2.1《认识实数》专题训练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 《认识实数》专题训练聚焦北师版八年级上册核心内容，分8大题型，每题型设典例示范与针对训练，覆盖无理数概念、实数与数轴、勾股定理应用等，适配新授课基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |无理数的概念|典例1+针对2|无理数识别、有理数频数|结合数据序列辨析，培养抽象能力| |实数与数轴|典例1+针对2|数轴上点表示实数、距离计算|依托几何图形转化，发展几何直观| |勾股定理与无理数|典例1+针对2|直角三角形边长与无理数表示|融合图形旋转与数轴作图，强化空间观念|

2.1《认识实数》专题训练2026-2027学年北师版八年级数学上册（解析版） 1、 2.1《认识实数》常考题型梳理： 题型1：无理数的概念 题型2：无理数大小的比较 题型3：实数概念的理解 题型4：实数的分类 题型5：实数的性质 题型6：实数与数轴 题型7：实数大小的比较 题型8：勾股定理与无理数 二、《认识实数》常考题型训练： 题型1.无理数的概念 【典例示范】 1. 下列选项中的数，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的定义（无限不循环小数），并能区分有理数与无理数． 明确有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）的区别；逐个分析选项：A是分数，B是有限小数，D化简后是整数，均为有理数；C是无限不循环小数，为无理数． 【详解】解：根据无理数的定义（无限不循环小数），对各选项分析如下： 选项A：是分数，属于有理数； 选项B：是有限小数，属于有理数； 选项C：是无限不循环小数，属于无理数； 选项D：，是整数，属于有理数． 故选：C． 针对训练： 1. 一组数据，，，（每两个4之间的1的个数依次增加）． 在这组数据中，有理数出现的频数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，首先判断每个数是否为有理数，统计有理数的个数即可得到频数． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 可化为无限循环小数，属于有理数， 小数部分无规律且不循环，属于无理数， ∴有理数有3个， ∴频数为3， 故选：C． 2.请你写出一个无理数a，使得，则a可以是______（写出一个满足条件的a即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数是解题的关键；因此此题可根据“”进行求解即可． 【详解】解：一个无理数a，使得，则，则a可以是； 故答案为：（答案不唯一）． 题型2.无理数大小估算 【典例示范】 1. 比较大小 （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 估算出的大小，进而得到，即可作答． 【详解】∵， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 针对训练： 1. 估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【详解】解：， ， 则估计的值在4和5之间． 2. 一个无理数x满足条件，请任意写出一个x为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 题型3.实数概念理解 【典例示范】 1. 下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 针对训练： 1. 下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 2. 下列命题：①无理数都是实数； ②实数都是无理数； ③无限小数都是无理数： ④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数， 其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 题型4.实数的分类 【典例示范】 1.把下列各数的序号填入它们属于的集合内： ①；②；③7；④0；⑤；⑥； ⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；⑧；⑨． 【答案】见解析 【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． 根据无理数的定义，负有理数的定义，正实数的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，，， （1）⑤，⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2），⑨属于无理数； （2）①，②属于负有理数； （3）③7，⑤，⑥，⑧，⑨属于正实数． 故答案为： 针对训练： 1.在 ，，，，， 中，无理数有________个． 【答案】2 【分析】先将题目中可化简的数进行化简，再根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：∵是整数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 是整数，属于有理数， ∴无理数共有个． 2. 把下列各数分别填入相应的圈内： ，0，15，，，，，，，． 【答案】见详解 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，实数的分类，根据整数和分数统称为有理数，无限不循环小数即为无理数，大于的实数为正实数，小于的实数为负实数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：，， 题型5.实数的性质 【典例示范】 1. 下列关于的说法错误的是（    ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 针对训练： 1．在，，这四个数中，相反数最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义求出这四个数的相反数，再比较相反数的大小，即可得到对应结果． 【详解】解： 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反数是 ， ∵， ∴在，，这四个数中，相反数最小的数是． 2．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ 　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得到，然后根据实数的性质进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴ ， 故选C． 题型6.实数与数轴 【典例示范】 1． 如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为， 则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过图形可知，利用勾股定理求出，可以求出，即可解答． 【详解】解：由图可知， 由图形可知， 根据勾股定理得：， ∴， ∴A表示的数为，则． 针对训练： 1．如图，数轴上有五点，则实数表示的点会落在（    ） A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 【答案】B 【分析】先估算的大小，再估算的大小，然后结合数轴即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数表示的点会落在点和之间． 2. 如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧， 点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是， 则点到数轴的距离的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在数轴上的位置求出的长，由圆的半径相等得出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可 【详解】解：点表示的实数是， ， 以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点， ， 点表示的实数是，且， ，， 在中，由勾股定理得：． 题型7.实数的大小比较 【典例示范】 1.下列实数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于，负数小于，正数大于一切负数， ∴最小的数在和中， ∵，， ∴， 又∵两个负数比较大小，绝对值大的反而小， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 针对训练： 1.已知，则a、b、c的大小关系是 (    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 2．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较．熟练掌握无理数大小的估算，实数的大小比较法则，是解题的关键． 根据无理数的估算方法以及被开方数的大小逐项进行分析即可得． 【详解】A．∵， ∴，A正确，故该选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，即，B不正确，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴，C正确，故该选项不符合题意； D．∵， ∴， 即，D正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 题型8.勾股定理与无理数 【典例示范】 1. 如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上， 若点C与数轴上与表示1的点重合，点B与原点重合，三角板绕点B旋转后， 与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，由题意得：，求出直角三角板的斜边，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴直角三角板的斜边， 则， ∴点D表示的数为， 故选：C． 针对训练： 1. 如图，在数轴上点A表示的数是3，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使， 以原点O为圆心，为半径作弧与数轴的正半轴交于点C，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义可知，再根据勾股定理可知，最后根据圆的基本性质可知解答即可． 【详解】解：∵过点作直线垂直于， ∴， ∵点表示的数为，， ∴在中，， ∵是圆的半径， ∴， ∵点在数轴的正半轴， ∴点表示的数是． 边长， 则点A对应的数为． 2．如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出，然后得到点A表示的数． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， 则， 故点A表示的数为， 故选B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1《认识实数》专题训练2026-2027学年北师版八年级数学上册（解析版） 1、 2.1《认识实数》常考题型梳理： 题型1：无理数的概念 题型2：无理数大小的比较 题型3：实数概念的理解 题型4：实数的分类 题型5：实数的性质 题型6：实数与数轴 题型7：实数大小的比较 题型8：勾股定理与无理数 二、《认识实数》常考题型训练： 题型1.无理数的概念 【典例示范】 1. 下列选项中的数，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 针对训练： 1. 一组数据，，，（每两个4之间的1的个数依次增加）． 在这组数据中，有理数出现的频数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2.无理数大小估算 【典例示范】 2. 比较大小 （填“”，“”或“”） 针对训练： 1. 估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2. 一个无理数x满足条件，请任意写出一个x为________． 题型3.实数概念理解 【典例示范】 1. 下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 针对训练： 1. 下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 2. 下列命题：①无理数都是实数； ②实数都是无理数； ③无限小数都是无理数： ④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数， 其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型4.实数的分类 【典例示范】 1. 把下列各数的序号填入它们属于的集合内： ①；②；③7；④0；⑤；⑥； ⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；⑧；⑨． 针对训练： 1. 在 ，，，，， 中，无理数有________个． 2. 把下列各数分别填入相应的圈内： ，0，15，，，，，，，． 【典例示范】 1. 下列关于的说法错误的是（    ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 针对训练： 1． 在，，这四个数中，相反数最小的数是（    ） A． B． C． D． 2． 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ 　　） A． B． C． D． 题型6.实数与数轴 【典例示范】 1． 如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为， 则为（     ） A． B． C． D． 针对训练： 1．如图，数轴上有五点，则实数表示的点会落在（    ） A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 2. 如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧， 点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是， 则点到数轴的距离的长为（    ） A． B． C． D． 题型7.实数的大小比较 【典例示范】 1.下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 针对训练： 1. 已知，则a、b、c的大小关系是 (   ) A． B． C． D． 2． 比较下列各组数的大小，错误的是（   ） A． B． C． D． 题型8.勾股定理与无理数 【典例示范】 1. 如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上， 若点C与数轴上与表示1的点重合，点B与原点重合，三角板绕点B旋转后， 与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（    ） A． B．1 C． D． 针对训练： 1. 如图，在数轴上点A表示的数是3，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使， 以原点O为圆心，为半径作弧与数轴的正半轴交于点C，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $