第十四章 全等三角形 强基过关试题卷 2026-2027学年人教版八年级上册数学（重庆专版）

**基本信息** 本卷为新人教版重庆专版全等三角形单元提升卷，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配单元复习，强化推理能力与几何直观，贴合中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|全等判定（SAS/ASA等）、等腰三角形性质|第5题以池塘测距为情境，体现应用意识| |填空题|6/24|全等条件补充、动点全等分类|第15题结合运动速度考查动态全等，培养空间观念| |解答题|8/86|性质证明、几何变换与最值|第24题动点与直角三角形分类讨论，第25题探究线段数量关系，发展推理能力与模型意识|

第十四章全等三角形 2026-2027学年上期数学提升卷 (新人教版，重庆专版) 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出 了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的， 1.如图，已知∠ABD=II0°，∠C=45°，△ABC≌aBAD,则∠AEC的度数为（) A.25° B.45° C.50° D.60° 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得∠C=∠D=45°，∠BAD=∠ABC,再根据三角形内角 和可得∠BAD=∠ABC=25°，最后根据三角形外角进行求解即可. 【详解】解：，△ABC≌△BAD .∠C=∠D=45°，∠BAD=∠ABC, 在△BAD中，∠BAD=180°-∠ABD-∠D=180°-110°-45°=25°=∠ABC, .∠AEC=∠BAE+∠ABE=25°+25°=50° 2.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.∠C=90°，AC=6 B.AB=2,BC=3.∠A=50° C.∠A=50°，∠B=60°，AB=2 D.AB=2,BC=3,AC=6 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出∠C=90°和AC=6,缺少其他边或角的条件，不能画出唯一 △ABC,不符合题意： B选项，AB=2,BC=3,∠A=50°属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三 角形的判定定理，不能画出唯一△ABC,不符合题意； C选项，∠A=50°，∠B=60°，AB=2,是两角及其夹边，符合全等三角形的ASA判定定 精选考题才是刷题的捷径第1页共33页 理，能画出唯一△ABC,符合题意； D选项，AB+BC=2+3=5<AC=6,不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不 能画出三角形，不符合题意. 3.若△ABC≌aDEF,△ABC是等腰三角形，且它的周长是23cm,BC=4cm,则△DEF 必有一条边等于() A.9.5cm B.9.5cm或15cmC.15cm D.4cm或15cm 【答案】A 【分析】本题需分情况讨论BC为等腰三角形的腰或底，结合三角形三边关系舍去不能构 成三角形的情况，再利用全等三角形对应边相等得到结论 【详解】解：，△ABC是等腰三角形，周长为23cm,BC=4cm,分两种情况讨论： 情况1：若BC为腰，则另一腰长为4cm,底边长为23-4-4=15cm, 4+4=8<15,不满足三角形三边关系， ∴此情况不成立，舍去： 情况2：若BC为底，则两腰长相等， ∴腰长为2 23-4=9.5cm此时三边长为4cm,g5cm,g5cm,满足三角形三边关泰 .·△ABC≌ADEF, .△DEF的边长与△ABC对应相等， ∴，△DEF必有一条边等于9.5cm或4cm, 综上，△DEF必有一条边等于9.5cm或4cm,没有一条边等于15cm, 故选项A符合题意 4.如图，在△ABC中，AB=6,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E, △ABD的面积为5，则DE的长为() 10 A.2 B.3 c.3 D.3 【答案】C 精选考题才是刷题的捷径 第2页共33页 【分析】先作DF⊥AB,根据角平分线的性质定理得DE=DF,再根据 Sm方4BDF=4B-DE=5可得答案 【详解】解：如图所示，过点D作DF⊥AB,交AB于点F, :AD平分∠BAC,DF⊥AB,DE⊥AC, .DE DF AB-DF=1AB-DE=5.AB=6. 1 2 2 ·2X6DE=5 1 5 解得DE=3 3 E D B 5.如图，有一池塘，要测池塘两端A,B的距离，可先在平地上取一个点C,从点C不经 过池塘可以直接到达点A和B,连接AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长到点 E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离，其理论依据是() B E D A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【答案】B 【分析】先证明△ABC≌△DEC,根据全等三角形的性质，再作出判断. 