专题03 二次根式概念及性质（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，通过分级题型（基础/高频/难点）构建二次根式专项突破体系，融合方法提炼与中考真题，培养抽象能力与运算推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|5类15题|定义识别法、有意义条件分析法、性质化简规则、复合根式配方法|从二次根式定义（概念生成）到有意义条件（范围与求值），再到性质应用（基础化简与复合根式转化），形成完整逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|3类15题|数轴结合化简、完全平方公式转化、跨知识综合应用|整合代数推理与几何直观，通过综合题深化性质理解，衔接中考命题趋势|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3二次根式概念及性质 内容概览 目常考题型·精准突破 题型1利用二次根式的定义识别与求字母的值（重） 题型2根据二次根式有意义条件求范围（高频） 题型3根据二次根式有意义求值（高频） 题型4根据二次根式的性质化筒二火根式（难） 题型5复杂的复合二次根式化简（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用二次根式的定义识别与求字母的值 1.(25-26八年级下内蒙古呼和浩特·期末)下列式子中，是二次根式的是() A.x B.5 C.5 D.Va-3 2.(25-26八年级下山东聊城期末)下列式子一定是二次根式的是( A.-2 B.-27· C.√a+2026 D.Vx2+2026 3.(25-26八年级下河北唐山期中)已知V8n是整数，则正整数n的最小值为() A.8 B.6 C.4 D.2 ◆题型2根据二次根式有意义条件求范围 4.(25-26八年级下·吉林延边期末)要使二次根式√a-3有意义，则a的取值范围是 5.(25-26八年级下辽宁抚顺期末)要使二次根式√6-3x有意义，则x的取值范围是 6.(25-26八年级下新疆乌鲁木齐期末)若二次根式V2026-x有意义，则x的取值范围是 ◆题型3根据二次根式有意义求值 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26七年级下河南信阳期末)若y=V3x-7+√7-3x+4,则y=」 8.(2526八年级下四广元期中)已知y=21+1+5,则y的值为 9.(2026-四川广安中考真题)已知a,b为实数，且8a-3+22-5b=a-5b+26,则a+b的平方根是 ◆题型4根据二次根式的性质化筒二次根式 10.(25-26八年级下江苏南京期末)若a<0,则Va-a= 11.(25-26八年级下四川德阳期末)当2<x<4时，化简：x-4+Vx-2= 12.(25-26八年级下·山东聊城阶段检测)实数4，b在数轴上的位置如图所示，化简： a+1-Vb-12+V(a-b)}= ◆题型5复杂的复合二次根式化筒 13.(25-26八年级下山东聊城期中)有这样一类题目：将√a+2vb化简，如果你能找到两个数m、n, 使m2+n=a且mn=V万，则将a+2万变成m2+n2+2mm,即变成(m+n,从而使得a+2W得以化简。 例如：5+26=3+2+26=(+(2+225=(5+2)j 8+27=1+7+2万=(+万j+2万=(i+V7=(1+ (1)请仿照上例化简：12+235=-，9+4V5=_ (2)请运用上述方法化简V11-230.(写出计算过程) )若a+25=(m+m,且a、m、n均为整数，求a的值. 14.(25-26八年级下·吉林·期中)在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠 死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺 的关键因素.小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 3+22=2+22+1=(N2+22x1+12=(W2+1, 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5+26=3+26+2=(5+23x2+2=(5+2 根据以上信息，解答下列问题. (1)填空：8+27=（一+1）2； (2)将7+2W10化成另一个式子的平方： (3)化简二次根式V3-22，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将3-2√2转化为(a-b)的形式， 再根据V(a-b)=口-bl进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出√3-2√化简为一 15.(25-26八年级下·广东汕头期末)阅读材料：把根式Vx±2√y进行化简，若能找到两个数m,n,使 m2+n2=x,mn=,即把x±2变成m2+2±2mn=(m±n,从而可以对根式Vx±2进行化简. 例如：化简：V5-2√6. 解：5-26=3-26+2=(5-2x5x2+(2=(5-V2, 5-26=5-2=3-反. 根据上述材料，解答下列问题. (1)化简：V6+4√2. (2)化简：Vm+2√m-i. (3)计算：V19+8V5-V10-4W6. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下·河北保定期末)下列式子一定是二次根式的为（) A.√ B. C.x+2 D.vx-i 2.(2026贵州遵义·模拟预测)式子Vx+3在实数范围内无意义，则x的值可能是() A.-4 B.-3 C.1 D.6 3.(2026江苏苏州模拟预测)若x<0,则化简V-xy的结果是() 3/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-xxy B.x√炒 C.-x/-xy D.x/xy 4.(25-26八年级下山东德州期末)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简 Va+1+V仍--6-a)}的结果是() a b ◆ -1 0 1 A.2a B.-2b C.-2 D.0 5.(25-26八年级下广东惠州期中)一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次 根式，例如：√万、√6-万、√3+2√2都是复合二次根式.其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步 化简，如：5+22-+(2+2x1xV2=1+V=1+2.