1.1 探索勾股定理教学设计 2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理的探索、验证及应用，第1课时以电线杆钢索问题导入，引发对直角三角形三边关系的思考，第2课时复习定理内容过渡到验证方法，构建从发现到验证的学习支架。 特色在于通过测量、数格子、拼图（外镶法、内嵌法）等动手活动，发展几何直观和推理意识，结合军事演习、楼梯铺地毯等实际问题培养应用意识，帮助学生体会数形结合，提升教师教学可操作性与学生学习兴趣。

1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 教学设计 课题 第1课时 探索勾股定理 授课人 教学目标 1.经历用测量法和数格子的方法探索勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想. 2.会解决已知直角三角形的两边求另一边的问题. 3.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力. 4.通过让学生参加探索与创造，获得参加数学活动成功的经验. 教学重点 勾股定理的探索及应用. 教学难点 勾股定理的探索过程. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 如图,从电线杆离地面 8m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m ,那么需要多长的钢索? 在直角三角形中，任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系. 事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧! 发展学生的数学抽象和几何直观，让学生在回忆旧知的过程中，引发认知处突，激起学生的学趣，使学生快速进入学习状态。 探究新知 1.认识勾股定理 探究1 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系.与同伴进行交流. 32＋42＝25＝52 32＋32＝18＝3 三边长的平方之间的关系：两个直角边的平方和等与斜边的平方. 探究2 如图，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？ (1)观察图1－1 正方形 A 中含有 9 个小方格，即 A 的面积是 9 个单位面积. 正方形 B 的面积是 9 个单位面积. ☀思考：如何求 C 的面积？ 分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C＝4××3×3＝18（单位面积） （2）在图 1－2 中，正方形 A，B，C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ 4,4,8 （3）你能发现两图中三个正方形 A，B，C 的面积之间有什么关系吗？ 9,9,18； 4,4,8 面积关系：SA＋SB＝SC （4）如图，图中的直角三角形是否也具有这样的关系？ 具备 （5）如果直角三角形的两直角边长分别为 1.6 个单位长度和2.4 个单位长度，那么上面所猜想的数量关系还成立吗?说说你的理由。 ☀思考：观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 结论1：SA＋SB＝SC 猜想：两直角边a、b与斜边c之间的关系？ 结论2：a2＋b2＝c2 教师归纳 通过上面的活动，同学们一定发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2． 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理. 思考 想一想新课引入中的问题，需要多长的钢索？ 解：如图所示， 在 Rt△ABC 中，AB＝8m，BC＝6m， 根据勾股定理，得： AC ＝＝＝10(m) 答：需要 10m 长的钢索. 2.利用勾股定理求图形面积 （链接例1） 3.利用勾股定理求直角三角形边长 （链接例2、例3） 通过动手实践，拼出或剪出相应的图形，使学生加深对图形的认识。让学生感受体会剪就是割程，拼就是补的过程，学生通过活动亲身体验图形的割补思想，思考构图的过程，培养几何直观，|活动经验，为勾股定理的推演埋下伏笔。 典例精析 【例1】求下图中字母所代表的正方形的面积.其中S1＝4,S3＝15。 【解】(1) A 的边长为直角三角形的斜边， 则 A 的边长的平方等于两直角边边长的平方和，两条直角边的平方分别为：36 和 64 , A 的面积 36＋64＝100； (2)由直角三角形可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边边长的平方和， ∴S3＝S1＋S2, 则S2＝S3－S1＝11。 【方法总结】以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S1+S2=S3(S3是以斜边为基础向外作的图形的面积，S1和S2分别是以直角边基础向外所作图形的面积。 【例2】已知 ∠ACB＝90°,CD⊥AB,AC＝3,BC＝4.求 CD 的长. 【解】由勾股定理可得， AB2＝AC2＋BC2＝25， 即 AB＝5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC ＝AB×CD. ∴ CD ＝。 【例3】 在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且AD＝12，求△ABC 的周长． 【解】当高 AD 在△ABC 内部时，如图①. 在Rt△ABD 中，由勾股定理， 得 BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴ BD＝16； 在Rt△ACD 中，由勾股定理， 得 CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴ CD＝9.∴ BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC 的周长为 25＋20＋15＝60. 当高 AD 在△ABC 外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC 的周长为 7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC 的周长为 42 或 60. 【方法总结】题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形． 通过问题检测学生对勾股定理的了解情况，以及培养学生正确严谨规范的数学书写表达，拓展思路，让学生体会勾股定理可以用来计算线段长度，为后边的相关知识的学习做铺垫。 随堂检测 1.在Rt△ABC 中，AB＝3,BC＝4 ,则 AC²的值为（ D ） A.25 B.7 C.25或5 D.25或7 2.在Rt△ABC中，∠C＝90^∘，若AB−AC＝2，BC＝8，则AB的 长是__17__. 3.