1.2 一定是直角三角形吗【教学设计】 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理逆定理，通过复习勾股定理引入，引导学生从边的数量关系判断直角三角形，搭建“性质到判定”的知识支架，衔接前后学习内容。 以“画、量、算”探究活动为主线，学生动手验证三边关系，发展几何直观与推理意识，结合零件判断、网格问题等实例培养模型意识，助力学生提升问题解决能力，为教师提供分层教学资源与清晰流程。

课题 一定是直角三角形吗 课时 3 课标要求 这一课主要围绕勾股定理的逆定理展开，即如果一个三角形的三边长 a, b, c 满足 a² + b² = c ² , 那么这个三角形是直角三角形。其课标要求是： 一、知识技能目标： 理解并掌握勾股定理的逆定理： 学生需要知道并理解，当三角形三边满足 a² + b² = c²时，这个三角形一定是直角三角形，且 c 边所对的角是直角。运用逆定理判断直角三角形： 能够根据给定的三角形三边长度，通过计算判断该三角形是否为直角三角形。 二、数学素养目标： 经历探索和验证逆定理的过程： 可能通过测量、计算、拼图（如勾股弦图）等方式，体验发现和验证数学定理的过程。体会从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想： 先有直角三角形满足勾股定理，再反过来思考满足勾股定理条件的三角形是否一定是直角三角形。 发展合情推理和演绎推理能力： 在探索过程中进行猜想和归纳（合情推理），在验证和应用时进行逻辑证明（演绎推理）。 三、问题解决目标： 能够运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题： 例如，判断给定的三根木棒能否构成直角三角形，或者在简单的几何图形中判断某个角是否为直角。尝试从不同角度寻求解决问题的方法：可能结合图形性质或测量等多种方式来判断。 四、情感态度与价值观目标： 在探索过程中获得成功的体验： 通过自己动手验证定理，感受数学发现的乐趣。 感受数学的严谨性和数学结论的确定性： 理解数学结论需要严格的逻辑证明。 培养对数学的好奇心和求知欲： 激发进一步探索几何性质的兴趣。 其核心是让学生掌握并会运用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否为直角三角形，同时在这个过程中发展数学思维和解决问题的能力。 教材分析 本节课是学习勾股定理后继续学习如何判断一个三角形是直角三角形，是进一步理解直角三角形的需要。通过勾股定理及其逆定理的学习，加深学生对性质与判断之间的辩证统一之间的关系，是对所学知识的继续和深化，也是为后续学习奠定基础，在以后的问题解决中运用非常广泛。同时渗透利用代数计算解决几何证明问题的思想，这是初中几何学习的重要内容之一。 学情分析 学生已经学习了勾股定理，并在以前学习的内容中已经积累了逆向思维的经验，本节课从勾股定理出发逆向思考获得勾股定理的逆定理，学生应该具备了这样的研究意识，但在具体研究过程中可能用到反证思想，对现阶段的学生来说可能有一定的困难，所以在教学活动中教师应注意适时的引导。 核心 素养 目标 1．掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。 3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。 教学 重点 探索并掌握直角三角形的判定条件。 教学 难点 运用直角三角形的判定条件解决实际问题。 教学 准备 相应的课件与预习单 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 复习提问，温故孕新 1 、勾股定理： 如果直角三角形两直角边分别为 a ，b ，斜边为 c ，那么a 2 + b 2 = c 2 , 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2 、求以线段 a,b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长: (1)a=3, b=4; (2) a=8, b=6; (3)a=5, b= 12. 1 、 回顾勾股定理的定义。 2、独立完成第 2题。 通 过 复 习唤 醒记忆，为新授奠基 二、引新 提出问题，引入课题， 如何判断一个三角形是否是直角三角形？ 1 、根据角来判断，2 根据边来判断 思考判断一个三角形是否是直角三角形的方法 三、探究 合作探究，活动领悟 探究一：从边上判定一个三角形是直角三角形的条件 1 、画一画：画一个三角形,使其三边长分别为: a ，b， c. 3cm, 4cm, 5cm； 5cm, 12cm, 13cm； 7cm, 24cm, 25cm； 9cm,40cm,41cm 8cm, 15cm, 17cm. 2 、量一量：用量角器量每个三角形中最大的角， 判断它们是否是直角三角形？ 3 、算一算：这三组数都满足 a 2 + b 2 = c 2 吗？ 1.学生通过画、量、算活动，总结三角形的三边 符 合a2+b2=c2，这样的 三角形是直角三角形。 2、探究勾股数的特点。 3、小结勾股定 通过学生参与探 究全程，掌握从 三边的长短来判 断是否直角三角 形，掌握勾股数 的特点和满足条 件，进而引导学 生勾股定理的逆 定理 。并比较勾 股定理和勾股定 归 纳 总 结 ： 如 果 三 角形 的 三 边 长 a ， b ， c 满 足a 2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是 直角 三角形。 探究二：勾股数有哪些特点？ 1. 学生自学课本第 10 页思考与交流。 2. 3 、4 、5 是一组勾股数，那么 6 、8 、10 是一组勾股数吗？0.6 、0.8 、1 呢？ 3. 归纳小结：勾股定理逆定理： 如果 a,b,c 为一组勾股数，则 an,bn,cn 也是一组勾股数， n 是自然数。 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a,b,c。 ①5, 12, 13；②7,24,25；③8, 15, 17；④3,4,5 ⑤6,8 ，10；⑥10,24,26；⑦0.8, 1.5 ，1.7； ⑧1.5,2,2.5 ；⑨12 ，18,22.⑩ 3^2 ，4^2 ，5^2 ⑪ 3n,4n,5n(n 为正整数) （1）哪组边能组成直角三角形？ （除(9) 、(10)外。其他全部可以组成直角三角形） （2）勾股数有哪些？（(能组成直角三角形的三边长度均为正整数）） （3）你从这些直角三角形中能发现什么？ （(两条较短边的平方和等于长边的平方）课堂小结； 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a 、b,斜边为 c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a ，b ，c ，满足a 2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 理的逆定理 理逆定理的联系和区别 四、例题 课本第 9 页例题 一个零件 的行踪 如 图 1-14 所示 ， 按规定这个零件∠A, ∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件的尺 自学课本第 9 页例题 引导学生利用数形结合、勾股定理来判断是否直 寸如图 1-15 所示，这个零件是否符合要求？ 解：在△ABD 中， AD2 + AB 2 = 14 + 9 = 25 BD2 = 25 ∵ AD2 + AB 2 = BD2 ∴∠A 是直角 在△BDC 中， BC 2 + BD2 = 144 + 25 = 169 DC 2 = 169 ∵ DC 2 + BD2 = DC 2 ∴∠DBC 是直角 角 。提高学生运用知识解决实际问题的能力。 五、尝试 基础达标 1.如果线段 a, b, c 能组成直角三角形, 则它们的比可能是 ( B ) 3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5. 2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是 ( A ) 是直角三角形; B. 可能是锐角三角形; C. 可能是钝角三角形; D. 不可能是直角三角形 3. 已知∆ABC 中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为 直角 三角形, ∠A 是最大角. 4. 以∆ABC 的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是 25, 144 , 169, 则这个三角形是 直角 学生完成课堂 练习对于拓展 题和综合运用 知识解决实际 问题教师适当 点拨。注意及时 反馈学生的练 习结果，对于普 遍存在问题及 时查缺补漏。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 ( ) )三角形 5. 三 角 形 的 三 边 分 别 是 a,b,c, 且 满 足 等 式(a+b) 2 -c 2 =2ab, 则此三角形是: （ A ） A. 直角三角形; B. 是锐角三角形; C. 是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形能力提升 6. 中考联接：若 a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且 a ，b， c 满足(a－5) 2 ＋(b－12) 2 ＋|c－13| ＝0. (1) 、求 a ，b ，c 的值； (a=5 b= 12 c=13) (2) 、△ABC 是直角三角形吗？请说明理由(是直角三角形，因为 a 2 + b 2 = c 2 综合运用 7.如图，在正方形 ABCD中，AB=4，AE=2，DF= 1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ （随堂练习第2 题） 解：有 4 个直角三角形， ∠A, ∠D, ∠C 、均为直角, ∴△ABE, △BCF,△DFE,是直角三角形。又因为 BE EF BF BE 2 2 2 2 = AE = DE = CF + EF 2 2 2 2 + AB + DF + BC = BF 2 = 20 ; 2 = 5 ; 2 = 25 2 所以△BEF 也是直角三角形，故又 4 个直角三角形。 8. 变式. 如图，在正方形ABCD 中，E 为 AD 的中点，F 为 CD 的四等分点， 判断 BE 和 EF 的位置关系，并说明理由 解：EF⊥BE 理由如下 设正方形的边长为 a ∴ BF 2 = BE 2 + EF 2 ∴EF⊥BE 六、提升 适时小结，兴趣延伸 1 、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a 、b,斜边为 c ， a 2 + b 2 = c 2 2 、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b ，c ，满足 a 2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 3 、勾股数满足的条件是什么？ 学生发言互相补充， 引导学生从知识 内容、研究方法 以及运用过程三 个方面总结自己 的收获，让学生 全面把握本节课 的重点和难点， 并启发学生用类 比或迁移的方法 学习后续课程。 板书设计 利 用 简 洁 的 文 字、符号、 图表 等呈现本节课的 新知，可以帮助 学生理解掌握知 识，形成完整的 知识体系。 作业设计 （课外练习） 基础达标： 1．下列四组数据，不是勾股数的是（ B ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．6，8，10 D．9，40，41 2．在△ABC 中， ∠A， ∠C 的对边分别记为 a，b，c，下列条件中，能判定△ABC 是直角三角形的是（ A ） A．a2＝（ c -b（c+b） B．a＝1，b＝2，c＝3 C． ∠A= ∠C D． ∠A： ∠B： ∠C＝3：4：5 3． 已知三角形三边长分别是 6，8，10，则此三角形的面积为 24 ． 4．若一个三角形的三边之比为 5：12：13，且周长为 60cm，则它的面积为 120 cm2． 5．如图，每个小正方形的边长为 1，则∠ABC 的度数为 45 ° . 6.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C 是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝ 45 ° . 能力提升 7.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则∠BAC 与∠DAC 的大小关系为（ C ） A． ∠BAC＞∠DAC．B. ∠BAC<∠DAC． C. ∠BAC= ∠DAC．D. 无法确定 8．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5）， （5，12，13），（7，24，25），（9，40，41） … , 请写出第 6 个数组： （13，84，85） 综合运用 9．如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1． （1）求△ABC 的周长； （2）求证： ∠ABC＝90 ° ; （3）若点P 为直线 AC 上任意一点，则线段 BP 的最小值为 . 解 ： （ 1 ）AB ＝ ，BC ＝ ，AC = , △ABC 的周长＝2√5+√5+5 ＝3√5+5， （2） ∵AC2 ＝25 ，AB2 ＝20 ，BC2 ＝5， ∴AC2 ＝AB2+BC2， ∴ ∠ABC ＝90 ° . （3）过 B 作 BP⊥AC， ∵△ABC 的面积= ,即， 解得 BP ＝2 ， 故答案为：2 10.如图，在△ACD 中，AD ＝17 ，AC ＝15 ，DC ＝8 ，点 B 是 CD 延长线上一点，连接 AB，若 AB ＝25 ．求： △ABD 的面积． 解： ∵AD ＝17 ，AC ＝15 ，DC ＝8， ∴AC2+CD2 ＝AD2， ∴ ∠C ＝90 ° , ∵AB ＝25 ，AC ＝15， ∴由勾股定理得：BC ＝ ＝20， ∴BD ＝BC - DC ＝20 - 8 ＝12， ∴△ABD 的面积是 ＝ ＝90． 学科网（北京）股份有限公司 $