专题06 立方根（八大题型32道题） 《典例全解·题型通关》 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题06 立方根（八大题型32道题） 目录 知识点一立方根概念理解 1 知识点二求一个数的立方根 2 知识点三已知一个数的平方根，求这个数 2 知识点四与立方根有关的规律探索 3 知识点五立方根的实际应用 4 知识点六算术平方根和立方根的综合应用 5 知识点七计算器——平方根和立方根 5 知识点八程序设计与实数运算 6 知识点一立方根概念理解 1．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于它本身的数有2个；④16的平方根是，用式子表示是；其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列实数中，是有理数的是（     ） A． B． C． D． 3．已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 4．已知正数的两个平方根分别是与，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 知识点二求一个数的立方根 5．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 8．已知一个正数m的两个不同的平方根分别为和，求的立方根． 知识点三已知一个数的平方根，求这个数 9．已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 10．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 11．已知，则___________ 12．已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 知识点四与立方根有关的规律探索 13．若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 14．有一组按规律排列的数：，这组数的前1000个数中，有理数有_____个． 15．阅读下列材料：我国著名数学家华罗庚先生在飞机上看到一个智力题，已知一个整数的立方是，求这个整数．他迅速得出答案是39．你知道他是怎样迅速准确地计算出来的吗？由，确定是一个两位数；由于0到9十个数字中只有9的立方末位是9，确定的个位上的数是9；③如果划去后面的三位得到数，而，，确定的十位上的数是3，所以． 根据材料解决问题：若一个整数的立方是，则这个整数是_______． 16．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 知识点五立方根的实际应用 17．若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 18．受《曹冲称象》的故事启发，小明利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 19．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 20．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． (1)求融合后大球的半径（结果保留根号）； (2)判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 知识点六算术平方根和立方根的综合应用 21．a的算术平方根是3，b的立方根是2，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 22．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 23．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 24．已知的立方根是，的算术平方根是6，c是的整数部分．求的值． 知识点七计算器——平方根和立方根 25．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 26．用计算器求2025的算术平方根时，下列四个键必须按的是（   ） A． B． C． D． 27．用计算器求的近似值时，显示结果为，则____（精确到）． 28．任意找一个数，比如1234，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，你有什么发现？ 知识点八程序设计与实数运算 29．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 30．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 31．一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 32．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题06 立方根（八大题型32道题） 目录 知识点一立方根概念理解 1 知识点二求一个数的立方根 3 知识点三已知一个数的平方根，求这个数 5 知识点四与立方根有关的规律探索 6 知识点五立方根的实际应用 8 知识点六算术平方根和立方根的综合应用 11 知识点七计算器——平方根和立方根 13 知识点八程序设计与实数运算 15 知识点一立方根概念理解 1．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于它本身的数有2个；④16的平方根是，用式子表示是；其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：实数和数轴上的点是一一对应的， 说法①正确，符合题意； 无理数是无限不循环小数，其中开方开不尽的数只是其中一部分， 说法②错误，不符合题意； 立方根等于它本身的数有和0，共3个， 说法③错误，不符合题意； 的平方根是，用式子表示是， 说法④错误，不符合题意． 2．下列实数中，是有理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义判断各选项即可，有理数是整数与分数的统称，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：是无限不循环小数，∴A是无理数； 是分数，属于有理数，∴B是有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，∴C是无理数； 开立方开不尽，是无限不循环小数，∴D是无理数． 3．已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到两个立方根的等量关系，利用立方根的性质求出的值，再根据平方根的定义求出的值，计算得到后，求其平方根即可． 【详解】解：∵和互为相反数 解得 的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有， 解得 ∵的平方根是 的平方根为． 4．已知正数的两个平方根分别是与，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平方根性质和立方根的性质可得，，解出即可； （2）根据（1）中结论求出的值，进而求出的值，最后把各值代入中求值，最后求平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数的两个平方根分别是与， ∴，解得， ∵的立方根是，也是2， ∴，即，解得， ∴，； （2）解：∵，是正数的平方根， ∴， ∴， ∴的平方根为． 知识点二求一个数的立方根 5．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ，即． 6．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，三组数均相等，不互为相反数． 选项D中，与互为相反数． 7．已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【答案】 1 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出，的值，通过估算无理数的大小得到的值，再计算，最后根据立方根的定义得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， ，，， ， 的整数部分， 将，，代入得：， 的立方根是． 8．已知一个正数m的两个不同的平方根分别为和，求的立方根． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，得到，求得a的值，继而得到正数m，再计算立方根即可； 【详解】解：正数m的两个不同的平方根分别为和， ， 解得， ， ， ． 故的立方根是． 知识点三已知一个数的平方根，求这个数 9．已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 10．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是一个整数的立方， 又∵要求满足条件的正整数最小， ∴正整数最小是，此时，符合题意． 11．已知，则___________ 【答案】 【分析】根据立方根的小数点向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：，， ． 12．已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 【答案】，， 【分析】根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，可求出的值，再根据立方根的定义求出的值即可解答． 【详解】解：正数的两个不相等的平方根分别是和， ， 解得， ， ． 的立方根为， ， 解得． 故，，． 知识点四与立方根有关的规律探索 13．若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的运算性质，将待求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 14．有一组按规律排列的数：，这组数的前1000个数中，有理数有_____个． 【答案】6 【分析】由再结合其他数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，，可确定前1000项中的有理数． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵且为正整数，，， ∴前1000个数中是有理数的有，，，，，共6个，其余的数都是无理数． 15．阅读下列材料：我国著名数学家华罗庚先生在飞机上看到一个智力题，已知一个整数的立方是，求这个整数．他迅速得出答案是39．你知道他是怎样迅速准确地计算出来的吗？由，确定是一个两位数；由于0到9十个数字中只有9的立方末位是9，确定的个位上的数是9；③如果划去后面的三位得到数，而，，确定的十位上的数是3，所以． 根据材料解决问题：若一个整数的立方是，则这个整数是_______． 【答案】 【分析】按照题干给出的确定立方根的方法，先确定该数的位数，再确定个位数字，最后确定十位数字，即可得到结果． 【详解】解：，， 可得，因此是两位数． 由于到十个数字中只有的立方末位是，因此的个位上的数是． 划去后面的三位得到数，而，， 可得，因此的十位上的数是． 因此这个整数为． 16．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 知识点五立方根的实际应用 17．若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 【答案】A 【分析】根据正方体体积等于棱长的立方，结合体积的变化即可求出棱长的变化倍数． 【详解】解：设原正方体的棱长为，则原正方体体积为， 设棱长变为原来的倍，则现棱长为，现体积为， 由题意得，即， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即棱长变为原来的倍． 18．受《曹冲称象》的故事启发，小明利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得正方体的棱长为， ∵， ∴， 即正方体物块的棱长位于3和4之间． 19．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 【答案】 【分析】先求出每个小正方体的边长，再求出魔方侧面的面积，则可得正方形的面积，由此即可得． 【详解】解：∵8个同样大小的正方体组成的魔方的体积为8， ∴每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的边长为， ∴魔方侧面正方形的边长为， ∴魔方侧面的面积为， 又∵正方形的面积是魔方侧面面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． 20．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． (1)求融合后大球的半径（结果保留根号）； (2)判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 【答案】(1)融合后大球的半径为 (2)融合后大球的半径不能达到． 理由如下： 因为，，， 所以，即融合后大球的半径不能达到． 【分析】（1）融合后大球的体积等于半径为的球与半径为的球的体积之和，根据球的体积公式求出，再开立方求出r； （2）判断融合后大球的半径能否达到，就是比较无理数与6的大小关系，可将和6分别立方，立方大的，立方根也大． 【详解】（1）解：融合后大球的体积V= 设融合后大球的半径为． 根据题意，得， 所以． 所以 答：融合后大球的半径为． （2）略． 知识点六算术平方根和立方根的综合应用 21．a的算术平方根是3，b的立方根是2，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根、立方根、实数比较大小，有理数的加法，逐项分析求解即可． 【详解】解：由题意，得，， ，，故A，C，D错误，B正确， 22．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 23．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 24．已知的立方根是，的算术平方根是6，c是的整数部分．求的值． 【答案】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义求出和的值，估算得到整数的值，代入代数式计算即可． 【详解】解： 的立方根是，的算术平方根是， ，， 计算得：，解得， ，解得， ，即， 的整数部分为，即， 将，，代入得： ， 综上所述，的值为． 知识点七计算器——平方根和立方根 25．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据计算器按键功能， 表示开立方运算， 表示分数输入，确定算式为 ，计算即可． 【详解】解：由按键顺序可知，该算式为，， ∴． 26．用计算器求2025的算术平方根时，下列四个键必须按的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用计算器求算术平方根，知道计算器各个按键的功能是解决问题的关键． 根据题意，的算术平方根为，所以必须按的键是根号键． 【详解】解： 算术平方根的计算需按根号键 ， 故选： C． 27．用计算器求的近似值时，显示结果为，则____（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据计算器显示的结果，使用四舍五入法将其精确到，需看小数点后第四位数字（即万分位）为0，由于，故小数点后第三位（即千分位）数字8不变，即可求解． 【详解】解：计算器显示结果为0.61803399，精确到0.001时， 看小数点后第四位数字是0，， ∴舍去， ∴第三位数字8不变， ∴． 故答案为：． 28．任意找一个数，比如1234，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，你有什么发现？ 【答案】，0，1不断开立方的结果仍为它们本身；小于的数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于；大于的负数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于；小于1的正数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于1；大于1的正数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于1 【分析】利用计算器对大于1的数（如1234），小于1的正数（如0.7），小于－1的数（如－1234），大于－1的负数（如－0.7）以及1、－1、0这三个数进行求若干次立方根，根据所得结果即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 大于1的数，如：1234， ， ， ， ， ， 小于1的正数，如：0.7， ， ， ， ， 小于－1的数，如：－1234， ， ， ， ， ， 大于－1的负数，如：－0.7， ， ， ， ， 对于1、－1、0这三个数而言，，，， 由此可得：，0，1不断开立方的结果仍为它们本身；小于的数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于；大于的负数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于；小于1的正数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于1；大于1的正数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于1． 【点睛】本题主要考查了利用计算器求立方根以及对规律性的总结，熟练掌握立方根的意义是解决本题的关键． 知识点八程序设计与实数运算 29．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意：有理数不输出，有理数不输出，为无理数，输出， 所以输出的是． 30．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算与数值转换器的逻辑，解题的关键是从输出结果反向推导输入值． 从输出的反向推导，先求出第二次取算术平方根前的数，再根据“是有理数则再次输入”的规则，求出第一次取算术平方根前的数． 【详解】解：两次取算术平方根，即， 两边平方得， 再平方得， 故选B． 31．一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 【答案】0或1 【分析】根据数值转换器的规则，分析始终输不出值的情况即可得解． 【详解】解：在非负有理数中，当时，，无论开多少次平方，结果始终是， 故始终输不出的值． 当时，，同样无论开多少次平方，结果始终是， 也始终输不出的值． 综上，的值可能是0或1． 32．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 学科网（北京）股份有限公司 $