15.3.1 等腰三角形第二课时 学历案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学学历案聚焦等腰三角形判定定理“等角对等边”的学习，通过逆向设问导入、猜想证明生成定理、互逆模型对比、典例探究建模、尺规作图实操及分层检测等支架，引导学生掌握判定方法并构建知识闭环。 资料亮点在于以逆向思维培养推理意识，通过学生自主添加辅助线证明定理，结合“平行+角平分线”经典模型提升几何直观，尺规作图环节依托轴对称原理强化空间观念，凸显学生主体探究与教师逻辑引导的结合。

第十五章 轴对称 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 学历案 教材：人教 2024 版八年级上册 P78-P81 课型：新授课 课时：2 课时 / 40 分钟 第 2 课时 等腰三角形的判定 一、学情分析 学生已掌握等腰三角形性质（边→角），本节课实现逆向思维（角→边），完成等腰三角形定义闭环。 逆向推理、逻辑互逆、几何作图是学生思维难点，也是本节课的核心。 二、学习目标 1. 逻辑推理：完成性质逆命题的猜想与证明，掌握等角对等边。 2. 辩证思维：辨析性质与判定的互逆逻辑，构建完整几何命题体系。 3. 几何作图：依托垂直平分线、三线合一模型，规范尺规作图。 4. 模型应用：熟练运用平行线 + 等角对等边经典几何模型。 三、重难点 重点：等角对等边判定定理及规范应用 难点：性质与判定的互逆逻辑辨析；几何综合推理 四、教学流程 环节一：逆向设问・思辨导入（3分钟） 师：我们已知 “等边必等角”，几何命题天然存在逆向思考 ——等角是否必等边？ 那么我们就以互逆命题思辨开启本节课探究，凸显数学逻辑严谨性。 环节二：猜想证明・定理生成（10分钟） 已知：△ABC 中，∠B=∠C 求证：AB=AC 要证明AB=AC，就要证明两个三角形全等。那么就需要先作辅助线，构造三角形，请同学们思考并回答应该怎么作辅助线呢？ 学生思考并回答：作∠A的平分线，作边BC上的高，作边BC上的中线.同学们选择一种辅助线的作法自行证明. 板书完整证明过程： 证明一：如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D， ∴∠BAD=∠CAD. ∵在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C， ∠1=∠2， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴ AB=AC. 证明二：如图，作AD垂直于BC，垂足为点D， ∴∠ADB=∠ADC. ∵在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴ AB=AC. 而作边BC上的中线不能证明. 师生共同归纳：通过论证，在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC是真命题，即得到等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 学生自主添加辅助线、自主证明、小组展示、师生共评。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 几何语言： ∵∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边） 环节三：互逆模型对比（5分钟） 闭环知识建模 性质：边相等 ⇒ 角相等（性质：由形得性） 判定：角相等 ⇒ 边相等（判定：由性定型） 总结：性质研究图形特征，判定判定图形形状，互逆成对、逻辑闭环。 环节四：典例探究・综合建模（8分钟） 课本例 2 平行线 + 角平分线→等腰三角形经典模型 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC. 求证：AB＝AC. 证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)． 又AD平分∠CAE， ∴∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC(等角对等边)． 规范板书推理链条，示范层层递进、步步有据。 环节五：尺规作图・素养实操（6分钟） 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形． 作法：如图. （1）作线段AB=a. （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D. （3）在MN上取一点C，使DC=h. （4）连接AC，BC.则△ABC就是所求作的等腰三角形. 标准四步流程 1. 定底：作线段 2. 定轴：作 AB 的垂直平分线 3. 定高：垂直平分线上截取高 4. 定型：连接端点，生成等腰三角形 原理升华：依托轴对称、三线合一、垂直平分线综合建模，实现作图有理、操作有据。 环节六：当堂检测・分层落实（6分钟） 1.如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中的等腰三角形有( ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 答案：B 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论． 解：△APQ是等腰三角形．证明如下： ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵PD⊥BC，∴∠BDP＝∠PDC＝90°. ∴∠P＋∠B＝90°，∠DQC＋∠C＝90°. ∵∠B＝∠C，∴∠P＝∠DQC. ∵∠DQC＝∠AQP，∴∠AQP＝∠P. ∴△APQ为等腰三角形． 五、课堂素养小结（2分钟） 1. 一个逆定理：等角对等边 2. 一组互逆逻辑：性质与判定闭环体系 3. 一个必考模型：平行 + 角平分线 = 等腰三角形 4. 一种几何思维：数形互推、正反论证 六、课后分层作业 基础巩固、能力拔高、素养拓展 七、板书设计 15.3.1 等腰三角形（判定） 1. 判定：等角对等边 2. 互逆闭环 性质：边→角 判定：角→边 3. 经典模型：平行 + 平分 = 等腰 4. 作图依据：轴对称 + 三线合一 学科网（北京）股份有限公司 $