请你利用上述方法化简复合二次根式： V8-2V15=() A.√6-2 B.5-V5 C.15-1 D.√7-1 二、填空题 6.(2026云南二模)若V20-n是整数，则n的值可以是 (写出一个即可) 7.(26-27九年级全国·暑假作业)二次根式Vx-3有意义，则x的取值范围是一；若 √x+2+y-1=0,则x+y的值为一 8.(25-26九年级下-山东烟台期未)化简Vx-2025)-(√x-2026的值为. 9.(2026重庆模拟预测)若三角形的三边长为a、b、c,且满足(a-3)2+1b-4c-5+V5-c,则该三 角形的面积为 10.(25-26八年级下·江苏宿迁期末)利用完全平方公式可将某些像a+b√2的式子化为完全平方式，例 如3+22=(2+22+1=（√2+1.根据上述方法，化简：√4+4W6-25得 三、解答题 11.(25-26八年级下新疆巴州期中)己知m、n满足(m-3犷+n-=0,x、y满足 y=Vx-2+V2-x+4,求x"+y的值. 12.(25-26八年级下·山东烟台期末)化简下列各式： ()1-2x2-1-x. 4/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知a,b,c为△ABC的三边长，化简代数式a+b-c)+V仍-a-c. 13.(25-26八年级下广东江门期中)已知a,b为实数，且a,b满足Va-7+V7-a=b+1. (1)求a的值； (2)求a2-b2的平方根. 14.(25-26八年级下'广东东莞·期中)小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式 子的平方，如：3+22=(1+V②.善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： 3+2V2=P+2x1×V2+(V2)=(1+V2).请你仿照小明的方法解决下列问题： ①4-25=(a-b5,则a= (2)已知x是4-2W5的算术平方根，求x2+2x-2024的值. 15.(25-26八年级下·浙江金华期中)阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写 成另一个式子的平方， 例如：3+22=(1+V2,善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b,m、n均为整数时，若a+bN2=(m+n2,则有a+bN2=m+2r+2mn5.a=m2+2n b=2n.这样小敏就找到了一种把类似a+bW2的式子化为平方式的方法， 例如：化简V3+2√2 解：因为3+22=1+2+22=P+(V2+2×1x2=(1+2 所以V3+22=1+2=1+2 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： )当a,b、m、n均为整数时，若a+b5=(m+5,用含m、n的式子分别表示a、b,则：a=- b二； (2)化简：V11-6W2; 02知1as2化简：方a+2+0-2a同 515的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03二次根式概念及性质 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用二次根式的定义识别与求字母的值（重） 题型2根据二次根式有意义条件求范围（高频） 题型3根据二次根式有意义求值（高频） 题型4根据二次根式的性质化筒二火根式（难） 题型5复杂的复合二次根式化筒（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用二次根式的定义识别与求字母的值 1.B 2.D 3.D ◆题型2根据二次根式有意义条件求范围 4.a≥3 5.x≤2 6.x≤2026 ◆题型3根据二次根式有意义求值 1. 8.5 9.±25 ◆题型4根据二次根式的性质化简二次根式 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.-2a 11.2 12.-2a ◆题型5复杂的复合二次根式化简 13. 【答案】万+5，(5+2 (②6-5 (3)a的值为8或16. 【详解】(1)解：12+2V35 =7+5+27×5 =(7+(5+275 =(7+5, 9+45 =9+220 =5+4+25x4 =(5+(N4+2W54 =(5+2: (2)解：V11-230=V6+5-2√6x5 =6+5-265 =6-5列 =√6-5； (3)解：：(Nm+n=m+n+2mm,a+25=(m+n, ..m+n=a,mn=15 ,m、n均为整数，且15=1×15=3×5， 217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .当m=1,n=15时，a=1+15=16, 当m=15,n=1时，a=15+1=16, 当m=3,n=5时，a=3+5=8, 当m=5,n=3时，a=5+3=8, ∴.a=8或16」 14. 【答案】()V万 2(5+2) (3)2-1 【详解】(1)解：8+2W7=7+27+1=(7)+2x7x1+P=(万+1， (2)解：7+20=5+20+2=(N5+2x5x2+(2=(5+2. 3)解：5-22=2-2W2+1=5-°=2-1=V2-1 15. 【答案】(1)2+√2 (2)Vm-1+1 (3)6+V5-V6 【详解】(1)解：：6+42=22+2×2×V2+(2=(2+V2), 6+4W2=2+2)=2+2: (2)解：m+2√m-1 =m-1+2×√m-1×1+1 =(m-1+2xm-1x1+ =（mi+, 而Vm-1≥0，则Vm-1+1>0 vm+2m-可=(m+1=m-可+1： (3)解：V19+83-V10-46 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =4+-不6-2 =4+-V6-2 =4+V3-V6+2 =6+3-V6】 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 2.A 3.C 4.B 5.B 二、填空题 6.20(答案不唯一) 7.x≥3 -1 8.1 9.6 10.√2 三、解答题 11. 【答案】12 【详解】解：(m-3}'+n-l=0, ∴.m-3=0,n-1=0, 解得m=3,n=1, :x、y满足y=Vx-2+V2-x+4, .x-2≥0,2-x20, 解得x≥2，x≤2， 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=2, .y=4, x"+y=23+4=8+4=12」 12. 【答案】(1)-x (2)2a 【详解】(1)解：二次根式有意义， .1-2x20, 解得x≤2： .1-x>0. (1-2x-1-x=1-2x-(1-x)=1-2x-1+x=-x: (2)解：a,b,c为△ABC的三边长， ..a+b>c,a+c>b, 即a+b-c>0,b-a-c<0. ..(a+b-c)2+(b-a-c)2=a+b-c+a+c-b =2a 13. 【答案】(1)a=7: (2a2-b2的平方根为4V3. 【详解】(1)解：：a-720, a27, .7-a≥0， .a≤7， ∴.a=7 (2)解：a=7, .a-7=0,7-a=0, .Va-7+V7-a=b+1, .b+1=0, .b=-1, 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a2-b2-72-(-1=49-1=48, ∴a2-b2的平方根为48=4v5. 14. 【答案】（①）l,1 (2)-2022 【详解】(1)解：4-23=(5-23+=(W5-12=1-Vy. a=1 由4-25=(a-b5可得6=1： (2)解：4-23=(（3-2x1x3+1P=(V5-, x=5-}=5-1, :x2+2x-2024=4-25+2(5-1-2024=4-2-2024=-2022 15. 【答案】(1)m2+5n2,2mn (2)3-2 (3)V2 【详解】(1)解：：(m+m5'=m2+25mn+5m2,且a+b5=(m+n5, .a=m2+5n2,b=2mn: (2)解：11-62=9+2-62=32+(2-2x3×2=(3-2, 1-62=3-2=3-5, (3)解：：1≤a≤2， .0≤a-1≤1， .0≤Va-1≤1， 0+2a+a-2a可 5a-1l+2a+a-1+1-2a同 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-可r+2aa可矿r-同 a++a可- a1+1-0-可刃 2*2 =2. 717 专题03 二次根式概念及性质 常考题型·精准突破 题型1 利用二次根式的定义识别与求字母的值（重） 题型2 根据二次根式有意义条件求范围（高频） 题型3 根据二次根式有意义求值（高频） 题型4 根据二次根式的性质化简二次根式（难） 题型5 复杂的复合二次根式化简（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用二次根式的定义识别与求字母的值 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的根指数为3，不是二次根式，故C选项不符合题意； 与的被开方数取值不确定，可能为负数，不一定是二次根式，故A、D选项不符合题意； 的根指数为2，被开方数为正数，符合二次根式的定义，故B选项符合题意； 2．（25-26八年级下·山东聊城·期末）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：被开方数为负，根指数为3，均不是二次根式． 当时，的被开方数小于0，不是二次根式． ∵， ∴ ∴一定是二次根式． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】若最简二次根式的结果为整数，则被开方数是完全平方数，先化简原式，再据此求最小正整数n． 【详解】解：∵，是整数，是正整数， ∴为整数，即是完全平方数， 当时，，是完全平方数，满足条件， ∴正整数的最小值为． ◆题型2 根据二次根式有意义条件求范围 4．（25-26八年级下·吉林延边·期末）要使二次根式有意义，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：有意义， ， 解得： ． 5．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 6．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，可得 ， 移项得 ， 系数化为，得 ． ◆题型3 根据二次根式有意义求值 7．（25-26七年级下·河南信阳·期末）若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于的不等式组，求解得到的值，再代入原式求出的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ， ． 8．（25-26八年级下·四川广元·期中）已知，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·四川广安·中考真题）已知，为实数，且，则的平方根是_____． 【答案】 【分析】设，，则原方程可整理为，通过完全平方公式变形可得，结合非负数的性质可得，，从而计算出，，则，最后求平方根即可． 【详解】解：设，，则，，，， ∴，， 代入原方程可得， 整理，得， 变形，得， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，，符合题意， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． ◆题型4 根据二次根式的性质化简二次根式 10．（25-26八年级下·江苏南京·期末）若，则_______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 11．（25-26八年级下·四川德阳·期末）当时，化简：________． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴． 12．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【分析】． 【详解】由数轴知，， ， ， ． ◆题型5 复杂的复合二次根式化简 13．（25-26八年级下·山东聊城·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为8或16． 【分析】（1）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （2）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合、为整数的条件，求出、的值，进而求出的值． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 14．（25-26八年级下·吉林·期中）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （2）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （3）仿照小知的方法将化为，即可化简； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 15．（25-26八年级下·广东汕头·期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）下列式子一定是二次根式的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据定义，形如的式子叫做二次根式，即只有被开方数恒非负时，式子一定是二次根式． 对选项A，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项C，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项D，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项B，对任意实数，都有，满足二次根式被开方数非负的要求，一定是二次根式． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）式子在实数范围内无意义，则的值可能是（     ） A． B． C．1 D．6 【答案】A 【分析】二次根式在实数范围内无意义时，被开方数为负数，据此求出x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】∵式子在实数范围内无意义， ∴由题意得 ， 解得， 观察选项，只有，符合条件， 故选：A． 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 4．（25-26八年级下·山东德州·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：，则有， ∴． 5．（25-26八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 又∵， ∴． 二、填空题 6．（2026·云南·二模）若是整数，则的值可以是_______（写出一个即可） 【答案】20（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的定义，若为整数，则被开方数必须是非负的完全平方数，据此即可求出的一个符合条件的值． 【详解】解：是整数， 是非负的完全平方数， 设，其中为非负整数， 整理得， 取，得． 7．（26-27九年级·全国·暑假作业）二次根式有意义，则的取值范围是______；若，则的值为______． 【答案】 【详解】已知二次根式有意义， 所以，解得． 因为二次根式和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0， 已知， 因此，， 解得，， 所以． 8．（25-26九年级下·山东烟台·期末）化简的值为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围，再利用二次根式的性质，化简，最后合并同类项得到结果． 【详解】 解：要使有意义，可得 解得 由，可得 化简原式： ． 9．（2026·重庆·模拟预测）若三角形的三边长为a、b、c，且满足，则该三角形的面积为________． 【答案】6 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值，再利用非负数的性质求出的值，最后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，计算三角形面积即可. 【详解】解：由题意，，解得， 将代入原式得， ∴，， 解得，， ， 该三角形是直角三角形，直角边长为和， 面积为. 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【分析】根据，求解即可 【详解】解：， 原式 三、解答题 11．（25-26八年级下·新疆巴州·期中）已知、满足，、满足，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出，，再根据二次根式的定义求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得，， 、满足， ，， 解得，， ， ， ． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）化简下列各式： (1)． (2)已知，，为的三边长，化简代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，进而确定的符号，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可； （2）首先根据构成三角形的条件判断被开方数的底数的符号，进而利用化简即可． 【详解】（1）解：∵二次根式有意义， ， 解得． ． ； （2）解：，，为的三边长， ，， 即，． ． 13．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)的平方根为． 【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得，，即可得的值； （2）由（1）得，结合已知可得，可得，即可得的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 14．（25-26八年级下·广东东莞·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题： (1)，则_______，_______； (2)已知是的算术平方根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将配方为，再根据左右两边式子相等得到的值； （2）先利用配方法得到的算术平方根，代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：， 由可得； （2）解：， ， ∴． 15．（25-26八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得出结果； （2）将被开方数，变形为，再结合二次根式的性质化简即可； （3）由，得出，再将根号里面的变成完全平方式，最后根据二次根式的性质化简即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $