专题02 二次函数图象与各项系数符号（60题）（举一反三专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与系数符号关系的结论判断题，60道题覆盖中考高频考法，以题强化数形结合与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数图象与系数符号|60题（含中考真题/模拟题）|结论判断（系数符号、函数性质、方程根等）|以a（开口）、b（对称轴）、c（y轴交点）为核心，关联判别式、特殊值（x=±1等）及图象位置，构建“图象特征→数量关系”推理链|

专题02 二次函数图象与各项系数符号（60题）（举一反三专项训练） 【新教材浙教版】 1．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 2．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先将已知点代入抛物线解析式，得到的值和与的关系，再结合对称轴在轴右侧的条件，逐一判定每个结论的正确性即可. 【详解】解：将点代入，得，， 将点代入抛物线解析式，得，整理得，即，故结论③错误； ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴对称轴， ∴与异号， ∴， ∵， ∴，故结论①正确. 将代入，得，解得，故结论②正确； ∵抛物线与轴已经有一个交点在轴的左侧，且对称轴在轴右侧， ∴顶点不可能在轴上， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，即，故结论④正确； 综上，正确结论为①②④. 4．（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，得，计算得到，结合顶点位置，抛物线与x轴的交点问题，抛物线的性质，解答即可； 【详解】解：抛物线经过点， ， ， 故正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为，根据题意，与x轴的另一个交点在点和点之间， ， ， ， ， 抛物线开口向下， ， ， ，，， ，， 故②正确；③错误； ，抛物线开口向下， 时，其函数值大于0， ， 抛物线的顶点在x轴的上方， ， ， 故④错误； 故正确的结论有2个． 5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 6．（25-26九年级下·广东河源·阶段检测）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论： ①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点的横坐标位于3和4之间．其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】由二次函数开口向下，对称轴，交y轴于正半轴可得，，，从而，故①正确；由顶点的坐标为可得对于任意实数，都有，即，故②不正确；由二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间得，又，故，即，故③正确；由点和点关于对称和点位于和之间可得点的横坐标位于3和4之间，故④正确． 【详解】解：二次函数开口向下， ， 二次函数对称轴， ， 二次函数交y轴于正半轴， ， ，故①正确； 顶点的坐标为， 当时，y最大为， 对于任意实数，都有，即，故②不正确； 二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间， 当时，， ，即， ，即，故③正确； 若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点和点关于对称， 点位于和之间，，， 点的横坐标位于3和4之间，故④正确； 综上所述，①③④正确． 7．（2026·江苏徐州·一模）如图，抛物线与轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为________个． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点等知识． 根据图象可得：抛物线的开口向上，与轴交于正半轴，即得，进而根据抛物线与轴交于点，点可得到对称轴，即可判断，，，可得结论①②③正确；当时，即，可得结论④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，，故结论③④正确， ∴，即，，故结论②正确， ∴，故结论①正确， 综上，说法正确的个数为． 8．（25-26九年级下·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论是______．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】由二次函数的图象得出、、，即可判断①；由二次函数与轴有两个交点得出，结合，即可判断②；求出，代入抛物线解析式得出，即可判断③；解一元二次方程即可判断④，从而得到答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ，故①正确，符合题意； 抛物线与轴有两个交点， ， ， ，故②错误，不符合题意； 在中，当时，， ， ， ， 把代入得：， ，故③正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③④． 9．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，其中则下列结论： ①；②方程没有实数根；③；④； ⑤若两点都在抛物线的图像上，则． 其中正确的有____．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；根据函数二次函数的对称性，增减性可判定⑤． 【详解】解：二次函数与x轴交于点、，，图象开口向上， ∴对称轴直线为，． ， 当时，． ，即． ． ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值在x轴的下方． ∴抛物线与直线有两个不同的交点． ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与y轴交于点，其中， ∴当，． ． ，， ， 解得，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ． ，故④正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 若两点都在抛物线的图象上， ∵， ∴，故⑤正确；； 综上所述，正确的有； 故答案为：①③④． 10．（25-26九年级上·山东威海·期末）二次函数图象上部分点的坐标满足下表： 0 3 5 0 下面四个结论： ①；②；③；④当时，；⑤． 其中正确的是__________(填写序号)． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，关键是利用表格中的点求出函数解析式或确定对称轴、开口方向等，进而逐一判断各个结论的正确性． 【详解】解：由表格可知，当时，，∴． 当时，；当时，， ∴，解得， ∴二次函数解析式为． ，故①错误； ②∵，， ∴，故②正确； ③二次函数的图象对称轴为，开口向上， ∴当时，函数取得最小值， ∴， 即，故③正确； ④由对称轴及时，可知另一交点为，结合函数图象开口向上， ∴当时，，故④正确； ⑤∵，故⑤错误． 综上，正确的结论是②③④． 故答案为：②③④． 11．（2026·四川广元·三模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，，其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与轴的交点判断的符号；利用、时的函数值推导的符号；结合对称轴范围推导的符号；再根据二次函数与一元二次方程的关系，判断方程的根的分布情况． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，①正确； 由图象可得，当时，， 又当时，， ， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于两点，，且． ，且对称轴， ， ， ， ，即，即， ，③错误； 二次函数的图象与轴交于两点，， ， 当时，， 与关于轴对称，如图所示， 时，即， 又， 结合图像可得，，，④正确； 综上所述，正确的有①②④三个． 12．（2026·安徽淮南·三模）如图，二次函数与轴，轴分别交于，两点，对称轴为直线，一次函数的图象也经过，两点，则下列结论错误的是(     )    A． B．当时， C．方程有两个不相等的实数根 D．二次函数的图象的最低点的坐标为 【答案】D 【分析】由抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，得到，，由抛物线的对称轴为直线得到，即可判断A选项；求出A，B的坐标，结合图象即可判断B选项；根据抛物线与直线有两个交点即可判断C选项；由得到二次函数，进而求出图象的最低点的坐标，即可判断D选项． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴．故A选项正确． ∵与y轴交于点A，与x轴交于点B ∴令，则， 令，则，解得， ∴，， ∴由图象可得，当时，．故B选项正确． ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程，即有两个不相等的实数根．故C选项正确． ∵， ∴， ∴二次函数， 当时，， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴二次函数的图象的最低点的坐标为．故D选项错误． 13．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论： ①；②；③；④若且时，则． 正确的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据开口方向，对称轴以及抛物线与轴的交点在与之间得到，，，即可判断①；根据对称轴为直线，故另一个与轴的交点为，当时，，故②错误；将代入可得，求出，再根据，故，③正确；根据，求出，，得到函数解析式，求出当时，则，④错误． 【详解】解：开口向下故， 对称轴，故， 抛物线与轴的交点在与之间，故， ，①正确； 抛物线与轴交于点，对称轴为直线，故另一个交点为， 当时，，故②错误； 将代入可得， ， ， ， ， ， ，故，③正确； 若，则，， 故抛物线解析式为， 当时，， 当时，， 当时，， 故当时，则，④错误； 14．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵图像与轴交于点，对称轴为直线， ∴图像与轴的另一个交点为， ∴当时，，故正确； 由图像与轴交另一个点为， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴，故正确； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上可得：正确． 15．（2026·贵州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为； ④； 其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断③④． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故②正确， ∴， ∴，故①正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故③正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 16．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④； ⑤方程其中一个解的取值范围为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判断①；根据顶点的纵坐标判断②；根据对称轴及点C的坐标判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④⑤． 【详解】解：该抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，， 它的对称轴为直线， ，， ， ，故①正确； 该抛物线的顶点在x轴的上方， 它的顶点的纵坐标，故②正确； 它的对称轴为直线，与点C关于直线对称的点的横坐标为4， 当时，，故③正确； 由③知点B的横坐标在4与5之间， 它的对称轴为直线， 点A的横坐标在0与之间， 方程其中一个解的取值范围为，故⑤错误； 故当时，， ， ， 即，故④错误， 故正确的有①②③，共3个． 17．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④ 【答案】B 【分析】先根据函数图象判断出，由对称轴判断出，即可判断①②；由图象得当时，有，即可判断③；再利用二次函数与一元二次方程的关系即可判断④⑤． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点的横坐标，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有②③⑤． 18．（2026·安徽合肥·一模）如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为．与轴负半轴交于点，在下列结论中：①；②；③当时，；④有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，，得出对称轴为，判断①，结合图象过点，判断②，根据开口方向顶点的纵坐标为最小值即可判断③，方程的解即为函数与交点的横坐标即可判断④． 【详解】解：①二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，， 该二次函数图象对称轴为：直线， ，即，故①错误； ②由题意可知：图象过点， ， 又 ， ，即，故②正确； ③由①可知，二次函数图象的顶点为 ， ， 又在二次函数中，当时， ， ，故③正确； ④由上知，，， ∴，而 ∴， ∴函数与有两个不同的交点， ∵方程的解即为函数与交点的横坐标， ∴有两个不相等的实数根，故④正确， ∴正确的有3个． 19．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤关于的方程，有两个相等的实数根；其中说法正确的是（   ） A．①②③ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①利用抛物线判定二次函数的参数取值； ②根据对称轴确定参数的关系； ③根据函数特殊值进行判断； ④根据对称点进行判断； ⑤根据图象和一元二次方程的关系，结合数形结合的思想进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴, ∴， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，， 即，故③错误； ④∵对称轴为直线， ∴点，关于直线对称， ∴，故④正确； ⑤由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线与直线有一个交点， ∴方程，有两个相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确选项为①②④⑤． 20．（25-26九年级上·北京平谷·期末）二次函数的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若点，在抛物线上，当，时，则有；④若此抛物线过点，则一定是方程的一个根．其中正确结论的序号是_______ ． 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线开口向下得出，再结合抛物线对称轴得出 ，即可判断①错误；由题意可得对称轴为直线，结合抛物线过点，得出抛物线经过点，则，再结合，求出，由二次函数的顶点为，得出，即可判断②正确；由函数图象可知，当时，，当时，，即可判断③错误；点C关于对称轴对称点在抛物线上，即可判断④正确；熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴，故①错误； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的顶点为， ∴， ∴，即，故②正确； ∵抛物线与x轴交点为和， 由函数图象可知，当时，，当时，， ∴，故③错误； ∵点在抛物线上， ∴点C关于对称轴对称点在抛物线上， ∴为的一个根，故④正确． 故答案为：②④． 21．（2026·陕西·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①； ②方程没有实数根； ③； ④． 其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∵图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值在轴的下方， ∴抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 22．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与x轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得的符号，结论①错误；②由抛物线与x轴交于，顶点是，可判断出抛物线与x轴的另一个交点为，当时，，结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线，即，得，把，代入并化简得：，解得或，可判断出结论③正确；④把代入并计算可得，由对称轴可得，所以，由可得，再计算的值，可判断④错误． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故结论①错误； ②∵二次函数的图象与x轴交于，顶点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，，故结论②正确； ③由题意可知对称轴为：直线， ∴， ∴ 把，代入得：， ∴， 解得或， ∴当，则或，故结论③正确； ④把，代入得：， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与x轴的另一个交点为， ∴， ∴， ∴，故④错误． 故选：C． 23．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②当时，；③；④．其中正确的是__________．（只填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 先利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称性方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用一次函数图象不在二次函数图象的下方所对应的自变量的范围可对②进行判断；由于时，，则可对③进行判断；由于时，，则，然后把代入可对④进行判断； 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ，所以①错误； 抛物线与一次函数的图象相交于，两点， 点的横坐标为，点的横坐标为， 当时，， 所以②正确； 时，， ，所以③正确； 时，， ， ， ， 即，所以④错误； 故答案为：②③ 24．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将，代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 25．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线 （a，b，c是常数，且）经过点和两点，其中，下列结论：①；②；③；其中正确的结论是____________．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．根据二次函数图象上点的坐标特征得到抛物线的开口方向和对称轴位置可判断①；再根据抛物线经过点得到，进而可判断②③；判断出可判断④． 【详解】解：∵抛物线 （a，b，c是常数，且）经过点和两点，其中， ∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线，即对称轴在y轴的右边， ∴，， ， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点，, ∴，， 由①得：，， 由得， ∵， ∴，即， ∴，故②正确； 由得，即，故③错误； 由于 ， ∵，，，， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故④正确， 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 26．如图，已知抛物线（为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论取何值，抛物线一定经过；⑤，其中正确结论是______．    【答案】①③④⑤ 【分析】根据抛物线与轴交在负半轴上可知①正确，再根据抛物线的对称轴为直线可知②不正确，利用抛物线（为常数，）经过点可知③正确，根据二次函数的图象及性质可知④⑤正确． 【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线，即对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线与轴交在负半轴上，， ∴， 故①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故②不正确； ③∵抛物线（为常数，）经过点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∴当，无论取何值，抛物线一定经过， 故④正确； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故⑤正确： 本题正确的有：①③④⑤, 故答案为①③④⑤； 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴，二次函数与轴的交点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 27．已知抛物线开口向下，与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间包含端点，则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根，其中结论正确的是_______（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线开口方向判断与的关系，由抛物线与轴交点坐标判断、、的关系，由顶点坐标及顶点坐标公式推断、的关系及与、、的关系，由抛物线与轴的交点坐标判断的取值范围，进而对所得结论进行推断． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ， ， 故正确． 抛物线与轴交于点， ， ， 由知：，即， ， 又抛物线与轴的交点在，之间含端点， ， ， ， 故正确． 抛物线开口向下 ， 又 ， 令， 关于的二次函数开口向下 若对于任意实数，总成立 故需判断与的数量关系， 由以上分析知： ， ， 故正确． 由以上分析知：， ， ， 关于的方程有两个不相等的实数根 故正确 故答案为：①②③④． 【点睛】主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟知顶点坐标以及根的判别式的特点与运用． 28．（2026·湖北武汉·一模）抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，对称轴为．下列五个结论： ①； ②； ③若，则； ④； ⑤对于任意实数，不等式总成立． 其中正确结论的序号是________． 【答案】 ②③⑤ 【分析】根据对称轴公式判断②，利用抛物线对称性判断③，利用根与系数的关系化简判断④，利用二次函数的最值性质判断⑤，逐一验证各结论即可. 【详解】解：∵，，对称轴为直线， ①是抛物线与轴交点的纵坐标，题目仅说明抛物线与轴有两个交点，无法确定的符号，当时，抛物线与轴也有2个交点，故①错误； ②由对称轴公式，整理得，即，故②正确； ③根据抛物线对称性，抛物线与轴两个交点到对称轴的距离相等，因此，即， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ④ 由根与系数的关系得，， 则， 由②可知：， ∴；故④错误； ⑤ ∵，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴顶点是抛物线的最小值点， ∴对任意实数，都有， ，不等式对任意实数恒成立，故⑤正确； 综上：正确的是 ②③⑤. 29．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，且抛物线与y轴的交点在x轴上方．下列结论：①；②；③对于任意实数t，不等式恒成立；④的两根分别为，；⑤若、是抛物线上的两点，且，当时总有，则．其中正确的结论有_____（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】先根据抛物线的对称轴和过定点的条件，推导的关系，再结合抛物线的性质，逐一判断每个结论的正确性． 【详解】解：已知抛物线过，对称轴为． 由对称轴公式得，整理得． 将代入解析式得：将代入上式得： ， 整理得， 故②正确． ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴，即，得， 故①正确． 对于结论③，将代入不等式左边得： ∵，， ∴， 当时，，不满足恒成立， 故③错误． 对于结论④，整理方程得． 代入，得， ， 解得：，，故④正确． 对于结论⑤， ： ∵，， ∴， ∴等价于． 由题意，当时总有， 可得，即，并非， 故⑤错误． 30．（2026·湖北武汉·二模）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，其中，下列五个结论：①；②；③关于x的不等式解集为；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则；⑤若，为抛物线上两点，且满足和，则．其中正确的是____________（填写序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点求出对称轴，得到，再依次对五个结论逐一判断：根据判断①，根据的不确定性判断②，对不等式因式分解求根，结合开口方向得到解集判断③，利用判别式为零结合推导的值判断④，利用作差法结合已知条件推导的范围判断⑤． 【详解】解：抛物线经过，两点， 抛物线的对称轴为，即， 整理得； ①， ，故①正确； ②由，仅知，，无法确定的正负，可以为负，故②错误； ③将代入不等式，得， 即， ， 方程的两根为，，且， 不等式的解集为，故③正确； ④一元二次方程有两个相等的实数根， ， 将代入得，即， ， ， ，故④正确； ⑤设，，则 ， 将代入得 ， ，，， ，即， ，， ，即，故⑤正确． 综上，正确结论的序号是①③④⑤． 31．（25-26九年级下·广东肇庆·期中）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④；其中正确的结论有________个． 【答案】3 【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴抛物线与轴交于点和，且， ∴， 由图象知：，，， ∴，故结论①正确； ∵抛物线与轴交于点和， ∴， 又因为 ∴，故结论②正确； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故结论③错误； ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上：正确的结论有①②④， 所以正确的结论有3个． 32．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③⑤ 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又∵抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， ∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②错误； ③设抛物线的交点式为，展开得： ， 当时，， 即， ∵， ， 解得：，故③正确； ④是时的函数值， ∵，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④错误； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ∵，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①③⑤． 33．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点及特殊点的函数值，结合二次函数的系数与图象的关系，逐一分析四个结论的正误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 抛物线对称轴在轴右侧，对称轴为直线， ， 又， ， ，故结论①正确，符合题意． 由图可得抛物线顶点的纵坐标大于， 顶点纵坐标公式得， 又，不等式两边同时乘（负数），不等号方向改变， ，故结论②正确，符合题意． 抛物线过点、 ，， 即， ，故结论③错误，不符合题意． 抛物线经过点， 当时，，故结论④正确，符合题意． 故正确的结论是①②④． 34．如图，抛物线的对称轴是直线．有下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点为，则关于的方程无实数根．其中正确结论是________．（只需填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由图象可知a与c的正负，再根据对称轴可得b的正负，由此可判断①；根据不等式的性质判断②；根据抛物线上的点到对称轴的距离即可判断③；根据二次函数的最值可得最小值，由此可判断④． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ∵，， 此时表示点和到对称轴的距离， 当时， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵抛物线开口向上， ∴，故结论③正确； ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口向上 则y的最小值为m， ∴， ∴， ∴， ∴ 而方程变形为 ∴关于的方程无实数根，故结论④正确． ∴正确的结论是①②③④． 35．（2026·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与x轴的交点为和点B；与y轴的交点在与之间（包括端点）．①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．其中正确结论是______． 【答案】①④⑤ 【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，得，可判断①；根据对称轴为，得，根据二次函数图象交x轴于点，得，得，可判断②；根据点，，都在抛物线上，且的对称点为，当时，y随x的增大而增大， ，得，可判断③；根据直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，和方程无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y轴于点，得，由，得，由顶点，得，得， 即得，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点， ∴， ∴①正确； ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴②不正确； ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且， ∴， ∴③不正确； ∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， ∴方程无实根， ∴④正确； 对，令，则， ∴二次函数的图象交y轴于点， ∴， ∵， ∴ 把代入， 得． ∴， 即． ∴⑤正确． ∴正确的有①④⑤． 36．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论： ； ； ；当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】 【分析】根据图像分别得出，，，从而可判断；由点和点，与轴的负半轴交于点，且，设，再代入解析式即可判断；利用待定系数法即可判断；设，交点为，对称轴与轴交点为，顶点为，根据抛物线的对称性，是等腰直角三角形，，，得， ，又对称轴 ，所以 ，由顶点坐标公式可知 ，可得或者 ，再结合即可判断． 【详解】解：从图像观察，开口朝上，所以， 对称轴在轴右侧，所以， 图像与轴交点在轴下方，所以， ∴，，所以正确； 点和点，与轴的负半轴交于点，且， 设代入，得：， ∵ ， ∴，所以正确； ∵，， 设抛物线解析式为：过， ∴， ∴ ，所以正确； 如图：设，交点为，对称轴与轴交点为，顶点为， 根据抛物线的对称性，是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ， 又对称轴 ， ∴ ， 由顶点坐标公式可知 ， ∵， ∴ ， 由题意， 解得或者， 由知， ∴，所以不正确． 综上所述：正确． 37．（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若和是抛物线上两点，则当时，其中正确的是________． 【答案】①②③④ 【分析】根据抛物线开口，对称轴判断的符号即可判断①，将代入解析式，结合函数图象即可判断②，根据抛物线与有交点判断③，将代入得出，进而判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，即可判断⑤． 【详解】解：根据抛物线开口向下，可知， 因为抛物线对称轴是直线， 所以，即， 抛物线与y轴的交点在正半轴， 所以，故，①正确； 因为抛物线对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为， 所以与x轴的一个交点坐标为，代入得， ，②正确； 由图象可知，当时，对应的自变量值有两个，即方程有两个不相等的实数根，③正确； 把代入得，，则，④正确； 当时，说明点离对称轴远， 因为抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大， 所以，⑤错误； 综上可知，正确的有①②③④． 38．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知抛物线 (a、b、c为常数， 且（）的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴交点坐标是且．有下列结论： ①； ②； ③ ； ④关于x的一元二次方程 必有两个不相等实根； ⑤若点， ，在抛物线上，且 当时，则n的取值范围为 其中正确的是________________．（只用填序号即可） 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ∴ ， 又∵抛物线与轴交点坐标是，即， ∵，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， 又∵， ∴， ∴即， ∵，即， ∴， ∴即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， 即， ∵ 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点在抛物线上，且， ∴，， ∵存在， ∴，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 39．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线是常数，经过两点，且． 下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④若关于的不等式的解集为，则； ⑤点在抛物线上，若，总有，则． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：∵抛物线是常数，经过两点，且． ∴，，， ∴， ∴； 故①正确； ∵抛物线是常数，经过两点，且． ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴； 故②错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴； ∴； 解得， 故③正确； ∵关于的不等式的解集为， ∴, ∴的两个根为,， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, 故④错误； ∵点在抛物线上，抛物线的对称轴为，，总有， ∴，且， 解得， ∵ ∴． 故⑤ 正确， 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 40．已知二次函数的图象经过，两点，其中，对称轴为．下列四个结论：；；点、在抛物线上，当时，；已知关于的方程有两个根，其中一个根是，若关于的方程有整数根，则其根为和；其中正确的结论是____(填写序号) 【答案】 【分析】利用二次函数的图象及性质，系数间的关系和一元二次方程的关系即可求解． 【详解】∵抛物线过，对称轴为， ∴图象必过， 又∵过点， ∴开口向上，与轴交于负半轴， ∴，，，故对； ∵与到对称轴等距， ∴，故对； ∵，无法判断点、与对称轴是同侧还是异侧， 也就无法判断点、与对称轴的距离的大小，故无法比较与的大小，故错； ∵方程的两根分别为和， 又的方程有两个根，其中一个根是，而抛物线的对称轴为，由对称性得另一个根为， 观察图象，得关于的方程整数根为和，故对， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数图象及其性质，数形结合法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键． 41．（2026·广东清远·一模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，． 其中包含所有正确结论的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过，，， ∴对称轴，即， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程 的两个根，即的两个根，相当于函数与的交点的横坐标， ∵， ∴， ∵ ∴根据图象得，，故④正确； 故正确的有． 42．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴， 又， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程一定有一个根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴对于任意实数，，即，故④正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,故⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共4个． 43．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 44．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，是坐标原点，已知二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；以上结论正确的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①根据函数图象进行分析二次函数的参数取值即可； ②根据对称轴得出，根据点的坐标得出参数之间的关系，即可求解； ③根据当时，，进行判断即可； ④根据抛物线的对称性进行判断即可； 【详解】解：①由抛物线图象可得，抛物线开口向上， ∴； 对称轴位于轴左侧， ∴符号相同， ∴； 抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入解析式得，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③由可得，当时，， 由②得， ∴，故③错误； ④∵，且两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于直线对称， ∵点在该函数图象上， ∴点也在该函数图象上，故④正确； 综上正确的有3个. 45．（2026·山东青岛·三模）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有（     ） ①；②；③；④；⑤点、是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，，，则，故①符合题意； ②根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点，则，故②不符合题意； ③∵对称轴为直线， ∴ 当时，，即 ∴ 即，故③符合题意； ④由于图象经过，且对称轴为，则图象也经过， 当时， 即 ，故④不符合题意； ⑤点，是抛物线上的两点，若，则，故⑤不符合题意； ⑥由图象过由对称性可知：图象也过点 令 有两个解，分别是，，故⑥符合题意； 综上所述，①③⑥符合题意，共有3个． 46．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的最值，抛物线与一元二次方程的关系等解答即可. 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴,， ∴, 故①②正确； ， 根据图象，得时，， 故③错误； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取得最小值， 对于任意实数，当时，函数值， ， ， 故④正确； 二次函数的图象经过点， 设其对称点为，根据题意，得， 解得， 方程的两根为， 又方程的两根为，， ， ， 故⑤错误． 47．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数（a，b，c为常数，）图象的顶点坐标是，且经过点，．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③；④对于任意实数t，总有．⑤当，时，y的最小值是1，则或6．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先根据顶点坐标和已知点得到参数关系，再由 的范围得到 的取值范围，最后逐一判断各结论即可． 【详解】解：∵二次函数顶点坐标为， ∴对称轴为直线，即，得， 设顶点式为， 将代入得， 即，得， 当时，，代入得， ∵， ∴， 解得， ∴ ，，， ∴，故①错误； ②原方程整理得，左边为非负数， 当时，，方程无解，故②错误； ③， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ④代入得：， ∵ ， ∴，不满足对任意 都有，故④错误； ⑤当时，得，开口向上，对称轴， ∴， ∴， 区间中 最小值为， 若，即，最小值在处， ∴， 解得或（舍）； 若，即时，当时，取最小值，无解； 若，最小值在处， ∴， 解得或（舍）， 故或，结论⑤错误； 综上，只有1个结论正确． 48．（25-26九年级下·山东烟台·阶段检测）抛物线 的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：；；③当时，x 的取值范围是；④； ⑤若二次函数顶点为，则有，其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；运用数形结合思想得出，，，以及对称轴为直线得出，再结合二次函数的图象性质得出当时，x 的取值范围是，把，代入计算，根据的顶点坐标为以及二次函数顶点为，列式即可作答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， ∵的对称轴为直线 ， 故符合题意； 对称轴在y轴的右侧， ， 抛物线交y轴的正半轴， ， ，故①符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， 当时，x的取值范围是， 故③不符合题意； ∵与x轴的一个交点坐标为， ∴时，， 即 ∵ ， 即， ∴， 故④符合题意； ∵ ∴顶点坐标为 ∵二次函数顶点为， ∴ ∴ 故⑤不符合题意； ∴正确的个数是个． 49．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）抛物线（a，c为常数且）经过，，，，且，以下结论：①；②且；③方程一定有两个不等的实数根：④，其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 将代入抛物线解析式求出，据此判断①；先求出抛物线的对称轴，分情况讨论：若时，，不符合题意，则，利用抛物线与x轴交点关于对称轴对称，结合已知点的函数值符号，判断两根、的范围，据此判断②；由抛物线与x轴两个交点可求出方程的判别式大于0，进而求出，计算方程的判别式，据此判断③；利用且判断④． 【详解】解：将代入得：， 故①正确； 抛物线的对称轴为， 若，则抛物线开口向下， 在上，随的增大而增大，即，不符合题意； 若，抛物线开口向上， 在上，随的增大而减小，即， 抛物线经过，且， ， 当时，， 当时，， ， 若，则点在轴上方， 右交点必在2的右侧，即， 若，则点在轴下方， 此时， 将代入得：， 根据题干条件无法判断的符号，则无法判断， 故②错误； 方程的判别式为， 抛物线经过，且， 有两个不同的实数根m，n， 则其判别式为， ， ， 方程一定有两个不等的实数根， 故③正确； 、， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 50．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，其与轴的一个交点为，与轴的交点在点，之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程的两根分别为，（），则．⑤抛物线上有，，当时则的取值范围是，其中，正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用对称轴和交点坐标得到的关系，结合的取值范围得到的范围，再利用二次函数的性质逐一判断每个结论即可. 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，与轴一个交点为 ， ∴由抛物线对称性得，抛物线与轴另一个交点为，且，即； 将代入抛物线解析式得，把代入得， ∵抛物线与轴交点在之间， ∴，且抛物线开口向上，， ∵，∴，①错误； ∵，，∴，②正确； ∵，不等式两边同除以得：，③正确； ∵方程变形为，根为抛物线与直线交点的横坐标， ∵时抛物线直线，时抛物线直线，抛物线开口向上， ∴，④正确； ∵开口向上，， ∴点离对称轴比离对称轴更远， 即， 化简得：， 平方整理得：，与结论不符，⑤错误； 综上，正确结论共个， 故选：B. 51．（2026·山东济南·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，其顶点坐标为．有以下结论：；；若，则的取值范围为或；；若对任意实数恒成立，则的取值范围为． 其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置确定，，的符号及数量关系，逐一判断各结论即可． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上， ， 其顶点坐标为， 对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故错误； 抛物线过点， ， 将代入得，即，故正确； 当时，，且对称轴为， 点关于对称轴的对称点， ， 当时，或，故正确； ， ， ， 顶点坐标为， ， ， ， ，故错误； 若，对任意实数恒成立，则恒成立，即， 整理得， ， 需满足， ，解得，故错误； 综上所述，正确的结论有，共个． 52．（2026·山东青岛·二模）已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数t，；④．其中，正确结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的对称轴、与坐标轴交点、顶点性质等知识点，逐一判断各结论即可． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线，与x轴交于， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为，且，得， 把代入，得， 将代入得， ∵与y轴交点B在和之间， ∴，即，解得，故④正确； 判断①：当时，， ∵，且，得，开口向上，二次函数图象与x轴的两个交点之间的函数值小于0， ∴，故①正确； 判断②：当时，函数取得最小值，即顶点纵坐标为， 将，代入，得顶点纵坐标为， ∵， ∴，即， 两边同乘（，不等号方向不变），得，故②正确； 判断③：整理得， ∴的最小值为， 又∵， ∴当时，，不满足，故③错误， 综上所述，正确结论为①②④． 53．（2026·河北邯郸·三模）如图，抛物线与x轴交于，交y轴负半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论∶①；②；③（m为任意实数）；④若点是第三象限内抛物线上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴、开口方向、与坐标轴的交点，即可判断①②，根据当时，取得最小值，即可判断③，先求得所在的直线方程为，过作轴的垂线，交于点，则点的坐标为，进而根据三角形的面积公式得出的面积，根据二次函数的性质，即可判断④． 即可求解． 【详解】解：结论①：∵抛物线与x轴交于， ∴对称轴为直线， 又∵对称轴公式为， 故， ，因此①正确． 结论②：由于抛物线开口向上，故， ， ， ∵抛物线与y轴交于负半轴，故， ，②错误． 结论③：当时，得最小值， ∴对于m为任意实数，都有，即，故③正确． 结论④：设抛物线解析式为，则， ∴所在的直线方程为． 点在抛物线上，故． 过作轴的垂线，交于点， 则点的坐标为， ． 当时，取得最大值．故④正确． 综上，①③④正确，共3个． 54．（2026·湖北随州·一模）已知二次函数的图象如图所示，它与x轴交于点，点两点，其中，，与y轴交于点．下列结论：①；②；③当时，为直角三角形；④若方程的两个根是，，则．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理以及一元二次方程根与系数的关系，解答即可． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴交x轴负半轴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 当时，， ∴，故②正确； 如图， ∵抛物线与x轴交于点，点两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故③正确； ∵方程的两个根是，，即方程的两个根是，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 55．（2026·安徽铜陵·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴其中一个交点的坐标为，与轴的交点在与之间（不含端点）．下列结论中：①；②；③；④，正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点等性质，结合数形结合的思想分析判断各结论是解题的关键．根据抛物线的开口方向判断的符号，由对称轴公式判断的符号，由抛物线与轴的交点位置判断的符号，进而判断的符号；利用对称轴与已知交点坐标求出抛物线与轴的另一个交点，代入解析式结合的取值范围求出的取值范围；利用因式分解和特殊点的函数值判断是否成立；根据顶点坐标公式表示出，进而判断与的大小关系． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴为，则， ， ， 抛物线与轴的交点在与之间， ， ，①正确； ， ， 抛物线对称轴为，与轴其中一个交点的坐标为， 与轴另一个交点的坐标为， 将代入抛物线得，， 又， ， 解得， ， ，②正确； 原等式可化为， ， 当时，， ，即，③正确； 抛物线顶点为， ， 又， ， 则， ， ，④错误； 综上所述，正确的结论为①②③，共个， 故选：． 56．（25-26九年级下·山东烟台·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；若，则．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置确定、、的符号及相互关系，再结合特殊点的函数值及不等式性质逐一判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴， ， ，故正确； 对称轴，， ， ，故正确； ，，， ，， 当时，，且， ，即， ， 即，故正确； 对称轴， ， ， ， ， ，故错误． 综上所述，正确的结论只有，共个． 57．（25-26九年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数，）经过点，当时，；当时，．下列结论：①；②；③函数的最小值为；④的值为1．其中，正确结论的个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据点在抛物线上、二次函数的对称性和单调性判断各结论即可． 【详解】解：①∵抛物线经过点， ∴将代入得，故①正确． ②∵当时，，对任意，，且时，，说明抛物线开口向上，，顶点为， ∴对称轴为，由对称轴公式，得 ， ∵， ∴，即，故②正确． ③∵抛物线开口向上，顶点为， ∴函数的最小值为，不是，故③错误． ④∵抛物线开口向上，，对称轴，当时，随增大而减小， ∴时，的最小值在处， 抛物线顶点式为，代入得， ∵时，， ∴，得，故④正确． 综上，正确的结论有①②④，共3个． 58．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；当时，，即可判断②；根据，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则， ， 又 ∵抛物线与轴交点坐标是，即， ，即， ∴，故①正确； ∴当时，，故②正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∵在抛物线的图象上， ， 又 ∵， ， ，即， ，即， ， ，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵， 即， ∵， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又 ∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； 结论正确的个数有4个． 59．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数的图像的一部分如图所示，对称轴为，对于下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图像上，且，则； ④不等式的解集为． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点坐标，二次函数图象与各项系数符号，观察函数性质以及对称轴为直线，得出，结合对称性得二次函数经过点，故多项式可因式分解为；结合开口向上，对称轴为直线，得越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，即点，在函数图像上，且，则，以及数形结合，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出二次函数的开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴ 故①是符合题意； 观察函数图象，得出二次函数经过点， ∵对称轴为， ∴二次函数经过点， 即多项式可因式分解为， 故②是不符合题意； ∵开口向上，对称轴为直线， ∴越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小 ∵点，在函数图像上，且， ∴， ∴， 当时，即，则，即； 当，时，则，即； ∴， 当时，则，则不成立 综上： 故③是符合题意； ∵二次函数经过点以及点， 而一次函数也经过点以及点，如下图所示： 可得不等式的解集为或， ∴可得不等式的解集为或， 故④不符合题意； 60．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）函数的图像与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的是（　　）． ①； ②（t为任意实数）； ③函数在和x＝﹣2处的函数值相等； ④函数的图像与的函数图像总有两个不同交点； ⑤函数在内既有最大值又有最小值． A．①②⑤ B．①②③ C．①③⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据顶点坐标得到抛物线对称轴，结合与x轴交点判断出a，b，c的符号，再利用二次函数的图像与性质逐一判断各结论即可解答． 【详解】解：∵顶点坐标为，，抛物线与轴交于点， ∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线， ∵对称轴公式为， ∴， ， ， 把代入得，将代入得， ∴， ， ； ①，，，，即①正确； ②∵抛物线开口向下，顶点是最高点，即对任意实数，都有 ， 两边减得，即，即②正确． ③∵对称轴为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，距离不相等， ∴两处函数值不相等，即③错误； ④联立，整理得， 判别式，代入得 ， 当时，没有两个交点，因此不是总有两个不同交点， ∴函数的图像与的函数图像不总有两个不同交点，即④错误； ⑤∵对称轴在区间内，抛物线开口向下， ∴时函数取得最大值， 又∵到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴当时取得最小值， ∴在区间内既有最大值又有最小值，即⑤正确． 综上，正确结论为①②⑤，即选项A符合题意． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数图象与各项系数符号（60题）（举一反三专项训练） 【新教材浙教版】 1．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 2．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 4．（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26九年级下·广东河源·阶段检测）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论： ①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点的横坐标位于3和4之间．其中所有正确结论的序号是___________． 7．（2026·江苏徐州·一模）如图，抛物线与轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为________个． 8．（25-26九年级下·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论是______．（填写序号） 9．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，其中则下列结论： ①；②方程没有实数根；③；④； ⑤若两点都在抛物线的图像上，则． 其中正确的有____．（填写序号） 10．（25-26九年级上·山东威海·期末）二次函数图象上部分点的坐标满足下表： 0 3 5 0 下面四个结论： ①；②；③；④当时，；⑤． 其中正确的是__________(填写序号)． 11．（2026·四川广元·三模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，，其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 12．（2026·安徽淮南·三模）如图，二次函数与轴，轴分别交于，两点，对称轴为直线，一次函数的图象也经过，两点，则下列结论错误的是(     )    A． B．当时， C．方程有两个不相等的实数根 D．二次函数的图象的最低点的坐标为 13．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论： ①；②；③；④若且时，则． 正确的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 15．（2026·贵州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为； ④； 其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 16．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④； ⑤方程其中一个解的取值范围为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④ 18．（2026·安徽合肥·一模）如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为．与轴负半轴交于点，在下列结论中：①；②；③当时，；④有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤关于的方程，有两个相等的实数根；其中说法正确的是（   ） A．①②③ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③④ 20．（25-26九年级上·北京平谷·期末）二次函数的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若点，在抛物线上，当，时，则有；④若此抛物线过点，则一定是方程的一个根．其中正确结论的序号是_______ ． 21．（2026·陕西·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①； ②方程没有实数根； ③； ④． 其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①④ 23．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②当时，；③；④．其中正确的是__________．（只填写序号） 24．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 25．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线 （a，b，c是常数，且）经过点和两点，其中，下列结论：①；②；③；其中正确的结论是____________．（填写序号） 26．如图，已知抛物线（为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论取何值，抛物线一定经过；⑤，其中正确结论是______．    27．已知抛物线开口向下，与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间包含端点，则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根，其中结论正确的是_______（填序号） 28．（2026·湖北武汉·一模）抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，对称轴为．下列五个结论： ①； ②； ③若，则； ④； ⑤对于任意实数，不等式总成立． 其中正确结论的序号是________． 29．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，且抛物线与y轴的交点在x轴上方．下列结论：①；②；③对于任意实数t，不等式恒成立；④的两根分别为，；⑤若、是抛物线上的两点，且，当时总有，则．其中正确的结论有_____（填序号）． 30．（2026·湖北武汉·二模）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，其中，下列五个结论：①；②；③关于x的不等式解集为；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则；⑤若，为抛物线上两点，且满足和，则．其中正确的是____________（填写序号）． 31．（25-26九年级下·广东肇庆·期中）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④；其中正确的结论有________个． 32．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 33．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 34．如图，抛物线的对称轴是直线．有下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点为，则关于的方程无实数根．其中正确结论是________．（只需填写序号） 35．（2026·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与x轴的交点为和点B；与y轴的交点在与之间（包括端点）．①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．其中正确结论是______． 36．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论： ； ； ；当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的结论是______（填写序号）． 37．（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若和是抛物线上两点，则当时，其中正确的是________． 38．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知抛物线 (a、b、c为常数， 且（）的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴交点坐标是且．有下列结论： ①； ②； ③ ； ④关于x的一元二次方程 必有两个不相等实根； ⑤若点， ，在抛物线上，且 当时，则n的取值范围为 其中正确的是________________．（只用填序号即可） 39．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线是常数，经过两点，且． 下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④若关于的不等式的解集为，则； ⑤点在抛物线上，若，总有，则． 其中正确的结论是______（填写序号）． 40．已知二次函数的图象经过，两点，其中，对称轴为．下列四个结论：；；点、在抛物线上，当时，；已知关于的方程有两个根，其中一个根是，若关于的方程有整数根，则其根为和；其中正确的结论是____(填写序号) 41．（2026·广东清远·一模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，． 其中包含所有正确结论的是（     ） A． B． C． D． 42．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 43．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 44．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，是坐标原点，已知二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；以上结论正确的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 45．（2026·山东青岛·三模）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有（     ） ①；②；③；④；⑤点、是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 46．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 47．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数（a，b，c为常数，）图象的顶点坐标是，且经过点，．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③；④对于任意实数t，总有．⑤当，时，y的最小值是1，则或6．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．（25-26九年级下·山东烟台·阶段检测）抛物线 的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：；；③当时，x 的取值范围是；④； ⑤若二次函数顶点为，则有，其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 49．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）抛物线（a，c为常数且）经过，，，，且，以下结论：①；②且；③方程一定有两个不等的实数根：④，其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③ 50．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，其与轴的一个交点为，与轴的交点在点，之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程的两根分别为，（），则．⑤抛物线上有，，当时则的取值范围是，其中，正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 51．（2026·山东济南·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，其顶点坐标为．有以下结论：；；若，则的取值范围为或；；若对任意实数恒成立，则的取值范围为． 其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 52．（2026·山东青岛·二模）已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数t，；④．其中，正确结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 53．（2026·河北邯郸·三模）如图，抛物线与x轴交于，交y轴负半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论∶①；②；③（m为任意实数）；④若点是第三象限内抛物线上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 54．（2026·湖北随州·一模）已知二次函数的图象如图所示，它与x轴交于点，点两点，其中，，与y轴交于点．下列结论：①；②；③当时，为直角三角形；④若方程的两个根是，，则．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 55．（2026·安徽铜陵·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴其中一个交点的坐标为，与轴的交点在与之间（不含端点）．下列结论中：①；②；③；④，正确的个数为（    ） A． B． C． D． 56．（25-26九年级下·山东烟台·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；若，则．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 57．（25-26九年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数，）经过点，当时，；当时，．下列结论：①；②；③函数的最小值为；④的值为1．其中，正确结论的个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 58．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数的图像的一部分如图所示，对称轴为，对于下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图像上，且，则； ④不等式的解集为． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）函数的图像与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的是（　　）． ①； ②（t为任意实数）； ③函数在和x＝﹣2处的函数值相等； ④函数的图像与的函数图像总有两个不同交点； ⑤函数在内既有最大值又有最小值． A．①②⑤ B．①②③ C．①③⑤ D．②③④⑤ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $