第一章 二次函数 专项训练——二次函数的最值 2026--2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数最值，通过题组训练系统构建“概念-性质-应用”逻辑链，提炼图像分析、参数分类等解题方法，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题|图像特征分析、对称轴距离比较法|从开口方向、对称轴到区间最值的性质应用| |填空|6题|顶点式求最值、实际问题转化法|从代数计算到几何意义的概念深化| |解答|4题|待定系数法、分类讨论参数|从解析式求解到综合应用的逻辑递进|

第一章二次函数专项训练 ——二次函数的最值 一、选择题 1．若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　） A．有最小值-5、最大值0 B．有最小值-3、最大值6 C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6 3．抛物线 经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 4．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 5．关于二次函数，下列说法正确的是(　　) A．函数图象的开口向下 B．二次函数的最小值为1 C．该函数的对称轴为 D．当时，随的增大而减小 6．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y2＝kx＋n(k≠0)的图象如图所示，下面有四个推断： ①二次函数y1有最大值 ②二次函数y1的图象关于直线对称 ③当时，二次函数y1的值大于0 ④过动点P(m，0)且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜-3或m＞-1． 其中正确的是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．抛物线 的一部分如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x =1，有下列结论： ①abc>0； ②2a+b=0； ③方程 c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2，0)；⑤若点A(m，n)在该抛物线上，则其中正确的有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．二次函数，当时，的最小值为　 　. 10．已知二次函数. (其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为 　 　. 11．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为，则汽车刹车后到停下来需要　 　秒． 12．如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是　 　米． 13．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是 则方程 =0是“邻根方程”.若关于x的方程 是“邻根方程”，令 则 t的最大值是　 　． 14．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）（），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． （1）m的值为　 　 ． （2）当时，则y的值为　 　 ． 三、解答题 15．如图，已知二次函数图象的顶点为，且过． （1）求这个二次函数的解析式； （2）观察图象，当时，的取值范围为_____(直接写出答案）． 16．如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米． （1）用含x的代数式表示和的长． （2）求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值． 17．已知抛物线（a为常数，且a≠0）. （1）求该抛物线的对称轴. （2）若a>0，当时，函数有最大值-1. ①求a的值. ②设点（s，t）在该函数图象上，且位于直线y=x+b（b为常数）的下方，若t的最大值与最小值的差为m，且m>6，求b的取值范围. 18．已知二次函数的图象经过点． （1）求该图象的对称轴． （2）若该函数的最大值为，求该函数的表达式． （3）已知，为该函数图象上两点，当且时，满足，求a的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意，函数的图象经过点和， ． ． 函数为． 当时，当时，最大值为1；当时，取最小值为． 函数的最大值与最小值之和是：． 故答案为：B． 【分析】先利用抛物线上点的坐标特征可得关于b、c的二元一次方程组并求解可确定函数解析式为，由于二次函数的二次项系数为负，则距离对称轴越远则对应的函数值越小，从而可分别求出在范围内函数的最大值和最小值，再对结果求和即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：由二次函数的图象可知， ∵-5≤x≤0， ∴当x=﹣2时函数有最大值，y最大=6； 当x=-5时函数值最小，y最小=-3． 故选：B． 【分析】根据图象信息进行判断即可求出答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：由抛物线方程：y = 2(x - 1)2 + c 可知，其为顶点式，顶点坐标为 (1， c)，因此对称轴为直线 x = 1； 点 (-2， y1)：横坐标为 -2，到 x = 1 的距离为 | -2 - 1 | = 3 点 (0， y2)：横坐标为 0，到 x = 1 的距离为 | 0 - 1 | = 1 点 (， y3)：横坐标为 = 2.5，到 x = 1 的距离为 | 2.5 - 1 | = 1.5 因此，距离从大到小为：3 > 1.5 > 1，对应点依次为：(-2， y1)、(， y3)、(0， y2) 符合该大小关系的选项是 D：y1 > y3 > y2 故选：D. 【分析】根据三个点的横坐标分别计算出它们到对称轴的距离，根据开口向上，距离越远值越大． 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵点和点在二次函数的图象上， ∴y1=（0-1）2=1，y2=（6-1）2=25， ∵1＜25， ． 故答案为：C． 【分析】本题利用待定系数法将点和点代入二次函数中，计算得出y1和y2，然后比较大小即可。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：A：函数图象的开口向上，原说法错误； B：二次函数的最小值为5，原说法错误； C：该函数的对称轴为，说法正确； D：当时，随的增大而增大，原说法错误 故答案为：C. 【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k得性质逐项判断即可. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：①∵二次函数的图象的开口向上， ∴二次函数有最小值，故①错误； ②由函数图象可知，二次函数的图象关于直线对称，故②正确； ③由函数图象可知，当时，二次函数的值小于0，故③错误； ④由函数图象可知，当或时，二次函数的图象在一次函数图象上方， ∴的取值范围是或，故④正确； 故答案为：D． 【分析】根据二次函数图象开口方向可判断①错误；根据二次函数图象可判断②③正确；根据二次函数与一次函数图象的交点可判断④正确. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴 ∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴， 故①错误； ∵抛物线的对称轴 故②正确； ∵抛物线与x轴交于两个点， ∴方程 有两个不相等的实数根，故③正确； ④设抛物线与x轴的另个交点为( ∵抛物线与x轴一个交点为(4，0)，且对称轴为x=1， 解得 ∴抛物线与x轴的另一个交点为((-2，0)，故④正确； ∵抛物线的对称轴为x=1， ∴该二次函数在：x=1处取得最大值， 故⑤正确， ∴正确的有4个， 故选B. 【分析】抛物线开口向下，对称轴 与y轴的正半轴相交.抛物线与x轴有两个交点，其对应一元二次方程有两个不相等的实数根. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， 又∵当时． ∴ ∵， 抛物线与轴的交点位于最高位置， ∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下， 故答案为：A ． 【分析】先把抛物线y1、y2的一般式配方整理为顶点式，再结合“当x≥1时y1≤2”的条件，推导出a＜0，c-a=2，再结合y2图象与y轴的交点在最高位置”的条件，确定抛物线y2的开口方向和顶点位置，即可得到正确结论. 9．【答案】-6 【解析】【解答】解：二次函数中，对称轴，如图， 由图象可知，当时，取最小值时，， 即， 故答案为：-6. 【分析】画出函数的简易图象，找出1≤x≤5时，图象最低点的函数值即可得出答案. 10．【答案】1 【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)， ∴对称轴是直线 ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a>0， ∵-2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x=1时， y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a-6=0， ∴a=1，或a=-2(不合题意舍去). 故答案为：1. 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴当时，汽车刹车后到停下来， 故答案为：． 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案. 12．【答案】4 【解析】【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线， ∴水喷出后，离地面的最大高度是的顶点坐标的纵坐标， ∴， ∴顶点坐标为：， ∴水喷出后，离地面的最大高度是4米， 故答案为：4． 【分析】将解析式转换为顶点式即可求出答案. 13．【答案】9 【解析】【解答】解：设、是方程的两根， 解得，， ∵原方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9． 故答案为：9． 【分析】根据“邻根方程”的定义可得，代入，得到t关于a的二次函数，配方得到顶点式求出最大值解答． 14．【答案】13；85 【解析】【解答】解：如图，作． 当时，动点Q运动到点H的位置，即函数图象上的E点 则由题意和图象可知． 当点Q运动到点G的时候，最小． 即， ∴． 在中， 由勾股定理，得：． 解得（舍去）或． 故答案为：13． （2）由（1）可得． 设． 将代入上式，得：． 解得． ∴． 当时， ． 故答案为：85． 【分析】本题需要将图1中Q点的运动情况跟图2的函数图象联系起来，根据函数图象上已知的点来解答， （1）作，当时，动点Q运动到点H的位置，对应函数图象上的E点，根据图象可知，当点Q运动到点G的时候，对应函数图象上的D点，此时=81，而，由勾股定理可求出m的值； （2）根据（1）可得顶点坐标，根据顶点式设出函数表达式，设，在函数图象上，将其代入可得，从而可得到函数表达式，再将代入可得y值． 15．【答案】（1）解：∵二次函数图象的顶点为，设二次函数的解析式为 ∵过点， ∴ 解得：， ∴二次函数的解析式为： （2）或 【解析】【解答】 解：（2）当时，， 解得：或 当时， 解得：或 观察函数图象可得当时，的取值范围为或， 故答案为：或． 【分析】 （1）根据顶点坐标为设二次函数的解析式为，将代入计算即可求解； （2）先求得时与时的函数值，结合函数图象写出的取值范围 ，即可求解． （1）解：∵二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为 ∵过点， ∴ 解得：， ∴二次函数的解析式为： （2）解：当时，， 解得：或 当时， 解得：或 观察函数图象可得当时，的取值范围为或， 故答案为：或． 16．【答案】（1）解：由题意得：，∴； （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【解析】【分析】本题主要考查几何图形中的代数式表示、二次函数的实际应用（面积最值问题）； （1）由题意可得，然后利用篱笆总长和靠墙边的长度，建立矩形边长的代数式； （2）由（1）可得，通过配方法或顶点公式求最大值． （1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由（1）可得： ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 17．【答案】（1）解：抛物线（a为常数，且）的对称轴为直线； （2）解：①由（1）知，抛物线对称轴为直线， ∵，当时，函数有最大值． ∴，且， ∴当时，函数有最大值． 代入解析式，得， 解得 ②由①知， ， ∴抛物线为， ∵点在该函数图象上，且位于直线（b为常数）的下方， ∴， ∵， ∴当时，t有最小值， ∵t的最大值与最小值的差为m， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴或， ∴，， 或，， 故b的取值范围为． 【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式解答即可； （2）①抛物线对称轴为直线，根据题意得到当时，函数有最大值，代入解析式求出a的值即可； ②由点在该函数图象上，即可得到，进而得到t的最小值为，由t的最大值与最小值的差为6，得， 得，求出s的取值范围，进而得到b的取值范围即可． 18．【答案】（1）解：代入点到， 得， 整理得：， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴该图象的对称轴为直线； （2）解：由（1）得，， ∴二次函数的表达式为， ∵二次函数有最大值， ∴， ∴当时，二次函数取得最大值， ∵该函数的最大值为， ∴， 解得（舍去），， ∴二次函数的表达式为； （3）解：∵，为该函数图象上两点，且点和点纵坐标相同， ∴点和点关于对称轴对称， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当时，满足， ①若，则在范围内随的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴， 解得， ∴； ②若，则在范围内随的增大而减小， ∴当时，有最大值， ∴， 解得， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 【解析】【分析】（1）代入点到，整理得到，再根据二次函数的对称轴公式即可求解； （2）把b=-2a代入y=ax2+bx+1后再将解析式配成顶点式，结合函数有最大值可知a＜0，且当x=1时，二次函数取得最大值1-a，结合已知条件列出关于a的方程，求出符合题意的a的值即可； （3）由于M、N两点的纵坐标相同，根据二次函数的对称性可得，则，结合求得，则有当时，恒成立；再分a＞0和a＜0两种情况，分别根据抛物线的增减性求出在范围内的最大值，进而列出关于a的不等式，即可得出答案． （1）解：代入点到，得， 整理得：， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴该图象的对称轴为直线； （2）解：由（1）得，， ∴二次函数的表达式为， ∵二次函数有最大值， ∴， ∴当时，二次函数取得最大值， ∵该函数的最大值为， ∴， 解得（舍去），， ∴二次函数的表达式为； （3）解：∵，为该函数图象上两点，且点和点纵坐标相同， ∴点和点关于对称轴对称， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当时，满足， ①若，则在范围内随的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴， 解得， ∴； ②若，则在范围内随的增大而减小， ∴当时，有最大值， ∴， 解得， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $