专题05 平方根（十一大题型33道题） 《典例全解·题型通关》 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本专项围绕平方根主题，通过十一大题型33道题构建从概念理解到性质应用再到综合拓展的递进式训练，突出抽象能力、运算能力与模型意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |算术平方根（知识点1-6）|18题|概念辨析、非负性应用、估算、规律探索、实际应用|从定义到性质，再到实际问题解决，形成完整认知链| |平方根（知识点7-11）|15题|概念理解、求平方根、代数式求值、解方程|承接算术平方根，深化概念内涵，拓展方程应用|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题05 平方根（十一大题型33道题） 目录 知识点一求一个数的算术平方根 1 知识点二利用算术平方根的非负性解题 2 知识点三估计算术平方根的取值范围 2 知识点四无理数整数部分的有关计算 3 知识点五与算术平方根有关的规律探索题 3 知识点六算术平方根的实际应用 4 知识点七平方根概念理解 5 知识点八求一个数的平方根 5 知识点九求代数式的平方根 6 知识点十已知一个数的平方根，求这个数 6 知识点十一利用平方根解方程 6 知识点一求一个数的算术平方根 1．下列各数中比小的数是（     ）． A． B．1 C． D． 2．计算：______． 3．已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 知识点二利用算术平方根的非负性解题 4．关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 5．若，则________． 6．已知，，为实数，且，求的值 知识点三估计算术平方根的取值范围 7．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 8．写出满足的所有整数：______． 9．如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里． (1)求这个魔方底面圆的半径； (2)魔方能否放进去，说明理由． 知识点四无理数整数部分的有关计算 10．实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 11．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 12．已知的小数部分是a，的小数部分是b，求． 知识点五与算术平方根有关的规律探索题 13．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 14．若，，，则______（用、、来表示）． 15．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 知识点六算术平方根的实际应用 16．要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 17．据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高3米，则其起跳时的速度应为______米/秒（结果化为最简二次根式）． 18．广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．实际上，广播电视塔高（单位：）与广播电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．其中甲、乙两个广播电视塔的高分别是，． (1)求甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比，并化简； (2)若，，如图，两个广播电视塔距离城市都是，请结合计算说明城市能否同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 知识点七平方根概念理解 19．的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 20．如果，是2026的两个平方根，那么__________． 21．已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 知识点八求一个数的平方根 22．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 23．正数4有两个互为相反数的平方根，其中一个平方根为2，则另一个平方根为_____． 24．已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 知识点九求代数式的平方根 25．若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 26．若，则__________． 27．已知某个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的平方根． 知识点十已知一个数的平方根，求这个数 28．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 29．有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 30．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 知识点十一利用平方根解方程 31．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 32．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口O，分别沿、方向航行．已知甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达A地，乙到达B地．若A、B两地的直线距离为，且，则乙客轮航行的路线长为______． 33．如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． (1)求初始状态下的水平距离的长． (2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题05 平方根（十一大题型33道题） 目录 知识点一求一个数的算术平方根 1 知识点二利用算术平方根的非负性解题 2 知识点三估计算术平方根的取值范围 3 知识点四无理数整数部分的有关计算 5 知识点五与算术平方根有关的规律探索题 6 知识点六算术平方根的实际应用 8 知识点七平方根概念理解 10 知识点八求一个数的平方根 11 知识点九求代数式的平方根 12 知识点十已知一个数的平方根，求这个数 14 知识点十一利用平方根解方程 15 知识点一求一个数的算术平方根 1．下列各数中比小的数是（     ）． A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴比小的数是． 2．计算：______． 【答案】3 【详解】解： 原式． 3．已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】根据勾股定理求出，再证明是直角三角形，根据求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴在中，， ． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 知识点二利用算术平方根的非负性解题 4．关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 【答案】D 【分析】根据得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时，代数式取得最小值3． 5．若，则________． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数都为，先求出和的值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵，，且 ∴， ∴，， 解得，， ∴． 6．已知，，为实数，且，求的值 【答案】 【分析】根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求解、、，再代入求值即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ． 知识点三估计算术平方根的取值范围 7．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】D 【分析】通过比较77与相邻完全平方数的大小，估算的范围． 【详解】解：∵，，， ∴． 8．写出满足的所有整数：______． 【答案】和 【分析】对和大小的估算，得到的大致范围，确定满足条件的整数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴满足的整数有，． 9．如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里． (1)求这个魔方底面圆的半径； (2)魔方能否放进去，说明理由． 【答案】(1) (2) 解：能放进去．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴魔方底面圆的直径小于长方体盒子底面的边长，且高小于长方体的高， ∴能放进去． 【分析】本题考查了算术平方根的估算，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）设这个魔方底面圆的半径为，根据圆的面积公式列方程求解即可； （2）根据算术平方根的估算比较直径与正方形边长的大小关系，再比较圆柱的高和长方体的高，即可判断得解． 【详解】（1）解：设这个魔方底面圆的半径为， 由题意，得， ∴， ∴， ∴这个魔方底面圆的半径； （2）略 知识点四无理数整数部分的有关计算 10．实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】通过平方数的范围确定无理数的取值区间，从而确定该实数的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分是． 11．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，再推导的取值范围，最后根据题目规定的的定义求出结果． 【详解】解：，， ， 不等式两边同时减，得 ， 根据表示实数的整数部分的定义，可得． 12．已知的小数部分是a，的小数部分是b，求． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，进一步得到a，b的值，后代入幂运算求值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∵的小数部分是a，的小数部分是b， ∴，， ∴， ∴． 知识点五与算术平方根有关的规律探索题 13．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 14．若，，，则______（用、、来表示）． 【答案】 【分析】根据被开方数小数点右移位，算术平方根小数点右移位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 15．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1)42，110 (2)14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 知识点六算术平方根的实际应用 16．要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 17．据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高3米，则其起跳时的速度应为______米/秒（结果化为最简二次根式）． 【答案】 【分析】将，代入公式求解，结合速度的实际意义确定为正，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解：将，代入，得， 整理得， 由实际意义可知，， 因此． 18．广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．实际上，广播电视塔高（单位：）与广播电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．其中甲、乙两个广播电视塔的高分别是，． (1)求甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比，并化简； (2)若，，如图，两个广播电视塔距离城市都是，请结合计算说明城市能否同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 【答案】(1)； (2)城市能同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 【分析】（）列出式子，然后化简即可； （）当，，时，分别代入求解，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比为：； （2）解：当，，时， ∴，， ∵，， ∴城市能同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 知识点七平方根概念理解 19．的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数， ∴不存在平方后等于的实数，即没有平方根． 20．如果，是2026的两个平方根，那么__________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质可知，一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得与的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ． 21．已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出的值，进而可求出的值； （2）根据（1）所求代入求值即可． 【详解】（1）解：∵和是实数的两个不同的平方根， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 知识点八求一个数的平方根 22．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先排除被开方数为负的无意义选项，再根据平方根、算术平方根的定义判断其余选项． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、的被开方数小于0，无意义，故C错误； D、，故D错误． 23．正数4有两个互为相反数的平方根，其中一个平方根为2，则另一个平方根为_____． 【答案】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数的性质即可求解． 【详解】解：∵正数4的其中一个平方根为2，且2的相反数为， ∴另一个平方根为． 24．已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，结合的值求出，再计算． （2）利用平方根的平方等于原数，代入等式化简求得． 【详解】（1）解：正数的两个不相等的平方根为和， ，，， ， ， ， ， ． （2）把，代入得： ， ， ， ， 为正数， ． 知识点九求代数式的平方根 25．若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式先计算出，再求平方根即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查完全平方公式、求平方根，利用完全平方公式计算出是解题的关键，注意平方根与算术平方根的区别，避免漏解． 26．若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 27．已知某个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据平方根、立方根的定义可得，进而求出，，再进行计算即可； （2）求出的值，再根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得，， ； （2）解：， 的平方根为． 知识点十已知一个数的平方根，求这个数 28．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一个正数的两个平方根分别是和，列出关于a的方程，求出a的值，然后求出其中一个平方根，最后求出这个正数即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴与互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴这个正数为． 29．有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到较小自然数，再利用连续自然数的性质得到较大自然数，最后求出较大自然数的算术平方根． 【详解】解：∵较小的自然数的平方根是， ∴较小的自然数为， ∵两个数是连续的自然数， ∴较大的自然数为， ∴较大的自然数的算术平方根是． 30．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， 的算术平方根为； （2）解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ． 知识点十一利用平方根解方程 31．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 32．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口O，分别沿、方向航行．已知甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达A地，乙到达B地．若A、B两地的直线距离为，且，则乙客轮航行的路线长为______． 【答案】1200 【分析】设航行时间为小时，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设航行时间为小时，则，， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ． 33．如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． (1)求初始状态下的水平距离的长． (2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为，进而根据勾股定理求解即可； （2）先求出和的长度，进而运用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为． ， 为直角三角形， 解得， 答：初始状态下的水平距离的长为； （2）解：由于斜梁的长度比水平距离多， ∴斜梁的长为， 由题意得，降低后竖直高度为． 在中，， 解得． ∴斜梁底部移动距离为， 答：斜梁落点C向外移动了． 学科网（北京）股份有限公司 $