取值范围，进而推得的取值范围，求出，的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：， ， 不等式各项同时减1，得， 的整数部分，小数部分 ， ∴． 42．已知：，满足，先化简，再求值． 【答案】， 【详解】解：， ， ， 当，时，原式 ． 知识点十五已知条件式，化简求值 43．已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 44．已知，则______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此先求出和的值，再代入分式计算即可得到结果． 【详解】，，且 ， 解得， 将，代入 得：． 45．已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据、可知，再根据二次根式的性质化简可得，最后将代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ． 知识点十六比较二次根式的大小 46．下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正数的算术平方根的性质即可求解，当时，若，则． 【详解】∵四个选项中二次根式的被开方数都是正数，且， ∴， ∴值最大的是． 47．已知，，，，比较、、的大小___________． 【答案】 【分析】对，，分别取倒数，分母有理化后比较倒数的大小，再根据正数的倒数越大，原数越小得到最终大小关系． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ，即， ∵正数中，倒数越大，原数越小， ∴． 48．作商法比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查作商法比较二次根式的大小，解题的关键是掌握二次根式的性质及乘除运算法则．用除以，结果与1比较大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 知识点十七二次根式的应用 49．如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 50．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 【答案】 【分析】将已知的下落高度代入给定关系式，再化简二次根式即可得到所求时间． 【详解】解：把代入，得， ∴如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是． 51．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中．若一个电视塔的高度为，求该电视塔发射节目信号的传播半径． 【答案】该电视塔发射节目信号的传播半径为． 【分析】将已知的R、h的值代入公式，然后计算即可求得传播半径r的值． 【详解】解：∵ ，，， ． 答：该电视塔发射节目信号的传播半径为． 知识点十八实数的混合运算 52．一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，再计算面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，斜边长为，两条直角边长分别为，， ∴面积为． 53．计算：________． 【答案】/ 【详解】解： ． 54．解答下列各题 (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知实数的平方根是，，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先估算无理数和的大小，得到和的值，再代入代数式计算即可 （2）根据平方根和立方根的定义求出和的值，再计算的平方根即可． 【详解】（1）解： 的小数部分 的整数部分 将，代入得：； （2）解：实数的平方根是 解得 解得 的平方根为． 知识点十九新定义下的实数运算 55．规定新运算：，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把写出整数的混合运算，然后再运用整数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由新运算规则得，． 56．定义一种新运算：，则_______． 【答案】/ 【分析】由新定义运算，结合立方根、完全平方公式和实数混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 57．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据规定有理数的新运算法则运算即可． 【详解】（1）解：根据新运算得． （2）解：， ． 知识点二十实数运算的实际应用 58．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，3，4 C．7，14，15 D．1，1， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是分别计算各组数的平方，判断是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A、，，，此选项不符合题意； B、，，，此选项不符合题意； C、，，，此选项不符合题意； D、，，，此选项符合题意． 故选：D． 59．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 60．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 知识点二十一与实数运算相关的规律题 61．有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出数据分子和分母的变化规律，推导出第个数的通用表达式，再代入计算即可得到结果． 【详解】观察已知数据找规律： 第个数为 ， 第个数为 ， 第个数为 ， … ∴ 归纳可得，第个数为， 当时，代入得：第个数为 ． 62．2022年5月，黔西南州爆发地区性流感，1名感染者每天传染2人，某校九年级（3）班某天有2名学生感染流感，经过2天的传播一共有______ 名学生被感染． 【答案】 【分析】初始有2名感染者，1人每天传染2人，每天总感染数为前一天总感染数乘以传染人数，依次计算得到两天后的总感染数. 【详解】解：∵初始有名已感染的学生，人天可以传染人， ∴第一天传播结束后，总感染人数为 ， ∵第二天由所有已感染的学生继续传播， ∴第二天传播结束后，总感染人数为 . 63．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2) 猜想：第个等式为， 证明：∵左边， 又∵右边． ∴左边=右边， ∴原等式成立． 【分析】（1）观察前4个等式的规律即可； （2）使用平方差公式进行展开即可． 【详解】（1）解：观察规律可得，第5个等式为； （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $