第二十八讲 正弦、余弦函数的性质导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦正弦、余弦函数的性质，引导学生通过观察图象结合解析式，掌握周期性、奇偶性、单调性等主要性质，衔接函数基本性质的学习，搭建从图象直观到解析推理的学习支架。 资料以必考题型全归纳为特色，涵盖单调性、对称性等核心题型，突出整体换元法等关键方法，易错点精准提示，习题从基础到综合分层设计，助力学生发展数学思维（推理意识）与数学语言（应用意识），提升知识应用能力。

第二十八 讲 正弦、余弦函数的性质 【学习目标】通过观察图象,结合函数解析式,知道三角函数的主要性质（周期性、奇偶性、单调性、最值或值域等）． 【学习重点】三角函数的主要性质（周期性、奇偶性、单调性、最值或值域等）． 【学习难点】周期函数、（最小正）周期的意义. 1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴方程 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 2.易错点 1.周期：周期是，没有周期性； 2.求单调区间使用整体换元；当，注意单调区间要反转； 3.对称轴处取最值；对称中心函数取平衡位置；零点 + 对称轴条件，常为奇数； 4.判断奇偶：，奇偶性由初相决定； 5.零点问题换元后，严格看清的取值范围，注意端点； 6.、，只能取，做二次函数不要忽略值域约束。 必考题型全归纳 题型一：正弦、余弦函数单调性（单调区间、复合函数单调性） 1.基础单调区间 ：增区间；减区间 ：增区间；减区间 2.整体换元法（核心方法） 求单调区间：令，先写出的单调区间，再解关于的不等式。易错：若，内外层单调性相反，区间要反转。 3.复合函数单调性：同增异减 ：内外函数单调性相同则整体递增；内外单调性相反则整体递减。 常考：、这类复合三角函数。 4.题型： ①直接求单调递增、递减区间； ②已知函数在给定区间单调，反求参数取值范围； ③比较三角函数值大小（利用单调性，先诱导公式化到同一单调区间）。 1．函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 2．已知函数图象在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是___． 题型二：正弦余弦函数对称性（对称轴、对称中心） 1.对称轴：函数在对称轴位置取到最大值或者最小值； 对称轴： 对称轴： 2.对称中心：对称中心是函数图像与平衡轴交点，此处函数值等于； 对称中心： 对称中心： 3.做题方法： ①对称轴：令相位； ②对称中心：令相位，解出； 4.综合题型：一个条件给零点，一个条件给对称轴，联合求；零点与对称轴之间距离推出为奇数。 5．已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 6．已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 题型三：三角函数奇偶性 1.奇偶定义： 奇函数：，图像关于原点对称； 偶函数：，图像关于轴对称。 2. 奇函数条件：；偶函数条件：。 3. 奇函数条件：；偶函数条件：。 4.解题：奇偶性 + 周期性综合，给求；充分必要条件判断。 7．下列关于函数说法错误的是（     ） A．定义域为 B．值域为 C．最小正周期为 D．其图象为轴对称图形而非中心对称图形 8．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 9．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数①；②；③；④中的偶函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四：三角函数比较大小（诱导公式 + 单调性） 比较大小步骤： 1.先用诱导公式把角转化到同一个单调区间； 2.利用正弦、余弦在区间上增减性比较； 3.有时结合指数、对数函数综合比较数值大小。 11．下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 12．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 13．已知，，，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 14．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 巩固提升： 1．下列函数中在区间上是严格减函数的是（    ）． A． B． C． D． 2．设函数的定义域为，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知平面向量，将绕起点顺时针旋转角得到向量，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 5．已知函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 6．已知函数，若，则（ ） A． B．3 C．7 D．8 7．定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 9（多选）．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．与的值域相同 B．与的奇偶性相同 C．与有相同的零点 D．与在上的单调性相同 10（多选）．已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 11（多选）．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C． D．的零点为 12．求函数，的单调减区间___________． 13．函数的单调递增区间是______． 14．已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 15．函数的定义域为__________. 16．已知函数，给出下列五个结论： ①是偶函数  ②是函数的一个周期  ③函数在内是减函数  ④函数最小值为  ⑤函数的对称轴方程为， 其中所有正确结论的序号是__________． 17．已知函数（），． (1)求的值． (2)求函数的对称中心． (3)求不等式的解集． 18．已知函数，． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递减区间； (3)当时，求的最大值及最小值及相应的取值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八 讲 正弦、余弦函数的性质 【学习目标】通过观察图象,结合函数解析式,知道三角函数的主要性质（周期性、奇偶性、单调性、最值或值域等）． 【学习重点】三角函数的主要性质（周期性、奇偶性、单调性、最值或值域等）． 【学习难点】周期函数、（最小正）周期的意义. 1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴方程 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 2.易错点 1.周期：周期是，没有周期性； 2.求单调区间使用整体换元；当，注意单调区间要反转； 3.对称轴处取最值；对称中心函数取平衡位置；零点 + 对称轴条件，常为奇数； 4.判断奇偶：，奇偶性由初相决定； 5.零点问题换元后，严格看清的取值范围，注意端点； 6.、，只能取，做二次函数不要忽略值域约束。 必考题型全归纳 题型一：正弦、余弦函数单调性（单调区间、复合函数单调性） 1.基础单调区间 ：增区间；减区间 ：增区间；减区间 2.整体换元法（核心方法） 求单调区间：令，先写出的单调区间，再解关于的不等式。易错：若，内外层单调性相反，区间要反转。 3.复合函数单调性：同增异减 ：内外函数单调性相同则整体递增；内外单调性相反则整体递减。 常考：、这类复合三角函数。 4.题型： ①直接求单调递增、递减区间； ②已知函数在给定区间单调，反求参数取值范围； ③比较三角函数值大小（利用单调性，先诱导公式化到同一单调区间）。 1．函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 【答案】C 【详解】根据正弦函数的单调性可知：在内单调递增，在内单调递减，所以函数在上是先增后减. 2．已知函数图象在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用函数在上单调递增，列不等式求解即得. 【详解】因为，且，则， 因函数在上单调递增，且， ，解得，所以的取值范围是. 3．函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】求出定义域，利用复合函数的单调性和正弦函数的图像和性质求出的单调递减区间就是所求的单调递减区间. 【详解】对于，令， 则，所以，. 因为为增函数， 所以的单调递减区间即为的单调递减区间， 所以，，解得，， 所以的单调递减区间为，. 4．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】先求出的范围，再结合单调性列不等式组求解即可． 【详解】，， 又函数在区间上单调递减，， 解得，即． 题型二：正弦余弦函数对称性（对称轴、对称中心） 1.对称轴：函数在对称轴位置取到最大值或者最小值； 对称轴： 对称轴： 2.对称中心：对称中心是函数图像与平衡轴交点，此处函数值等于； 对称中心： 对称中心： 3.做题方法： ①对称轴：令相位； ②对称中心：令相位，解出； 4.综合题型：一个条件给零点，一个条件给对称轴，联合求；零点与对称轴之间距离推出为奇数。 5．已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图像的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值． 【详解】因为为的零点，为图象的对称轴， 所以,即，所以,即为正奇数. 因为在上单调，则，即， 解得：，当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单增；当时，单减， 即在不单调，不满足题意； 当时，,因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意；故的最大值为9. 6．已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，从而求出答案 【详解】对都有，故， 即，， 故，，解得，， 在上单调，，故，解得， 故，解得，因为，所以， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故. 题型三：三角函数奇偶性 1.奇偶定义： 奇函数：，图像关于原点对称； 偶函数：，图像关于轴对称。 2. 奇函数条件：；偶函数条件：。 3. 奇函数条件：；偶函数条件：。 4.解题：奇偶性 + 周期性综合，给求；充分必要条件判断。 7．下列关于函数说法错误的是（     ） A．定义域为 B．值域为 C．最小正周期为 D．其图象为轴对称图形而非中心对称图形 【答案】C 【详解】选项A：对任意实数，都有意义，因此定义域为，A说法正确； 选项B：的值域为，加绝对值后所有非正的变为非负， 因此的值域为，B说法正确； 选项C：由，结合函数图象可知，的最小正周期为，而不是，C说法错误； 选项D：函数的图象关于对称，是轴对称图形；其图象不关于任何点成中心对称，因此不是中心对称图形，D说法正确.综上，说法错误的是C选项. 8．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案． 【详解】对于A，令，因为为偶函数， 又因为，所以不存在零点，故A不合题意； 对于B，令， 因为为奇函数，故B不合题意； 对于C，令，为非奇非偶函数，故C不合题意； 对于D，令，为偶函数， 当时，，故D符合题意． 9．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所有选项的定义域都是， 对于A，因为，所以是奇函数，A错误； 对于B：因为，所以是偶函数， 的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图）， B正确； 对于C：，图象为 很显然不具备周期性，C错误； 对于D，是周期为的偶函数，D错误． 10．下列函数①；②；③；④中的偶函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由三角函数诱导公式结合奇偶性定义逐项判断即可. 【详解】， 定义域为R，，奇函数，， 定义域为R，，奇函数，， 定义域为R，，偶函数， ， 定义域为R，，奇函数， 综上偶函数有1个. 正确． 题型四：三角函数比较大小（诱导公式 + 单调性） 比较大小步骤： 1.先用诱导公式把角转化到同一个单调区间； 2.利用正弦、余弦在区间上增减性比较； 3.有时结合指数、对数函数综合比较数值大小。 11．下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】注意到，且， 因此． 12．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用诱导公式和正弦函数的单调性比较与，再借助同角三角函数的商数关系比较与，即得三者的大小关系. 【详解】， 因函数在时单调递增， 由可得，即； 又因， 显然，则，即. 综上，. 13．已知，，，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数单调性可判断三个数的范围，即可得到三个数的大小关系． 【详解】， ，；比较可得． 14．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解． 【详解】由题意知，，， 又因为，即，所以． 巩固提升： 1．下列函数中在区间上是严格减函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：，在上单调递增，不符合. 对于B：是底数在内的指数函数，所以在上严格递减，从而在上也严格递减．符合. 对于C：在上单调递增，不符合. 对于D：在上单调递增，又，故不符合. 2．设函数的定义域为，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，因为， 所以是偶函数，充分性成立； 若是偶函数，则，即， 解得，即（舍去）或， 化简可得，当时，，此时， ，是偶函数，但，所以必要性不成立， 因此“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 3．已知平面向量，将绕起点顺时针旋转角得到向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将顺时针旋转转化为负角，再利用正弦奇函数、余弦偶函数的性质直接得出新向量的坐标. 【详解】由题意得. 4．已知函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】化简，得到关于的方程，由此求得. 【详解】由题可知:， 所以． 5．已知函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先判断已知函数的奇偶性，再利用函数奇偶性求解． 【详解】， ，故A正确．故选：A． 6．已知函数，若，则（ ） A． B．3 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由可得，再根据正弦函数的奇偶性求解即可. 【详解】由题意可知，则， 所以，故选：C 7．定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，根据题意利用周期性和奇偶性，将转换到区间内，然后带入即可求解. 【详解】由已知，函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是， 当时，，所以. 故选：D. 8．已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质，利用配凑思想代入求解即可. 【详解】因为， 所以.故选：C. 9（多选）．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．与的值域相同 B．与的奇偶性相同 C．与有相同的零点 D．与在上的单调性相同 【答案】BD 【详解】对于A选项，，， 于是的值域为，的值域为，故A选项不正确； 对于B选项，，所以为偶函数， ，所以为偶函数，故B选项正确； 对于C选项，由于的值域为，所以没有零点， 令，得，所以，．故C选项不正确； 对于D选项，因为在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在单调递减， 因为在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在单调递减，故D选项正确． 10（多选）．已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 【答案】ABD 【详解】为奇函数，则，都有，所以C错误； 即，化简得对恒成立， 所以，即， 反之，当时，， 当是偶数时，为奇函数，当是奇数时，为奇函数， 所以为奇函数，A正确； 奇函数的图像关于原点对称，B正确； 因为，所以为奇函数， 若，则，由A选项可知，则为奇函数，D正确. 11（多选）．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C． D．的零点为 【答案】ACD 【分析】根据偶函数定义判断A，应用正弦及余弦函数单调性及值域判断B，C，应用正弦函数值及零点定义计算判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为R，且，所以为偶函数，故A正确； 对于B，令，则，由正弦函数在上单调递增，可得的值域为，故B错误； 对于C，，， 因为，，所以，， 所以，，则，故C正确； 对于D，令，可得，又，所以，则，故D正确． 12．求函数，的单调减区间___________． 【答案】 【详解】令，的单调递减区间为， 则，解得， 取，得递减区间，与的公共部分为． 13．函数的单调递增区间是______． 【答案】和. 【分析】根据复合函数的单调性即可求出答案. 【详解】令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为和. 14．已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 【答案】 【分析】根据函数为奇函数得出或，然后对或进行分类讨论，分析可知，由可得，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得的值. 【详解】因为函数是奇函数，则， 因为，所以或. 因为，若，则为常值函数，不符合题意，所以， （1）若，则，当时，， 因为正弦函数在上单调递增， 故函数在上不可能单调递减，不符合题意； （2）若，则，当时，， 因为函数在上单调递减，且函数在上单调递减， 则，所以，解得， 因为，所以，符合题意.综上所述，. 15．函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】先应用同角三角函数关系化简结合三角函数值域得出，最后应用正弦函数值域得出定义域. 【详解】函数满足， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以函数定义域为. 16．已知函数，给出下列五个结论： ①是偶函数  ②是函数的一个周期  ③函数在内是减函数  ④函数最小值为  ⑤函数的对称轴方程为， 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【分析】先利用三角恒等变换化简原函数，将化为，简化问题，再依次根据函数奇偶性、周期性、单调性、最值、对称轴的性质逐一验证五个结论，筛选出正确结论 【详解】利用三角恒等变换化简 判断①： ，满足偶函数定义，①正确 判断②：对于，周期，因此是周期，②正确 判断③： 当时，，在单调递减，在单调递增， 因此在递减，在递增，不是整个区间的减函数，③错误 判断④： 的最小值为，因此，④正确 判断⑤： 对称轴方程为，即，例如也是对称轴，⑤遗漏了大量对称轴，⑤错误 17．已知函数（），． (1)求的值． (2)求函数的对称中心． (3)求不等式的解集． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）， ，，. （2）由得， 的对称中心是. （3）由得：， 解得：，的解集是. 18．已知函数，． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递减区间； (3)当时，求的最大值及最小值及相应的取值． 【答案】(1)，，(2)， (3)当时，最大值为；当时，最小值为 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，，进而计算可得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递减区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值及相应的取值. 【详解】（1）由函数，可得函数的最小正周期为， 令，，解得，，所以函数的对称中心为， （2）由，可得，令，可得； 令，可得， 所以函数的单调递减区间为，． （3）由，可得， 当时，即时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $