15.3.2 等边三角形第一课时 学历案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学学历案第1课时聚焦等边三角形的性质与判定，以等腰三角形知识为基础，通过类比迁移、问题链驱动和合作探究，引导学生归纳性质、推导判定方法，构建特殊与一般的几何模型。 资料亮点在于融合几何直观与逻辑推理，情境导入从世博轴等图片抽象图形，自主探究中通过证明推导内角性质，三重判定辨析突出“等腰+60°”条件，典例双解法建模培养灵活解题能力，教师引导与学生主体结合，提升数学思维与表达。

第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 两课时学历案 教材：人教 2024 版八年级上册 P82-P83 课时：2 课时（40 分钟 / 课时） 课型：新授课 第 1 课时 等边三角形的性质与判定 一、学情分析 学生已掌握等腰三角形的性质、判定、三线合一、几何规范推理。等边三角形是特殊的等腰三角形，学生具备类比迁移基础。 本节课重难点痛点： 1. 混淆判定三定理的使用条件； 2. 忽略 “有一个 60° 的等腰三角形” 中「等腰」前置条件； 3. 不会根据题型灵活选择最优判定方法。 二、学习目标 1. 几何直观：通过类比、折叠、观察，归纳等边三角形边角特征与对称性质。 2. 逻辑推理：经历猜想 — 证明过程，熟练掌握等边三角形性质、三种判定方法。 3. 模型建构：建立 “等腰→等边” 特殊与一般的几何模型体系。 4. 规范表达：熟练书写等边三角形几何推理语言。 三、学习重难点 重点：等边三角形的性质、三种判定定理 难点：辨析 “有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形” 的限定条件；灵活选用判定定理解题 四、教学方法 类比迁移、问题链驱动、合作探究、思辨辨析、分层落实 五、课前预学 1. 回顾等腰三角形的性质与判定； 2. 思考：三边都相等的三角形，它的内角、对称性会有什么特殊性？ 六、课中探究 环节一：情境导入・类比生疑（3分钟） 下图分别是上海世博会永久性标志建筑之一世博轴、指示牌、跳棋等，感受等边三角形． 　　　　　　 学生能从图片中抽象出等边三角形，进而产生求知欲：等边三角形有什么特点呢？ 师：等腰三角形是两边相等的特殊三角形，若三边全部相等，图形将达到最均衡、最稳定的对称状态，这就是 —— 等边三角形。 今天我们用类比等腰三角形的方法，探究等边三角形的性质与判定。 环节二：类比探究・生成性质（6分钟） 学生自主探究 + 小组总结 基于等腰三角形性质，迁移推导等边三角形独有性质： 如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC. 提出问题： (1)你能证明∠A＝∠B＝∠C＝60°吗？ (2)如何证明？这样证明的依据是什么？ (3)等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴，对称轴是什么？ (4)你能归纳出等边三角形具有哪些性质吗？ 学生完成并交流展示． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC，求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等边对等角) 同理，∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A=∠B=∠C=60°. 类比等腰三角形的推理过程，得出等边三角形有3条对称轴，每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. 等边三角形三大性质 1. 边：三边全部相等； 2. 角：三个内角相等，均为60°； 3. 对称性：轴对称图形，三条对称轴，每条边上均满足 “三线合一”。 规范几何语言 ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60° 思辨亮点 师：普通等腰三角形只有一条对称轴，为何等边三角形有三条？ 生：等边三角形任意两边均可为腰，任意一角均可作为顶角，三边均满足三线合一。 环节三：深度探究・三重判定（15分钟） 师：我们从边、角、边角结合三个维度，完整推导等边三角形判定体系。 判定一：定义法（边） 三边相等的三角形是等边三角形 适用：已知边长关系 判定二：纯角判定（角） 三个角都相等的三角形是等边三角形 推导：三角形内角和 180°，三角相等⇒每角 60° 在△ABC中，∠A=∠B=∠C. ∵∠A=∠B， ∴AC=BC. 同理AB=AC， ∴AB=AC=BC， 即△ABC时等边三角形. 得出结论：三个角都相等的三角形是等边三角形. 判定三：边角结合（重难点・核心辨析） 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 ①等腰三角形的顶角等于60°. 已知：△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=60°， ∴∠B+∠C=120°， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形. ②等腰三角形的底角等于60°. 已知：△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=60°，求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°, 又∠B=∠C=60°， ∴∠A=60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形. 总结：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 高阶思辨辨析 1. 任意一个含 60°的三角形是等边三角形？（×） 反例：30°、60°、90°直角三角形 2. 必须同时满足两个条件：①等腰三角形 ②一个内角 60° 分类证明思路（师生共析） 若等腰△顶角为 60°⇒两底角 60°⇒三角均 60° 若等腰△底角为 60°⇒顶角 60°⇒三角均 60° 环节四：典例精讲・模型应用（10分钟） 课本例 4： 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形． 证明：方法一： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C. ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∴∠A＝∠ADE＝∠AED. ∴△ADE是等边三角形． 方法二： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C=60°. ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∴∠ADE＝∠AED ∴AD=AE ∵∠A＝60° ∴△ADE是等边三角形． 双解法建模（一题多解） 方法一：平行导角→三角均 60°（判定二） 方法二：平行得等腰 + 一个角 60°（判定三） 师生规范板书证明格式，总结： 平行 + 等边 = 小等边三角形 经典模型 环节五：当堂分层检测（4分钟） 1.下列三角形，不一定是等边三角形的是（ C ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．边上的高也是这边的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 2.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中，是等边三角形的有 ( D ) 　A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 3.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE的度数为 ( A ) 　A．15° B．30° C．45° D．60° 4.如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝　30°　. 七、课堂小结（2分钟） 1. 一个思想：一般到特殊（等腰→等边） 2. 三条性质：等边、等角、三对称轴 3. 三种判定：看边、看角、等腰 + 60° 4. 一个模型：平行截等边，得新等边 八、分层作业 基础：熟记性质判定、课本练习 提升：习题 15.3 第 6、8 题 九、板书设计 15.3.2 等边三角形（一） 1. 性质：三边相等、三角 60°、三条对称轴、三边三线合一 2. 判定：①三边相等 ②三角相等 ③等腰 + 60°角 3. 模型：平行截等边→等边 学科网（北京）股份有限公司 $