15.3.1 等腰三角形第一课时 学历案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学学历案围绕等腰三角形性质展开，通过折叠操作感知轴对称特征，经历“猜想-验证-证明”过程掌握“等边对等角”和“三线合一”，借助模型建构与方程思想解决角度计算问题。 该资料以“对称视角”为主线，生活情境激趣和折叠实验培养几何直观，引导学生完整推理发展逻辑推理能力，“三线合一”深度辨析与分层作业设计，体现教师示范引导与学生自主探究结合，助力核心素养落地。

第十五章 轴对称 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 学历案 教材：人教 2024 版八年级上册 P78-P81 课型：新授课 课时：2 课时 / 40 分钟 第 1 课时 等腰三角形的性质 一、学情分析 学生已掌握轴对称性质、全等三角形判定，具备初步几何推理能力。八年级学生直观感知强、逻辑严谨弱、几何语言弱、模型迁移弱。 本节课是学生从 “实验几何” 向 “论证几何” 跨越的关键一课，三线合一是初中几何最核心、最经典的几何模型，是后续等边三角形、折叠问题、最短路径、几何综合题的基础。 二、学习目标 1. 几何直观：通过折叠操作，感知等腰三角形轴对称特征，自主归纳边角关系。 2. 逻辑推理：经历 “猜想 — 验证 — 证明” 完整过程，规范几何演绎推理。 3. 数学建模：建立等腰三角形 “等边对等角、三线合一” 经典几何模型。 4. 数学运算：学会利用方程思想解决多等腰嵌套角度计算问题。 三、学习重难点 重点：等腰三角形两大核心性质及几何规范表达 难点：深度理解 “三线合一” 的唯一性、整体性、限定性；几何推理严谨书写 四、教学方法 情境启发、操作探究、合作生成、模型建构、分层进阶 五、课前预学 1. 回顾轴对称图形的核心性质。 2. 自主折叠等腰三角形纸片，观察重合线段、重合角，初步感知边角关系。 六、课中探究 环节一：情境激趣（3分钟） 展示生活对称建筑、饰品、桥梁图形，提炼共性几何图形 ——等腰三角形。 师：对称是几何最美的秩序，等腰三角形是轴对称图形最典型的代表。今天我们从 “对称视角” 深度探究等腰三角形的独有性质。 环节二：操作探究（5分钟） 学生活动：折叠实验 如图，把一张长方形纸沿图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开铺平，得到的三角形是什么特殊三角形？它具有哪些性质？这就是本节课我们要研究的内容． 重合的角：∠B=∠C 1. 重合的线段：BD=CD 2. 重合的位置关系：AD⊥BC 学生自主生成两大猜想 猜想 1：等腰三角形两底角相等 猜想 2：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线重合 环节三：推理论证（16分钟） 探究 1：证明性质 1 等边对等角 如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C. 学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．通过前面的操作发现，△ABC的中线AD将三角形分成两个全等的三角形，考虑通过三角形的全等证明这些性质： 辅助线建模：构造对称轴（底边中线 / 顶角平分线 / 高线），依托全等实现角相等转化。 教师示范规范推理，学生自主书写、互评纠错。 证明：如图，作底边BC的中线AD，则BD=CD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC， BD=CD， AD=AD， ∴△BAD≌△CAD(SSS). ∴∠B=∠C.（性质1得证） 性质 1 规范结论 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 几何语言： ∵AB=AC ∴∠B=∠C（等边对等角） 探究 2：深度突破 三线合一 师追问：一条辅助线，为何能同时实现 “平分顶角、平分底边、垂直底边”？ 同学们进行讨论得出：由△BAD≌△CAD可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，∴AD⊥BC.也就是等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直于底边. 本质溯源：等腰三角形是轴对称图形，对称轴唯一，三线共轴。 完整模型三结论 在△ABC 中，AB=AC： 1. 顶角平分线 → 垂直底边、平分底边 2. 底边中线 → 平分顶角、垂直底边 3. 底边高线 → 平分顶角、平分底边 易错深度辨析 1. 三线合一仅限底边、顶角，腰不具备该性质； 2. 普通三角形无此模型，等腰是前提、对称是本质； 3. 三线合一不是三条性质，是同一个对称轴的三种表达。 规范几何语言（满分模板） ∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAD=∠CAD，BD=CD（等腰三角形三线合一） 环节四：典例精讲（10分钟） 课本例 1 多层等腰嵌套角度计算 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各内角的度数. 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°， ∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 师生共建解题模型： 多等腰图形角度解题通法 1. 设最小角为 2. 利用等边对等角、外角性质逐层代换 3. 内角和定理列方程求解 渗透方程思想、转化思想、模型思想，展示规范解题板书，示范满分格式。 环节五：当堂进阶检测（4分钟） 1．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　 ） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 答案：B 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是 (　　) A．AD⊥BC B．∠EBC＝∠ECB C．∠ABE＝∠ACE D．AE＝BE 答案：D 3.如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE. 证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P. ∵AB＝AC，∴BP＝PC. ∵AD＝AE，∴DP＝PE. ∴BP－DP＝PC－PE.∴BD＝CE. 七、课堂小结（2分钟） 1. 一个图形：轴对称视角下的等腰三角形 2. 两大性质：等边对等角、三线合一 3. 三种思想：转化思想、模型思想、方程思想 4. 核心本质：对称造就等量，秩序生成性质 八、课后分层作业 优佳学案基础巩固、能力提升、素养拓展三级分层 九、板书设计 15.3.1 等腰三角形（性质） 1. 等边对等角： 2. 三线合一（对称本质） 顶角平分线、底边中线、底边高 ⇔ 三线共轴 1. 解题模型：设元→代换→列方程 学科网（北京）股份有限公司 $