如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，正方形A，B，C，D的边长分别是 3，4，1，2，则最大正方形 E 的面积为_30___. 4.如图，求等腰三角形ABC的面积. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D . 因为AC＝BC，CD⊥AB， 所以AD＝AB＝3 cm ， 所以 CD2＝AC2−AD2＝16 ， 所以 CD＝4 cm ， 所以 S△ABC＝AB⋅CD＝×6×4＝12(cm2) ． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 请同学们带着以下问题对本节课进行总结： 第一个问题是勾股定理揭示了直角三角形三边长怎样的相等关系?我们这节课研究勾股定理的思路又是什么呢? 直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方和， 思路是通过面积关系找出直角三角形三边的关系。 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第1课时 探索勾股定理 勾股定理 习题解析 勾股图形 教学反思 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 教学设计 课题 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 授课人 教学目标 1.掌握勾股定理，理解和利用拼图验证勾股定理的方法。 2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题。 3.通过拼图法验证勾股定理，使学生经历观察、猜想、验证的过程，进一步体会数形结合的思想。 4.培养学生大胆探索，不怕失败的精神。 教学重点 经历勾股定理的验证过程，能利用勾股定理解决实际问题。 教学难点 用拼图法验证勾股定理。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 勾股定理的内容是什么？ 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果用a，b和c分别表示直角三角形两条直角边和斜边的长，则有：a2+b2=c2。 几何语言： 在Rt△ACB中，由勾股定理得： a2+b2=c2 据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？ 回顾旧知，引入新知，为本节课的内容做铺垫。 探究新知 1.验证勾股定理 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。在图1中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的? 探究 为了计算图1中大正方形的面积，小明对图1中的大正方形进行适当割补后，得到图2，图3。 （1)请将图2、图3中所有三角形和正方形的面积用a,b,c的式子表示出来； （2)图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流。 （3)你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？ ➹用“外镶法”拼图→等积法 ➹用“内嵌法”拼图→等积法 思考 拼一拼： 用四个全等的边长为a、b、c的直角三角形进行拼图，要求所拼图形能够用等积法验证勾股定理。 教师归纳 “勾股定理”的验证方法： 1、数形结合法： (1)拼正方形图： 运用正方形面积表达式进行证明； (2)拼梯形图： 运用梯形面积表达式进行证明。 2.勾股定理的简单应用 （链接例1） 针对练习 湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为( A ) 思考 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗?以下图为例，说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。 所以，如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长不满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”。 启发学生利用割补法计算几何图形的面积，强化学生观察、归纳的能力，进一步渗透数形结合的思想。从探究一到探究二，让学生体会从特殊到一般的认知规律。 典例精析 【例（教材P5例题）】 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10s,测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗? 【解】根据题意，可以画出左图,其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400 m,因此∠C是直角。 由勾股定理，可得 AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以，BC=300。 蓝方汽车10s行驶了300m,那么它1s行驶的距离为300÷10=30（m） 即蓝方汽车这10s的平均速度为 30 m/s。 巩固对本节知识的理解。 随堂检测 1.如图，要在高BC为3m，斜坡长AB为5m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( D ) A.4m B.5m C.6m D.7m 第1题 第2题 2.如图，一棵高为8m的大树被台风刮断，若大树在离地面3m的点C处折断，则树顶端落在离树底部( A ) A. 4m处 B. 5m处 C. 6m处 D. 7m处 3.如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25∘的方向航行 8n mile ，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65∘的方向航行15n mile ，这时两轮船相距__17__n mile。 第3题 第4题 4.如图，已知一棵大树AC高10米，另一棵小树BD高4米，两树相距8米，小颖利用无人机在树梢A处拍照，若想要控制无人机飞行到另一棵树梢B处拍照，至少需飞行_10_米。 5.如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5m，棚宽a=12m ，棚的长d=12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 解：因为h=5m，a=12m， 所以c2=h2+a2=169， 即c=13 m， 所以需要塑料薄膜为13×12=156 (m2)。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 谈谈你对本节课的收获。 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 习题解析 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $