5.4 二次函数与一元二次方程课时1 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心知识点为二次函数图象与x轴交点个数和方程根的个数关系，以及方程ax²+bx+c=m的根与函数和直线y=m交点横坐标的关系。课堂导入通过竖直上抛小球实例，先建立函数关系式，再以落地时间问题连接代数与图像解法，搭建从实际到抽象的学习支架，衔接二次函数图象与方程根的知识。 其亮点是以数形结合为主线，通过小球运动实例和三个二次函数（如y=x²+2x等）图像与方程根的对比分析，发展学生几何直观和推理意识。小结用表格梳理判别式、交点情况与根的关系，结构化总结。帮助学生深化理解，教师可高效开展教学。

5.4 二次函数与一元二次 方程课时1 第五章 二次函数 九上数学北师 1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数和一元二次方程的根的个数之间的关系。 2.理解一元二次方程ax²+bx+c=m的根就是二次函数y=ax²+bx+c的图象与直线y=m的交点的横坐标，体验数形结合思想，发展几何直观。 学习目标 2 竖直上抛物体运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t²+v₀t+h₀表示，其中h₀(单位：m)是物体被抛出时的高度，v₀(单位：m/s)是物体被抛出时的速度。 课堂导入 3 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 问题 一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛出，小球运动的高度h 与运动的时间t之间的关系如图所示。 思考：你能从图象看出什么信息？ 新知讲解 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 问题 一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛出，小球运动的高度h 与运动的时间t之间的关系如图所示。 (1)写出h与t之间的关系式。 由题意，得h₀=0，v₀=40， 则h与t的关系式是h=-5t²+40t(0≤t≤8)。 竖直上抛物体运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t²+v₀t+h₀表示 新知讲解 问题 一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛出，小球运动的高度h 与运动的时间t之间的关系如图所示。 (2)小球经过多少秒落地?你有几种求解方法? 令h=0，则-5t²+40t=0， 解得t₁=0(舍去)，t₂=8。 故小球经过8s落地。 也可以利用图象解决，即从图象中可以 看出小球经过8s落地。 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 新知讲解 思考 二次函数y=x²+2x，y=x²-2x+1，y=x²-2x+2的图象如图所示。 (1)每个图象与x轴有几个交点? 抛物线y=x²+2x与x轴有两个交点， 抛物线y=x²-2x+1与x轴有一个交点， 抛物线y=x²-2x+2与x轴没有交点。 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 新知讲解 思考 二次函数y=x²+2x，y=x²-2x+1，y=x²-2x+2的图象如图所示。 (2)一元二次方程x²+2x=0，x²-2x+1=0，x²-2x+2=0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下。 ①x²+2x=0，即x(x+2)=0， ∴x₁=0，x₂=-2， ∴方程有两个不相等的实数根。 用根的判别式验证：Δ=b²-4ac=2²-4×1×0=4>0， ∴方程有两个不相等的实数根。 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 y=x²+2x 新知讲解 思考 二次函数y=x²+2x，y=x²-2x+1，y=x²-2x+2的图象如图所示。 (2)一元二次方程x²+2x=0，x²-2x+1=0，x²-2x+2=0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下。 ②x²-2x+1=0，即(x-1)²=0， ∴x₁=x₂=1， ∴方程有两个相等的实数根。 用根的判别式验证：Δ=b²-4ac=(-2)²-4×1×1=0， ∴方程有两个相等的实数根。 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 y=x²-2x+1 新知讲解 思考 二次函数y=x²+2x，y=x²-2x+1，y=x²-2x+2的图象如图所示。 (2)一元二次方程x²+2x=0，x²-2x+1=0，x²-2x+2=0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下。 ③x²-2x+2=0没有实数根。 用根的判别式验证：Δ=b²-4ac=(-2)²-4×1×2=-4<0， ∴方程没有实数根。 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 y=x²-2x+2 新知讲解 思考 二次函数y=x²+2x，y=x²-2x+1，y=x²-2x+2的图象如图所示。 (3)二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax²+bx+c=0 的根有什么关系? 若一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根， 则二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点； 若一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根， 则二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有一个交点； 若一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根， 则二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴没有交点。反之也成立。 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 新知讲解 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况： 有两个交点、有一个交点、没有交点。 与此相对应，一元二次方程ax²+bx+c=0的根也有三种情况： 有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根。 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 新知讲解 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点个数和一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况： b²-4ac的取值 b²-4ac>0 b²-4ac=0 b²-4ac<0 二 次 函 数 y=ax²+bx+c 的大致图象 a>0 a<0 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴 的交点情况   一元二次方程 ax²+bx+c= 0 的根的情况 有两个交点，分别为 (x₁，0)，(x₂，0) 只有一个交点， 为(-，0) 没有 交点 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 两个不相等的实数根： x₁、x ₂= 两个相等的实数根x₁=x₂= - 没有 实数根 新知讲解 已知二次函数y=-x²+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x²+2x+m=0的解为 。 例1 x₁=-1，x₂=3 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 新知讲解 在本节一开始的上抛小球问题中，何时小球的高度是60m?你是如何知 道的? 可以利用图象，也可以解方程-5t²+40t=60。 当2s和6s时，小球离地面的高度是60m。 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 h=-5t²+40t 新知讲解 二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，当二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的y取某一定值m时，求自变量x的值，可以解一元二次方程ax²+bx+c=m。 反过来，解方程ax²+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的值为m，求自变量x的值。 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 新知讲解 1.抛物线y＝－3x²－x＋4与坐标轴的交点个数是(　 　) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 A 随堂练习 2.已知方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1=−1，x2=3，那么可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为 。 (-1，0)，(3，0) 随堂练习 3.已知m>n>0，若关于x的方程x²+2x-3-m=0的解为x₁，x₂(x₁<x₂)，关于x的方程 x²+2x-3-n=0的解为x₃，x₄(x₃<x₄)，则下列结论正确的是( ) A.x₃<x₁<x₂<x₄ B.x₁<x₃<x₄<x₂ C.x₁<x₂<x₃<x₄ D.x₃<x₄<x₁<x₂ B 随堂练习 4.一个小球被从地面向上弹出，它的高度h(单位：m)可以用公式h=-4.9t²+19.6t来表示，其中t(单位：s)表示小球被弹出后经过的时间。 (1)画出函数h=-4.9t²+19.6t的图象。 (2)小球被弹出后1s时的高度是多少?2s时呢? 解：(1)①列表： ②描点、连线，图象如图所示。 (2)当t=1时，h=14.7；当t=2时，h=19.6。 t 0 1 2 3 4 h 0 14.7 19.6 14.7 0 随堂练习 4.一个小球被从地面向上弹出，它的高度h(单位：m)可以用公式h=-4.9t²+19.6t来表示，其中t(单位：s)表示小球被弹出后经过的时间。 (3)方程-4.9t²+19.6t=0和方程-4.9t²+19.6t=14.7的根的实际意 义分别是什么?请结合图象说明。 解：(3)方程-4.9t²+19.6t=0的根表示小球离开地面或落地的 时间； 方程-4.9t²+19.6t=14.7的根表示小球被弹出后距地面的高度 是14.7m时所经过的时间。 随堂练习 5.已知二次函数y＝2x2－mx－m2。 (1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； . . 解：(1)证明：2x2－mx－m2＝0，Δ＝(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2。 ∵ m2≥0， ∴ 9m2≥0， ∴ 对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点。 随堂练习 5.已知二次函数y＝2x2－mx－m2。 (2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标。 . . 解：(2)解：把(1，0)代入二次函数表达式，得2－m－m2＝0， ∴ 解得 m1＝－2，m2＝1。 当m＝－2时，二次函数表达式为y＝2x2＋2x－4， 令y＝0，得2x2＋2x－4＝0，解得x＝1或x＝－2， ∴ 二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1，0)，(－2，0)。 又∵ A点坐标为(1，0)， ∴ B(－2，0)。 当m＝1时，同理可得B(－，0)。 随堂练习 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根 二次函数与一元二次方程 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与x轴 的交点情况 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 有两个交点 有两个不相等的实数根 一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根的情况 b²-4ac>0 b²-4ac=0 b²-4ac<0 课堂小结 $