【详解】解：在△ABC与△DEC中， CD=CA ∠1=∠2 CE=CB 精选考题才是刷题的捷径 第3页共33页 △ABC≌ADEC(SAS) ∴.AB=DE 即量出DE的长就是A,B的距离，其理论依据是SAS 6.如图，已知∠I=∠2，添加下列条件仍不能判定△ABD≌△ACD的是() A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.AB=AC D BD=CD 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可. 【详解】解：添加条件∠ADB=∠ADC,结合A=∠2，AD=AD,可利用ASA证明 △ABD≌△ACD,故A不符合题意： 添加条件∠B=∠C,结合I=∠2，AD=AD,可利用AAS证明△ABD≌aACD,故B不符 合题意： 添加条件AB=AC,结合I=∠2，AD=AD,可利用SAS证明△ABD≌aACD,故C不符 合题意； 添加条件BD=CD,结合∠I=∠2，AD=AD,不可利用SSA证明△ABD≌aACD,故D符 合题意； 7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,点E,G分别在边AB,AC上，连 接DE,DG,过D作DF LAB于R.已知DE=DG,Smc=24,m=16 则4DEF 的面积为() 精选考题才是刷题的捷径 第4页共33页 A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【分析】过点D作DH⊥AC,利用角平分线的性质，证得△ADF≌△ADH和 RIADEFS≌RIADGH,根据等量代换进行求解. 【详解】解：如图所示，过点D作DH⊥AC交AC于点H, E B D :AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, ∴.∠FAD=∠HAD,∠AFD=∠AHD=90°， ∠AFD=∠AHD ∠FAD=∠HAD 在 和 中， ADF△ADH AD=AD △ADF≌△ADH(AAS) S.ADF=S.ADH ,AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, .DF=DH, DE=DG 在Rt△DEF和RtADHG中，DF=DH, RIADEF≌RIADGH(HL) S.DKE =SADHG S.ARD=S.ADF-S.DEF =16,S.ADG =S.ADM+S.DGM=24 S.ADF-S.DEF=16,S.4DG=S.ADF+S.DEF=24 精选考题才是刷题的捷径第5页共33页 解得04 &.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=I8O°，EF⊥AC交 AC F,AC=12,BC=9 CF ,则的值为() D A.2 B.1 C.3 D 3-2 【答案】D 【分析】连接BE,过点E作EG⊥BC,交BC的延长线于点G,证明 △ADE≌ABDE,AAFE≌ABGE,△EFC2AEGC ,进一步结合全等三角形的性质即可得到答案】 【详解】解：连接BE, ,D是AB的中点，DE⊥AB,EF⊥AC AD=BD,∠ADE=∠BDE=90°， DE=DE, △ADE≌ABDE(SAS) .AE=BE 过点E作EGLBC,交BC的延长线于点G, :∠ACE+∠BCE=180°，∠GCE+∠BCE=180° 精选考题才是刷题的捷径 第6页共33页 .∠ACE=∠GCE, ·EF⊥AC,EC=EC ∴.EF=EG △AFE≌ABGE(HL),△EFC≌AEGC(HL) .AF=BG,CF=CG :..AF=BG=BC+CG=BC+CF=BC+AC-AF, ∴，2AF=BC+AC, :AC=12,BC=9 :P21 2, CF=AC-AF=12-21=3 221 9.如图，在锐角△ABC中，AB=6,△ABC的面积为24，BD平分∠ABC,若E,F分别 是BD,BC上的动点，则CE+EF的最小值是() A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线段最短，在线段AB上取一点G,使 BF=BG,过C作CM L AB于M,先由面积求出CM=8,再证 FBE≌aGBE(SAS) 得 到EF=EG,CE+EF=CE+EG≥CG之CM,最后根据垂线段最短求解即可. 【详解】解：在线段AB上取一点G,使BF=BG,过C作CM⊥AB于M, 精选考题才是刷题的捷径第7页共33页 D MG :·AB=6,△ABC的面积为24， 'S.ARC=CM.AB=24=-CMx6. 3 解得CM=8, :BD平分∠ABC, &∠FBE=∠GBE=∠ABC, 1 BF=BG,BE=BE, △FBE≌aGBE(SAS) .'EF=EG .CE+EF=CE+EG≥CG≥CM, :当E、G都在线段CM上时，CE+EF=CM=8最小， 故选：A。 10.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,延长BC 至F,△BAP沿着BP折叠与△BFP重合，PF交AC于点H,则下列结论：①∠APB=I35°， ②PF⊥AD;③△APH≌△FPD,④AH+BD=AB,其中正确的有() E D D A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④ 【答案】A 【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90° 精选考题才是刷题的捷径 第8页共33页 .∠CAB+LCBA=90°， :△ABC的角平分线AD、BE相交于点P, 2PB=∠PAC=<CMB,PBA=∠PaC 1 ∠CBA R∠BPD=∠PAB+LPBA)(ZCAB+∠CB0=459 ∴.∠APB=180°-∠BPD=135° 故①正确： 延长BC至F,△BAP沿着BP折叠与△BFP重合，PF交AC于点H, ∠FPB=∠APB=135°，AP=FP, .∠APF=360°-∠FPB-∠APB=90°， PF⊥AD, 故②正确： .∠APH=∠FPD=90° ∴∠PAH+∠ADC=90°，∠F+∠ADC=90°， ∴.PAH=∠F, 在△APH和△FPD中， ∠APH=∠FPD AP=FP ∠PAH=∠F :△APH≌aFPD(ASA), 故③正确： 延长HP交AB于点Q,则∠APH=∠APg=∠DPQ=90° D B.∠BPQ=∠DPQ-∠BPD=45° ∴.∠BPD=∠BPQ 精选考题才是刷题的捷径 第9页共33页 在△APH和△AP2中， ∠PAH=∠PAQ AP=AP ∠APH=∠APQ ·.△APH≌△AP2ASA , ∴.AH=AQ 在△BPD和△BPO中， ∠PBD=∠PBQ BP=BP ∠BPD=∠BPQ .ABPD≌ABP9 ASA ∴.BD=BQ ∴.AH+BD=AQ+BQ=AB 故④正确。 故选：A 二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分)请把下列各题的正确答案直接填 写在对应的位置. 11.如图，己知∠ABC=∠DCB,要用“边角边(SAS)”判定△ABC≌△DCB,还需添 加一个条件，这个条件是 (只需添加一个条件，不添加辅助线) D 精选考题才是刷题的捷径第10页共33页 【答案】AB=DC 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，己知一组对应角相等和一组公共边，需 补充夹角的另一组对应边相等。 【详解】解：：要用“边角边(SAS)”判定△ABC≌△DCB,己知一组对应角相等和一 组公共边， 需补充夹角的另一组对应边相等， 即AB=DC 12.如图，己知△ABC≌aDEF,顶点AB,C分别与顶点D,E,F对应，则DE= D 1.8 659 【答案】1.8 【分析】由全等三角形的性质求解即可. 【详解】解：：△ABC2aDEF, ∴.DE=AB=1.8 13.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E,若 DE=2,BE=1,则AD长为 E 【答案】 3 【分析】根据垂直的定义得到∠ADC=∠CEB=90°，利用同角的余角相等证明 ∠CAD=∠BCE,，结合AC=BC利用AAS证明△ACD≌aCBE,根据全等三角形对应边相等 得到AD=CE,CD=BE,结合线段的和差关系计算即可， 精选考题才是刷题的捷径 第11页共33页 【详解】解：~AD ICE,,BE LCE, .∠ADC=∠CEB=90°， .∠ACD+∠CAD=90°， .∠ACB=90° ∴∠ACD+∠BCE=90°， .∠CAD=∠BCE, 在△ACD和△CBE中， ∠ADC=∠CEB {∠CAD=∠BCE AC=CB ∴.AACD≌ACBE(AAS) ∴AD=CE,CD=BE .BE=1,DE=2 .CD=1, .CE=CD+DE=1+2=3, .AD=3 14.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC,点D是线段AB的中点，将一块锐角为 45°的直角三角板按如图（△ADE)放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合， 连接BE、CE,CE与AB交于点F,则∠AEC+∠DBE= B 【答案】45 【分析】由已知条件可知，AC=BD,AE=DE,∠DAE=∠ADE=45°，进而推出 △ACE≌aDBE(SAS ,得到∠AEC=∠DEB,再利用三角形外角的性质求解即可. 精选考题才是刷题的捷径第12页共33页 【详解】解：AB=2AC,点D是线段AB的中点， :.AC=AB AD=BD=1AB 2 2 ..AC=BD ~△ADE是锐角为45°的直角三角板， .AE=DE,∠DAE=∠ADE=45° ∠BAC=90° ∴.∠CAE=∠BAC+∠DAE=90°+45°=135°.∠BDE=180°-∠ADE=180°-45°=135°， ∴.∠CAE=∠BDE 在△ACE和△DBE中， AE=DE ∠CAE=∠BDE AC=BD ∴.△ACE≌ADBE(SAS) ∴.∠AEC=∠DEB. ∴·∠ADE=∠DEB+∠DBE=∠AEC+∠DBE=45° 15.如图，AB=10cm,BC=16cm,∠B=∠C,如果点P在线段BC上以3cms的速度由 B点向C点运动，同时，点Q从C点出发以xcm/s的速度沿射线CD运动，经过t秒后，若 以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、Q为顶点的三角形全等，则x的值是 B 15 【答案】3或4 【分析】已知∠B=∠C,两个三角形全等存在两种对应情况： ①△ABP≌△PCQ ②AABP≌AQCP 分别根据全等三角形对应边相等列方程求解'，进而求出. 精选考题才是刷题的捷径第13页共33页 【详解】由愿意得：BP=3cm,PC=(l6-3)cmcQ=cm :∠B=∠C,△ABP与△PCQ全等， .分两种情况： △ABP≌△PCQ 情况1： 此时对应边：AB=PC,BP=CQ, 由AB=PC得10=16-3t, 解得1=2， 由BP=C0得31=xt, 将1=2代入，得6=2x, 解得x=3: △ABP≌△QCP 情况2： 此时对应边：BP=PC,AB=CQ, 由BP=PC得3t=16-3t, 解利=。 由AB=C2得10=xM, 将1=3代入，得10 8 3, 15 解得x= 4 5 综上，x的值为3或4 16如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点E是BC边上的一点，过点B作 BF⊥AE交AE的延长线于点F,延长FB至点G,使得FG=AF,连接CG交AF于点H, 若AF=6,BF=2,则△ACH的面积为 精选考题才是刷题的捷径第14页共33页 【答案】12 【详解】解：如图，过点C作CM⊥AF于M, :∠BAC=90°，BF⊥AE ∴.∠BAF+∠CAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°， .∠ABF=LCAF, 在△ABF和△CAM中， ∠F=∠AMC=90° ∠ABF=∠CAM AB=AC △ABF≌ACAM(AAS) AF=6,BF=2, ..CM=AF=6,AM=BF=2, .FM=AF-AM=6-2=4. ..FG=AF, ∴.GF=CM, 在△GFH和△CMH中， ∠GHF=∠CHM ∠F=∠CMH=90° GF=CM .△GFH≌aCMH(AAS. 精选考题才是刷题的捷径第15页共33页 .FH =MH ÷MH=)FM=2 2 ∴.AH=AM+MH=4, .S40w= 令4H:CM=5×4×6=12 2 三、解答题：（本大题共16分，每小题8分)请把下列各题的正确答案填写在对应的位 置. 17.如图，点A在线段CD上，己知BC∥DE,BC=CD,∠BAC=∠E. D B (I)求证：△ABC≌△ECD (2)若DE=5,BC=13,求AD的长. 【答案】(I)证明：，BC∥DE, .∠ACB=∠D 在△ABC和△ECD中， ∠ACB=∠D ∠BAC=∠E BC=CD △ABC≌△ECD(AAS) (2)8 【分析】(I)先得出∠ACB=∠D,再根据AAS定理即可得证： (2)得出CD=BC=13,AC=DE=5,即可得AD的长. 【详解】(1)略. 精选考题才是刷题的捷径第16页共33页 (2)解：由(1)已证：△ABC≌△ECD .CD=BC,AC=DE, DE=5,BC=13, .AC=5,CD=13, .AD=CD-AC=13-5=8 18.学习了平行线与全等三角形之后，小红饶有兴趣地进行了拓展性研究，根据她的想法， 完成下面的作图和证明，在括号内填上推理依据， B 如图，点A是线段BD中点，C为直线BD外一点，连接BC、AC 第一步：利用直尺和圆规在DA右侧作∠DAM=∠B，在AM上截取线段AE=BC,连接 DE(不写作法，保留作图痕迹)； 第二步：求证：DE∥AC」 证明：点A是BD中点， ① AB=AD, ∠B=∠DAE, 在 和 中， △ABC△DAE ② :.△MBC≌△DAE ③ ( ④ :DE∥AC( ⑤ 【答案】解：如图，∠DAM、DE即为所求， 精选考题才是刷题的捷径第17页共33页 D E :同位角相等，两 AD=ABBC=AE SAS∠BAC=∠D 直线平行 四、解答题：（本大题共70分，每小题10分）请把下列各题的正确答案填写在对应的位 置。 19.针对等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提 问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等 腰三角形 4 B D 己知：在△ABC中，AD平分∠CAB,交BC边于点D,且CD=BD,求证：△ABC为等腰 三角形， 以下是甲、乙两位同学的作法 甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角相等和一组边相等，再加一组公共边， 可证△ACD≌△ABD,所以这个三角形为等腰三角形： 乙：延长AD到E,使DE=AD,连接BE,可证△ACD≌△EBD,依据己知条件可推出 AB=AC,所以这个三角形为等腰三角形 (1)对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 A.两人都正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确 (2)选择一种你认为正确的作法，并证明. 精选考题才是刷题的捷径 第18页共33页 【答案】(I)C (2) 乙的作法正确， 证明：依题意，延长AD至E,使DE=AD,连接BE,如图 B D CD为 中点， BC .BD=CD 在△CAD和△BED中， DE=DA ∠ADC=∠EDB BD=CD △CAD≌ABED(SAS) .∠DAC=∠E,BE=AC :AD平分LBAC, ∴.∠BAD=∠CAD, ∴.∠DAB=∠E, .BE=AB, :AB=AC, ,∴，△ABC为等腰三角形. 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，关 键是构造辅助线得到全等三角形 精选考题才是刷题的捷径第19页共33页 (1)甲同学证明的两个三角形全等，没有边边角的判定，故错误，而乙的证明则正确，因 此可作出判断： (2)按照乙的分析方法进行即可. 【详解】(1)解：甲同学证明的两个三角形全等，边边角不能判定两个三角形全等，故错 误，而乙的证明则正确， 故选C; (2)略 20.如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD,点E,F在线段AD上，连接BE,CF, 满足BE=AF,∠BED=∠DFC=∠BAC. (I)求证：AE=CF: (2)若∠ACF=15°，∠CAD=2LBAD,∠ABC=∠ACB,请求出∠BDE的度数. 【答案】(I)证明：·∠BED=∠DFC, ∴.180°-∠BED=180°-∠DFC, ∴.∠BEA=∠AFC. ZBED=ZBAC, ∴.∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAF, .∠ABE=∠CAF 在△ABE和△CAF中， ∠BEA=∠AFC BE=AF ∠ABE=∠CAF ,.△ABE≌ACAF(ASA) AE=CF」 精选考题才是刷题的捷径 第20页共33页 (2)∠BDE=97.5° ABE≌ACAF(ASA) 【分析】(1)证明 即可证得结论： (2)先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得∠BAE=∠ACF=15° ∠CAD=2∠BAD=30°，则∠BAC=45°，然后根据三角形的内角和定理求得 ∠ACB=67.5°，最后利用三角形的外角性质求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：△ABE≌△CAF .∠BAE=∠ACF=15o .∠CAD=2∠BAD=30° ∴.∠BAC=∠BAD+∠CAD=459 :∠ABC+∠ACB+∠BAC=I8O°，∠ABC=∠ACB, Z4CB=xI80-45)=675° ∴.∠BDE=∠CAD+∠ACB=30°+67.5°=97.5° 21.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,B为AC边上一点，连接BE交AD于点F,且 AD=BD,DF=DC (I)求证：△BDF≌△ADC (2)写出线段BF与线段AC的数量关系和位置关系，并证明. 【答案】(I)证明：AD⊥BC于点D, ∴.∠BDF=∠ADC=90°， 在△BDF与△ADC中， AD=BD ∠BDF=∠ADC=90° DF=DC 精选考题才是刷题的捷径第21页共33页 ∴.△BDF≌△ADC(SAS) (2)解：BF=AC且BF⊥AC,证明如下： ·△BDF≌△ADC .∠DBF=∠EAF,BF=AC; :∠BFD=∠AFE, ∴.180°-∠BFD-∠DBF=180°-∠AFE-∠EAF, ∴.∠AEF=∠BDF=90°」 BF⊥AC 【分析】(1)利用垂直的定义推出∠BDF=∠ADC=90°，再根据SAS证明 △BDF≌△ADC,即可解题； (2)利用全等三角形性质，以及三角形内角和定理分析推理，即可证明线段BF与线段 AC的数量关系和位置关系. 【详解】(1)略 (2)略 22.如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE=90,∠E=45,AB=AD,AC=AE,且 点D在边CE上，连接CB,过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F, (I)求证：BC=DE； (2)求∠EAF的度数： (3)求证：CD=2BF+DE」 【答案】(1) 证明：，∠BAD=∠CAE=90°、 ∴.∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°， ,∠BAC=∠DAE 精选考题才是刷题的捷径第22页共33页 在△BAC和△DAE中， AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE ,∴.△BAC≌△DAE(SAS) :.BC=DE: (2)135° (3) 证明：延长BF到G,使得FG=FB,连接AG,如图所示. B D G A E ,AF⊥BG, .∠AFG=∠AFB=90° 在△AFB和△AFG中， BF=GF ∠AFB=∠AFG AF=AF △AFB≌△AFG(SAS) ∴.∠ABF=∠G ,△BAC≌△DAE, ∴.∠CBA=∠EDA,CB=ED, .∠ABF=∠CDA, ∴.∠G=∠CDA. 在△CGA和△CDA中， 精选考题才是刷题的捷径第23页共33页 ∠GCA=∠DCA ∠CGA=∠CDA AC=AC ∴.ACGA≌△CDA(AAS) .CG=CD :.CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF .CD=2BF+DE 【分析】()根据∠BAD=∠CME=90°，推出∠BAC=∠DMA5,证明 BAC≌ADAE(SAS) 即可解答， (2)先证明∠E=∠ACE=45°，得到∠BCA=∠E=45°，再求出∠CFA=90°，∠CAF=45 即可解答 (3)延长BF到G,使得FPG=FB,连接4G,先证明△1B2MC(SAS),则 ∠ABF=∠G.推导出∠ABF=∠CDA,则∠G=∠CDA,继而证明 CGA≌aCDA(AAS) 得到CG=CD,则CG=DE+2BF,即可解答 【详解】(1)略 (2)解：.∠E=45°， 由(I)知△BAC≌△DAE, ∠BCA=∠E=45°， AF⊥BC, .∠CFA=90° ∴∠CAF=45°， .∠FAE=∠FAC+∠CAE=135°： (3)略 23.如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，且AE=BD,CE与AD相交于 点P,C1AD于点. 精选考题才是刷题的捷径第24页共33页 D (I)求证：△ABD≌△CAE: (2)若PC=6,求P№的长. 【答案】() 证明：，△ABC是等边三角形， ∴.AB=CA,∠ABD=∠CAE=60°， AE BD △ABD≌△CAE(SAS) (2)3 【分析】(1)根据全等三角形的性质，AB=CA,∠ABD=∠CAE=60°，然后根据全等三 角形的判定定理SAS即可得证. (2)根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠ACE,进一步得到∠PCQ=30°，再根据含30° 角的直角三角形的性质即可得到答案. 【详解】(1)略 (2)解：，△ABD≌△CAE, .∠BAD=∠ACE, ∴.∠CPQ=∠ACE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=60 :CQ⊥AD ∴.∠CQP=90° ∴.∠PCQ=90°-∠CP9=30° PC=6. 精选考题才是刷题的捷径第25页共33页 ..Po= -PC=3 24.如图1所示，在边长为6cm的等边△ABC中，动点P以lcm/s的速度从点A出发，沿线 段AB向点B运动，设点P的运动时间为 (s)1>0 图1 图2 图3 (1)当t=时，△PAC是直角三角形： (2)如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P,Q均以lcms的 速度同时出发.那么当1取何值时，△PAg是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P,Q均以lCms的速 度同时出发，当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PO交AC于点D,过点P 作PE⊥AC于E.试问线段DE的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请 求出DE的长度， 【答案】(1)3s (2)当1为2s或4s时，△PA0是直角三角形 (3)DE的长度不变化，为3cm 【分析】(1)由等边三角形的性质可得AB=BC=AC=6cm,∠A=∠B=∠ACB=60°， 1 由题意可得∠APC=90°，求出∠ACP=30,由直角三角形的性质可得MP= AC=3cm 即可得解： (2)分两种情况：当∠AP0=90°时，当∠A0P=90°时，分别利用直角三角形的性质列出 一元一次方程，解方程即可得解： 精选考题才是刷题的捷径第26页共33页 (3)过点2作OF11C交4C的延长线于F,证明△MPE≌，C0F(MS),符出E=CT PE=QF,证明aPDE≌QDE(AAS,得出DE=DF-号F,求出EF=AC=6cm:即可 2 得解。 【详解】(1)解：△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC=6cm,∠A=∠B=∠ACB=60°， :△PAC是直角三角形， .∠APC=90°， .∠ACP=90°-∠A=30°， &AP=)4C=30m 21 t(s) :动点P以lcms的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动，设点P的运动时间为 1>0, ,t=3÷1=3(s) (2)解：：△PA0是直角三角形， ∴.分两种情况：当∠APQ=90°时，如图： 则∠40P=90°-∠A=30°， .40=2AP 由题意可得：AP=CQ=tcm, ÷40=4C-CQ=(6-)em 6-1=21. 解得：1=2： 精选考题才是刷题的捷径第27页共33页 当∠A0P=90°时，如图： B 则∠AP2=90°-∠A=30°， .AP=2A0, ,1=2(6-) 解得：1=4 综上所述，当1为2s或4s时，△PA犯是直角三角形： (3)解：DE的长度不变化，为3cm, 如图，过点作QF上AC交AC的延长线于F, D D PE⊥AC,QF⊥AC .∠AEP=∠DEP=∠CFQ=90 :∠QCF=∠ACB=60°， .∠A=L0CF, ..AP=CO, 精选考题才是刷题的捷径第28页共33页 △APE≌ACQF(AAS) .AE=CF,PE=OF 又：∠PDE=∠QDF, △PDE≌△QDE(AAS) DE-DF-TEF EF=CE+CF,AC=CE+AE. .'EF=AC=6cm, .DE-EF3cm ∴.DE的长度不变化，为3cm, 【点晴】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用、全等 三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关 键。 25.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是△ABC外一点，AD⊥BD 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠DBA=40°，求∠DAC的大小： (2)如图2，连接CD,点E是CD的中点，点F是BD上一点，BF=AD,连接AF,AE. 用等式表示线段AF与AE的数量关系并证明， (3)如图3，点P是线段AB上一动点，连接CP,若∠BAD=6O,BD=2,AD=m,请直接写 压)BP+CP的最小值（用含m的代数式表 【答案】(1)∠DAC=140° (2) 精选考题才是刷题的捷径第29页共33页 AF=2AE,证明如下： 如图，延长AE到G,使AE=EG,连接CG, G 图2 .AG=2AE. :点E是CD的中点， ∴.CE=ED ∠CEG=∠DEA ACEG≌ADEA(SAS) ∴AD=CG,∠GCE=∠ADE, .BF =AD, .BF=CG. ∠BAC=90°， .∠ACG=∠GCE+∠ACE =∠ADE+∠ACE =180°-∠DAC =180°-∠DAB-90° =90°-∠DAB ,·∠ADB=90 ∴.∠ABF=90°-∠DAB 即∠ABF=∠ACG ·AB=AC,BF=CG △ABF≌△ACG(SAS) .AF=AG, 即AF=2AE: (3)2+m 精选考题才是刷题的捷径第30页共33页 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边，含30度 角的直角三角形的性质。 (1)根据AD⊥BD得到∠ADB=90°，进而根据三角形内角和求出∠DAB=50°，即可求出 ∠DAC的大小： (2)延长AE到G,使AE=EG,连接CG,则AG=2AE,证明△CEG≌△DEA,得到 AD=CG,∠GCE=∠ADE,即BF=CG,根据三角形内角和得到∠ABF=∠ACG,证明 △ABF2△ACG,即可得到AF=2AE: 3)作PH1DB交DB于H,求出48D=309,得到PH=BP,B=2D=2m助 BP+CP=PH+CP,可知当C、P、H在一条直线上且CH⊥DB时， P+CP=PH+CP有最小值CH:作AM1CH交于4连接A求出 ∠ACM=30°，证明 ABD≌aACM(AAS ,得到CM=BD=2,MM=D=m,证明 △MD2MM(HL),得到∠D1H=∠MH,根据平行线的刻定和性质得到∠M1D=90° 即∠DAH=∠MAH=∠MHA=45°，根据等角对等边证明AM=MH=m,即可求出 BP+CP的最小值， 【详解】(1)解：，AD⊥BD, .∠ADB=90°， ,∠DBA=40°， .∠DAB=50°， ·LBAC=90°， .∠DAC=50°+90°=140°， (2)略 (3)解：如图，作PH⊥DB交DB于H, 精选考题才是刷题的捷径第31页共33页 D 图3 ∠ADB=90°，∠BAD=60°. ∴.∠ABD=30° 1 ∴PH=2BP, AB=2AD=2m' BP+CP=PH+CP, .2 则当C、AH在-条直我上且GH1DB时，P+C-P阳+CP有最小值GA 如图，作AM⊥CH交CH于M,连接AH, D ∠PHB=90°，∠ABD=30°， ∴.∠BPH=∠APC=60°， .∠ACM=30 :AB=AC,∠D=∠AMC=90°， △ABD≌AACM(AAS) :CM=BD=2,AM=AD=m. ,AH=AH,∠D=∠AMH=90°， ,△AHD≌△AHM(HL) ∴∠DAH=∠MAH, .∠D=∠DHM=90° 精选考题才是刷题的捷径第32页共33页 .∠D+∠DHM=180°， 即AD∥MH, ∴.∠MAD+∠HMA=180° ∴.∠MAD=90°， ∴.∠DAH=∠MAH=45°， .∠MHA=45, .AM MH =m, .CH=CM+MH=2+m, 即2BP+CP的最小值为2+m 精选考题才是刷题的捷径第33页共33页 第十四章 全等三角形 2026-2027学年上期数学提升卷 （新人教版，重庆专版） 1、 选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1．如图，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 3．若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 4．如图，在中，平分交于点，，垂足为，的面积为5，则的长为（     ） A．2 B．3 C． D． 5．如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，那么量出的长就是，的距离，其理论依据是（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 9．如图，在锐角中，，的面积为24，平分，若，分别是上的动点，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 10．如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 2、 填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案直接填写在对应的位置． 11．如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 12．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 13．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 14．如图，在中，，，点D是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、，与交于点F，则______． 15．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是________ ． 16．如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 3、 解答题：（本大题共16分，每小题8分）请把下列各题的正确答案填写在对应的位置． 17．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 18．学习了平行线与全等三角形之后，小红饶有兴趣地进行了拓展性研究，根据她的想法，完成下面的作图和证明，在括号内填上推理依据． 如图，点A是线段中点，C为直线外一点，连接、． 第一步：利用直尺和圆规在右侧作，在上截取线段，连接（不写作法，保留作图痕迹）； 第二步：求证：． 证明：∵点A是中点， ∴． 在和中， ∴（）． ∴． ∴（）． 4、 解答题：（本大题共70分，每小题10分）请把下列各题的正确答案填写在对应的位置． 19．针对等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：在中，平分，交边于点，且，求证：为等腰三角形． 以下是甲、乙两位同学的作法． 甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角相等和一组边相等，再加一组公共边，可证，所以这个三角形为等腰三角形； 乙：延长到，使，连接，可证，依据已知条件可推出，所以这个三角形为等腰三角形． (1)对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是___________； A．两人都正确 B．甲正确，乙错误  C．甲错误，乙正确 (2)选择一种你认为正确的作法，并证明． 20．如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 21．如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，． (1)求证： (2)写出线段与线段的数量关系和位置关系，并证明． 22．如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 23．如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 24．如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 25．如图，在中，，，点是外一点，． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，点是的中点，点是上一点，，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明． (3)如图3，点是线段上一动点，连接，若，请直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 精选考题才是刷题的捷径第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $