28.1图形的旋转（第2课时 图形旋转的应用，含交互动画）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦图形旋转的应用，核心涵盖旋转作图方法、依据及图案设计。课堂导入通过回顾旋转三要素与性质，结合Rt△ABC旋转实例、叶片图案设计问题，衔接旧知，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于采用“定找连转截作写”七步作图法，结合五角星、风车图案设计实践，培养几何直观与空间观念。典例分析融入亚运会吉祥物等现实情境，体现用数学眼光观察世界。学生能发展创新意识，教师可借助系统步骤和实例提升教学效率。

28.1 图形的旋转 第2课时 图形旋转的应用 第二十八章 旋转 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握旋转作图方法：能根据旋转中心、旋转方向和旋转角，作出简单平面图形旋转后的图形，理解旋转作图的依据是旋转的性质. 理解旋转的“变”与“不变” ：通过改变旋转中心或旋转角，观察同一图案旋转后产生的不同效果，体会旋转中“变”与“不变”的辩证关系. 感受旋转的应用价值：能识别生活中的旋转图案，了解旋转在图案设计中的应用，欣赏数学之美，发展几何直观和空间观念. 知识回顾 旋转的概念和性质： A C O A′ B′ C′ B 旋转 定义 三要素 性质 在一个平面图形绕平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转. 旋转中心 旋转方向 旋转角 对应点到旋转中心的距离相等 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 旋转前、后的图形全等 导入新课 （1）如图所示，是Rt△ABC及其绕点O旋转后的图形； x y O 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 A B C A′ C′ （B′） ►如图（1）所示：如果只给你原图形和旋转条件，你能自己画出旋转后的图形吗？ 图（1） ►你能描述图中Rt△ABC第二次旋转情况吗？ Rt△ABC绕着O点逆时针旋转180° （2）如图所示，这个美丽的图案又是如何设计出来的？ 导入新课 把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度，通过多次旋转绘制而成 5 导入新课 如图，五边形ABCDE平移后，D'点是D点的对应点，作出五边形ABCDE平移后的图形. A B C D E D′ A′ B′ C′ E′ 如果给定图形、旋转中心、旋转角，我们能不能按同样的思路画出旋转后的图形？ 还记得平移作图方法吗？ 练一练 今天我们就系统学习 ——图形旋转的应用 画出关键点(如五边形的5个顶点)的对应点，顺次连接这些对应点，就可以画出平移后的图形. （1）如图，画出线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转60°后的线段. 新知探究 探究点1 画出旋转后的图形 画一画 A B D 作法: （1）以AB为一边按顺时针方向画∠BAD，使∠BAD=60°. （2）在射线AD上截取AC=AB. 60° C 与平移、轴对称类似，在画由旋转得到的图形时，对于一些规则的几何图形(如三角形、矩形)，只要画出一些关键点(如三角形、矩形的顶点)的对应点，顺次连接这些对应点，可得到旋转后的图形. 线段AC即为所求. 画出旋转角60° 确定对应点到旋转中心的距离 新知探究 探究点1 画出旋转后的图形 画一画 O B （2）如图，△AOB 绕 O 点旋转后，G 点是 B 点的对应点，作出△AOB 旋转后的三角形. A G 作法: （1）连接 OG. （2）作∠AOC=∠BOG(旋转角). C （3）在射线OC上截取OE=OA. E （4）连接EG， △EOG即为所求. 分析： 1.先确定旋转角， G 点是 B 点的对应点，所以连结OG后∠BOG等于旋转角 2.根据旋转角相等及对应点到旋转中心距离相等可确定A的对应点位置 A B D E O C 新知探究 探究点1 画出旋转后的图形 F G H 做一做 （3）画出下图所示的四边形 ABCD 以点 O 为中心，顺时针旋转90°的旋转图形. 四边形 EFGH 即为所求. 新知探究 探究点1 画出旋转后的图形 议一议 条件：原图形、旋转中心、旋转方向、旋转角。 依据：旋转性质 ＊图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同角度； ＊对应点到旋转中心的距离相等。 确定一个图形旋转后的位置，需要哪些条件？说说你的依据是什么？ 新知探究 探究点1 画出旋转后的图形 议一议 如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. A D E C B 确定△ADE三个顶点的对应点的位置. （1）画出旋转后的图形的关键是什么？ （2）本次旋转需要的三要素是什么？ 旋转中心：点A （3）△ADE三个顶点的对应点的位置怎样确定？ 点A是旋转中心，其对应点是它本身； 点D的对应点可由正方形的性质确定； 点E的对应点可由旋转的性质确定. 关 键 旋转角：90° 旋转方向：顺时针 三要素 新知探究 探究点1 画出旋转后的图形 议一议 如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 解：因为点A是旋转中心， 所以它的对应点是_______. 它本身 在正方形ABCD中，AD = AB，∠DAB =_____， 所以旋转后__________重合. 点D与点B 90° 设点E的对应点为E′. 因为旋转后的图形与旋转前的图形全等， 所以∠ABE′= ∠ADE = 90°，BE′= DE. 所以在CB的延长线上取点E′，使BE′= DE， 则△ABE′为旋转后的图形. A D E C B E′ 还有其他方法确定点 E 的对应点 E′ 吗？ 12 解：因为点A是旋转中心， 所以它的对应点是_______. 它本身 在正方形ABCD中， AD = AB，∠DAB =_____， 所以旋转后__________重合. 点D与点B 90° 新知探究 探究点1 画出旋转后的图形 议一议 如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 以A为圆心，AE长为半径画弧交CB延长线于点E′，连结A E′ A D E C B E′ 因为旋转前后的图形全等 所以AE=AE′. 设点E的对应点为E′. 则△ABE′为旋转后的图形. 方法二 解：因为点A是旋转中心， 所以它的对应点是_______. 它本身 在正方形ABCD中， AD = AB，∠DAB =_____， 所以旋转后__________重合. 点D与点B 90° 新知探究 探究点1 画出旋转后的图形 议一议 如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. A D E C B E′ 设点E的对应点为E′. 所以△ABE′为旋转后的图形. 因为∠EAE′= ∠DAB= 90° 过点 A 作 AE 垂直的直线与 CB 的延长线的交点即是E′. 因为∠ABE′= ∠ABC= 90° ∟ 方法三 14 结 小 纳 归 新知探究 探究点1 画出旋转后的图形 旋转作图的一般步骤： 1.定：确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2.找：找出表示图形的关键点； 3.连：连接图形的每一个关键点与旋转中心； 4.转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（旋转角的度数） 5.截：在旋转后所得的射线上截取与关键点到旋转中心距离相等的线段，得到各关键点的对应点； 6.作：按原图顺次连接各个关键点的对应点，并标上相应字母； 7.写：写出结论. 15 新知探究 探究点2 旋转的应用——图案设计 活动1 （1）如图，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到图中的五角星图案. 利用旋转，可以设计美丽的图案 将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，得到的五角星图案 新知探究 探究点2 旋转的应用——图案设计 议一议 (1)需要旋转几次，每次的旋转角是多少? 以点O为旋转中心将等腰三角形ABC绕点O顺(或逆)时针依次旋转72°,旋转4次， 5 个等腰三角形即可组合形成如图所示的五角星图案。 O O (2)试一试，画出图形 O 17 新知探究 探究点2 旋转的应用——图案设计 活动2： 观察下图，两个旋转中旋转中心相同但旋转角不同，产生的效果有什么不同？ α β O O 旋转中心不变，旋转角改变， 图案旋转后各对应点的位置不同，整体效果也不同. 新知探究 探究点2 旋转的应用——图案设计 活动3： 观察教材下图，两个旋转中旋转角相同但旋转中心不同，产生的效果有什么不同？ O1 O2 α α 旋转角不变，旋转中心改变， 图案整体位置不同，但各对应点与旋转中心连线所成的角相同. 选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会产生不同的效果。 旋转的三要素共同决定旋转后的图形位置. 19 新知探究 探究点2 旋转的应用——图案设计 议一议 图案设计欣赏： 经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案. （1）这些图案分别是由哪个基本图形经过怎样的旋转得到的？ 如果一个图案由 n 个完全相同的图形绕中心旋转一周拼成： 基本图形：其中 1 个图形； 单次旋转角：360÷n； 需要旋转次数：n-1次。 新知探究 探究点2 旋转的应用——图案设计 活动4 利用三角尺或网格纸，以小组为单位，选择一个基本图形，确定旋转中心和旋转角，通过多次旋转设计一个图案. 叶片总数：6 片 每次旋转角度360°÷6=60° 旋转次数：5 次 典例分析 例1.杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”．出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．结合你所学知识，如图所示的“琮琮”经过旋转不能得到的是（    ） A． B． C． D． 解： A．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； B．由图形对称而得出；故本选项符合题意； C．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； D．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； B 典例分析 例2.如图，在中，，是中线；，绕点顺时针旋与重合，点，的对应点分别为点，． (1)尺规作图：作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求证：三点在同一直线上． （1）解：，绕点顺时针旋与重合，点，的对应点分别为点，， ∴线段在线段上， 即点在线段上，且，如图所示， ①以点为圆心，以为半径画弧， 交于点，交于点，连接； ②以点为圆心，以为半径画弧， 交弧于点，连接并延长至点； ③以点为圆心，以为半径画弧， 交于点，连接，得； ∴根据作图可得，，， ∴， ∴，∵， ∴在中， ， ∴， 即绕点顺时针旋转得， ∴即为所求图形． 典例分析 例2.如图，在中，，是中线；，绕点顺时针旋与重合，点，的对应点分别为点，． (1)尺规作图：作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求证：三点在同一直线上． （2）解：，， 如图所示，连接，交于点，∵， ∴， ∵，且由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，且， ∴， ∴点三点共线． 新知巩固 【教材第95页 】 1.△ABC中，AB=AC，P 是 BC 边上任意一点. 以点 A 为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形. 解：如图所示，△ACP'即为所求作的图形. 新知巩固 2.选择一个简单的基本图形，对它进行旋转： （1）选择不同的旋转中心、不同的旋转角，观察旋转后的效果； （2）改变基本图形的形状，观察旋转后的效果. 【教材第95页 】 旋转角不变，改变旋转中心. 解：示例如下: 旋转中心不变，改变旋转角. 旋转中心、旋转角都改变 (答案不唯一) 拓展提升 1.如图，在等腰直角三角形中，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接． (1)若，求旋转角的度数和的度数； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． （1）解： 是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由： ∵是由旋转得到的， ∴，，， ∴， ∴． 真题感知 1．（2026·武汉统考）亚洲青年运动会的图标如图所示，该图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　） A．45 B．30 C．60 D．120 解：该图形被平分成八部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为45． A 真题感知 2．（2026.保定统考）如图，图案由五个相同叶片组成，且其绕点O旋转后可以和自身重合，若五个叶片的总面积为20，，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 解：∵五个叶片的总面积为20， ∴一个叶片的面积为4， ， ∴阴影部分的面积之和为一个叶片的面积，是4， B 真题感知 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，画出将绕点按顺时针方向旋转后所得到的． 解：如图，是所求的三角形． 课堂小结 旋转作图： 找关键点 → 作对应点（利用性质）→ 顺次连线. 旋转作图依据：对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角. 旋转的应用： 改变旋转中心或旋转角，可产生不同旋转效果； 旋转可设计美丽图案. 知识与技能 课堂小结 转化思想： 图形的旋转转化为点的旋转，化复杂为简单. 数形结合： 用数量关系（距离相等、角相等）指导几何作图. 变中寻不变： 旋转中心、旋转角在变，但旋转的性质不变. 思想与方法 课堂小结 关键点选取不全：作图时需找出图形的所有“转折点”（如多边形的顶点、线段的端点），遗漏任何一个都会导致图形错误. 对应点位置不准确：作对应点时既要保证“距离相等”，又要保证“角度相等”，二者缺一不可. 混淆旋转中心与图形上的点：旋转中心是固定不动的点，可能是图形内部的点、外部的点或图形上的点，需准确识别. 旋转方向忽略：顺时针和逆时针旋转得到的图形位置不同，作图时必须明确方向 . 易错点提醒 课后练习 4.任意画一个△ABC，并把它旋转： （1）以点A为旋转中心，把△ABC逆时针旋转40°； A B C C1 B1 解：如图所示.（答案不唯一） 习题 28.1 课本p96页 课后练习 （2）以边的中点为旋转中心，把△ABC顺时针旋转90°； O A B C B′ A′ C′ 解：如图所示.（答案不唯一） 习题 28.1 课本p96页 课后练习 （3）在△ABC内任取一点为旋转中心，把△ABC逆时针旋转180°； 解：如图所示.（答案不唯一） A B C O B′ C′ A′ 习题 28.1 课本p96页 课后练习 （4）在△ABC外任取一点为旋转中心，把△ABC顺时针旋转120°. O A B C A′ C′ B′ 解：如图所示.（答案不唯一） 习题 28.1 课本p96页 课后练习 6.图中的风车图案，可以由哪个基本的图形、经过什么样的旋转得到？试着由基本图形，经旋转画出这个图案. 解：图中的风车图案，可以由两种等腰直角三角形拼成（即小直角三角形的斜边长等于大直角三角形的直角边长，并且小直角三角形的斜边与大直角三角形的直角边拼放在一起）.如图，将拼成的图形OABC绕旋转中心O顺（或逆）时针依次旋转90°，旋转3次，可得到风车图案. O C B A 习题 28.1 课本p97页 课后练习 7.如图，在△ABC中，∠C=90°. （1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形； （2）按（1）旋转后，点 A 的对应点为 A′，若 BC=3，AC=4，求 A′A 的长. A C B 习题 28.1 课本p97页 A′ C' 解：(1)△A'BC'即为所求. (2)∵△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4. ∴AB= =5. 由旋转的性质可得 △A'BA 中，∠A'BA =90°，A'B=AB=5. ∴A’A= =5 . 课后练习 8.如图，△ABD，△AEC 都是等边三角形. BE 与 DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？试提出一个类似的问题.（提示：将等边三角形换成其他图形.） 解：BE=DC.理由如下： ∵△ABD，△AEC都是等边三角形， ∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°. ∴以点A为旋转中心将△EAB顺时针旋转60°就得到△CAD. ∴△EAB≌△CAD. ∴BE=DC. 习题 28.1 课本p97页 谢谢聆听 $null