练案10 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[10] 第二章 等式与不等式 2.1[2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.已知关于x的方程x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0. 1.方程(x+3)2=25的解集是 (1)若这个方程有实数根，求实数k的取值范围； A.{5,-5 B.2,-2} (2)若方程两实数根分别为x、x2,且满足x+x好= C.8,2} D.{-8,2 x1x2+7,求实数k的值. 2.已知关于x的方程x2+mx+m=0有两个实数根，则 m的取值范围为 () A.m≥4 B.m>4或m<0 C.m≥4或m≤0 D.0<m<4 3.（多选题)关于x的方程mx2-4x-m+5=0,以下说 法正确的是 A.当m=0时，方程只有一个实数根 B.当m=1时，方程有两个相等的实数根 ;i C.当m=-1时，方程没有实数根 D.当m=2时，方程有两个不相等的实数根 4.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的 两个实数根互为相反数，则a的值为 () A.2 B.0 C.1 D.2或0 10,一元二次方程？-2x-=0的某个根，也是一元 5.若关于x的方程x2+2(k+2)x+2=0的两个实数 二次方程r-(k+2)x+是=0的根，求6的值 根之和大于-4，则k的取值范围是 ( A.(-1,+∞) B.(-0,0) C.(-1,0) D.[-1,0) 二、填空题 6.若方程x2-mx+m-1=0的一个实数根为2，则方程 的另一个实数根为 7.在解方程x2+px+g=0时，甲同学看错了p,解得方 程的根为x1=1,x2=-3;乙同学看错了9，解得方程 的根为x1=4,x2=-2,则方程中的p= 9= 8.已知a,B是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+ m=0的两个不相等的实数根，且满足1+↓ a+-1, 则m的值是 —119 B组素养提升 C组创新拓展 一、选择题 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次 1.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2x+2-2t+4 方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方 =0的两实数根，则(m+2)(n+2)的最小值是( 程来解.例如：解方程：x2-31xl+2=0. A.7 B.11 C.12 D.16 解：设1x|=y,则原方程可化为：y2-3y+2=0. 2已知关于x的一元二次方程m2-(m+2)x+ =0 解得：y1=1,y2=2. 当y=1时，lx=1,.x=±1； 有两个不相等的实数根，.若}+1 -+ =4m,则m 当y=2时，lxl=2,.x=±2. .原方程的解是：x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2. 的值是 ) 上述解方程的方法称为“换元法”.请用“换元法”解 A.2 B.-1 决下列问题： C.2或-1 D.不存在 (1)解方程：x4-10x2+9=0. 3.(（多选题)关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有 两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+ (2)若实数满足+日3x-是=2，求x+ 2y+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，如下 的值 给出的结论中正确的是 ( A.这两个方程的根都是负根 B.这两个方程的根中可能存在正根 C.(m-1)2+(n-1)2≥2 D.-1≤2m-2n≤1 二、填空题 4.已知关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3， 1},则关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是 5.已知关于x的方程2x2+2(k-1)x+1=0有实数根 (1)则实数k的取值范围为 (2)如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等 于8，则实数k的值为 三、解答题 6.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x,)2+m2 =21,求m的值. 120例2：(1)关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有实数根，分 所以x1+x2=2m,x1·x名2=m2-m-1.因为x1+x2=1 两种情况讨论： x12,所以2m=1-(m2-m-1),即m2+m-2=(m+ ①当m+1=0,即m=-1时，原方程是一元一次方程，此 2)(m-1)=0,解得m1=-2,m2=1.因为方程x2-2mx 时方程为-2x-4=0,必有实数根； +m2-m-1=0有实数根，所以4=(-2m)2-4(m2-m ②当m+1≠0，即m≠-1时，原方程是一元二次方程， -1)=4m+4≥0，解得m≥-1.所以m=1.故选D. 因为已知方程有实数根， 课堂检测固双基 所以△=b2-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+ 1.A根的判别式为4=64-4g>0,解得q<16.故选A. 12≥0， 2.A设方程的另一个根为t,根据题意得2+t=-1,解得t=-3, 解得m≥-号且m≠-1 即方程的另一个根是-3.故选A. 3.C根据题意得x1+x2=2,x1x2=-5,所以x好+号=(：1+ 综上可知，当m≥-弓时，方程(m+1)+2+m-3=0 x2)2-2x1x2=2-2×(-5)=14,故选C. 有实数根。 :4.B解方程x2-6x+8=0得x=2或4，所以第三边长为2或 (2):关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有两个相： 4.边长为2,3,6不能构成三角形； 等的实数根， 而3,4,6能构成三角形， 「m+1≠0， 所以三角形的周长为3+4+6=13，故选B. 4=-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+12=0,5.2 由根与系数的关系得：1+2=5，x,=a.由x-x号=10， 解得m=一子 ! 得(x1+x2)(1-2)=10.1+2=5,.1-2=2, 小方程为-宁-3x-号=0， (-)P=(+)2-4=25-4如=4，解得a=尖 两边同时乘以-2，得x2+6x+9=0,即(x+3)2=0, 练案[10] 解得x1=x2=-3. 对点训练2：D当t-2<0,即t<2时，方程的解集为☑： :A组基础巩固 当t-2=0,即t=2时，方程的解集为1}； !1.D两边开平方，得x+3=±5，即x=±5-3，所以x1=-8 当t-2>0,即t>2时，方程的解集为{1--2,1+ x2=2,所以方程的解集为{-8,2}. 2.C由题意知：4=m2-4m≥0，解得m≥4或m≤0，故选C. √t-2. 综上知，方程的解集为☑或1或{1--2,1+-2.故3.AB 当m=0时，方程化为-4红+5=0，解得x=子，此时方程 选D. 只有一个实数根，A正确；当m=1时，方程化为x2-4x+4= 例3：因为1和x2是一元二次方程22+5x-3=0的两根， 0,因为4=(-4)2-4×1×4=0， 所以+=一多西=一2 5 所以此时方程有两个相等的实数根，B正确； 当m=-1时，方程化为-x2-4x+6=0, (1)因为1x1-5212=x+x号-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x2= 因为4=(-4)2-4×(-1)×6=40>0，所以此时方程有两 (-)-4×(-）空+6=翠所以函-61=子 个不相等的实数根，C错误； 当m=2时，方程化为2x2-4x+3=0,因为4=（-4)2-4×2 (2) x+ (x1+)2-2x132 ×3=-8<0,所以此时方程无实数根，D错误.故选AB. x好·号 （163)2 4.B设方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两根为x1,2,由题意 (-2×(-)空+3 37 知，x1+x2=0,即-(a2-2a)=0,解得a=0或a=2, (别 9 -9 又x1x2=a-1≤0，.a≤1.故选B. 4 5.D设关于x的方程x2+2(k+2)x+2=0的两个实数根为 (3)x+x=(x1+x2)(x号-x2+x)=(x1+x2)[(x1+ a,6,由根与系数的关系得a+b=-2k+2=-(2k+4). )2-31=(-)×[(-)-3x-】 1 关于x的方程x2+2(k+2)x+2=0的两个实数根之和大 -215 8 于-4，.-(2k+4)>-4,.k<0. 由4=[2(k+2)]2-4×1·2=16(k+1)≥0，解得k≥-1， 对点训练3：D:1,2是方程x2-√7x+1=0的两根 即k的取值范围是[-1,0).故选D. x1+2=万，x2=1, 6.1设另一个根为a. 所以x+号=(x1+2)2-2x2=7-2=5,故选D. 根据题意可得a+2=m,2a=m-1, 例4：D因为x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根，a+2=2a+1,a=1,另一个根为1. 176 7.-2-3甲同学看错了p,但没有看错9，乙同学看错了q,方程有两个实数根， 但没有看错p,所以根据根与系数的关系，得g=（-3)×1=i .4=(-2t)2-4(2-2t+4)=8t-16≥0，.t≥2. -3,p=-(-2+4)=-2 .(t+1)2+7≥(2+1)2+7=16，即(m+2)(n+2)的最小值 8.3一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实 是16. 数根， m≠0： 则△=(2m+32-4m2>0,解得m>-子 :2.A由题知」 4=(m+2)2-4m·m>0, 4 a+B=-2m-3,aB=m2, 解得m>-1且m≠0. 则1+=+9=二2m-3=-1, a B aB m2 “+5=m+2 m 4, 即m2-2m-3=0, m+2 解得m=3或m=-1,因为m>子 +1=名+=m=4m, 12x1x2 1 4 所以只有m=3符合题意.故答案为3。 ∴.m=2或-1， 9.(1)x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0有实数根， 又.m>-1且m≠0，.m=2. .4=4(k-3)2-4(2-4k-1)=42-24k+36-42+16k+ 3.ACD设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、,,方程y2+2ny 4=40-8k≥0 +2m=0的两根为y1y2.由题意知x1x2=2n>0,y1y2=2m> 解得：k≤5. 0,又x1+x2=-2m<0,少1+y2=-2n<0,这两个方程的 即实数k的取值范围为(-，5]. 根都是负根，故A正确，B不正确；4m2-8n≥0,4n2-8m≥ (2):方程的两实数根分别为x1,, 0,.m2-2n≥0，n2-2m≥0，.(m-1)2+(n-1)2=m2-2n 龙1+2=2(k-3),x1·x2=2-4k-1. +1+n2-2m+1=(m2-2n)+(n2-2m)+2≥2，故C正确. x+=x12+7, 由根与系数的关系可得： .(x1+x2)2-3x1x2-7=0, 2m-2n=y2+y1+2=(y1+1)(y2+1)-1, .2-12k+32=0,解得k1=4,k=8. 由y,y2均为负整数，得： 又k≤5，.k=4. (y1+1)(y2+1)≥0，故2m-2n≥-1. 10-2x-子=0，移项得-2=年 同理可得2n-2m=x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1）-1,得2n -2m≥-1， 配方得-2x+1=是，即(-1)=9 4 ∴.-1≤2m-2n≤1，故D正确. 4.{-1,3}把后面一个方程m(x+a-2)2+n=0中的x-2 开方得-1=±号解得名=多4=分 看作整体，相当于前面一个方程中的x ①把x=代人2-(+2)x+?=0中， 关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3，I}, ∴.方程m(x+a-2)2+n=0可变形为m[(x-2)+a]2+n= 得(3-多k+2)+号=0， 0,此方程中x-2=-3或x-2=1,解得x=-1或x=3. ∴关于x的方程m(x+a-2)+n=0的解集是{-1,3. 解得4~子 5.(1)≤号(2)1-万(1)当k=0时，方程为-2x+1=0, ②把x=-分代入2-(k+2)x+ =0中， 9 解得x=了，符合题意： (-++2)+-0， 当k≠0时，4=[2(k-1)]2-42=-8k+4≥0， 解得k=-7. 解得≤)且k≠0， 当=了或-7时，82-4c=(k+22-9都大于0， 综上，当k≤时，方程有实数根 综上所述.k的值为-7或了 (2)设方程的两个实数根为，x2, B组素养提升 则5+=26少=是 1.D:m,n是关于x的一元二次方程x2-2x+t-2t+4=0 的两实数根， 所以+-（-[-2-=8 .由根与系数的关系，得m+n=2t,mn=2-2t+4, 解得k=1+2或k=1-√2， ..(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=t+2t+8=(t+1)2 +7. 由(1)知当方程有两个实数根时，4≤宁且k≠0， -177 所以k=1-2. 得∫m13, 6.(1)根据题意，得4=(2m+1)2-4(m2-2)≥0， n=1, 解得a3-呈 即原方程组化为厂+y=13, [x+y=1, .m的最小整数值为-2 由x+y=1得x=1-y,将x=1-y代人方程x2+y2=13中 (2)根据题意，得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2. 可得y2-y-6=0, (x1-x2)2+m2=21, 解得y=3或y=-2,将y=3代人x+y=1中得x=-2, (x1+x2)2-4x12+m2=21, 「x=-2, 所以方程组的另一个解为 .[-(2m+1)]2-4(m2-2)+m2=21, Ly=3. 整理，得m2+4m-12=0.解得m1=2,m2=-6. 关键能力攻重难 9 例1：(1)①+②得，x=2,把x=2代人①，得6+2y=7,解得y 由(1)可知m≥-4 1 m的值为2. C组创新拓展 rx=2, 故原方程组的解为{1 (1)设x2=a,则原方程可化为a2-10a+9=0, y=2 即(a-1)(a-9)=0, (2)①+②，得5x-z=2,④ 解得：a=1或a=9, ②-③，得2x+3z=-6,⑤ 当a=1时，x2=1,.x=±1； 当a=9时，x2=9∴.x=±3. 联立④⑤/x-=2, 解得=0，将=0：=-2代 2x+3z=-6 1z=-2, ∴.原方程的解是x1=1,x2=-1,x3=3,x4=-3. 入③得y=-3. (2)设x+=y, rx=0. 所以原方程组的解为y=-3, 则原方程可化为：y2-2-3y=2,即y2-3y-4=0, z=-2. .(y+1)(y-4)=0, 对点训练1：①-③，得2a-2b=8.④ 解得：y=-1或y=4, ④-②，得-5b=10,所以b=-2. 即x+=-1(方程无解，舍去)或x+上=4， 将b=-2代入②，得a=2. 将a=2,b=-2代人③，得c=-1. 故x+=4 ra=2, 所以原方程组的解为6=-2， 2.1.3方程组的解集 lc=-1. 例2：(1)由②，得x=2y+2,③ 必备知识探新知 把③代入①，整理，得8y2+8y=0,即y(y+1)=0.解得y1 知识点：1.交集2.消元法 =0,y2=-1. 对应练习 把y1=0代人③，得x,=2; 1.(1)×(2)V(3)×(1)方程1+1=-2是分式方程， 把y2=-1代人③，得x2=0. 不是一元一次方程 所以原方程组的解是=2，内=0， rx=2. rx+y-2z=5, h=0,l2=-1. (2)经代人验证，知{y=-3,是方程组{2x-y+z=4,的解。 所以原方程组的解集为(2,0)，(0，-1). z=-3 2x+y-3z=10 (2)由方程②因式分解，得(x-3y)(x-y)=0,即x-3y=0 (3)解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法。 或x-y=0. 2x+y=7,① 所以原方程组可化为两个方程组 2.A ①+②得：3x+3y=15,解得x=2,y=3,解 Lx+2y=8,② 「x2+y2=10,「x2+y2=10, x-3y=0. 集为(2,3)}，故选A lx-y=0,或 解得原方程组的解为 3C根据题意，得+y=5, 2x-y=4, 「1=5，「x2=-5,「x3=3,「x4=-3, 由代入消元法可求得x=3,y=2,故A∩B=(3,2)}. y1=5;ly2=-5;ly3=1;ly4=-1. 2指代人方程组 2+y=m中 所以原方程组的解集为{(5,5)，（-5，-5)，(3,1)， Ix+y=n (-3,-1) -178