18.1 分式及其基本性质 题型专练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册“分式及其基本性质”同步练，以“典例+举一反三”分层设计，覆盖17个核心题型，从概念辨析到实际应用，梯度进阶巩固分式知识，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|分式辨别、有意义/无意义条件等单一概念|典例示范+选择填空基础题，强化符号意识| |能力提升|分式变形、约分、最简分式等性质应用|符号变化、系数化整等变式题，发展运算能力| |综合应用|规律探究、实际问题建模等跨情境问题|地震演练撤离时间等生活化情境题，体现模型意识|

人教版（2024）八年级上册 18.1 分式及其基本性质 题型专练 【题型1】分式的辨别 【典例】下列式子中，不是分式的为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】在、、、、、中分式的个数有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【举一反三2】下列各式中中分式 有　 　个． 【举一反三3】将下列各式子分别填入它们所属的集合： 4xy，x2+x﹣，，﹣，，2x3﹣3，0，﹣，m，， 整式集合{　　　　…}， 分式集合{　　　　…}， 多项式集合{　　　…}， 单项式集合{　　　…}． 【举一反三4】下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，x﹣1，，，，，（x+y），，． 【题型2】分式有意义的条件 【典例】下列关于分式的判断，正确的是（ ） A.当时，的值为零 B.无论为何值，的值总为正数 C.无论为何值，不可能得整数值 D.当时，有意义 【举一反三1】如果分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.全体实数 B.x≠1 C.x=1 D.x＞1 【举一反三2】已知分式有意义，写出一个符合条件的x的值 　           　． 【举一反三3】若分式有意义，则实数x的取值范围为 　           　． 【举一反三4】当x为何值时，分式有意义？ 【题型3】分式无意义的条件 【典例】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） A. B. C. D. 【举一反三1】要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A.x＝2024 B.x≠2024 C.x＞2024 D.x＜2024 【举一反三2】当x＝　   　时，分式无意义． 【举一反三3】已知：代数式． (1)当为何值时，该式无意义？ (2)当为何整数时，该式的值为正整数？ 【举一反三4】当x等于什么值时，分式无意义． 【题型4】分式值为0的条件 【典例】若，则x＝（　　） A.2 B.±2 C.﹣2 D.不存在 【举一反三1】若分式的值为0，则x的值是（　　） A.0 B.1 C.﹣1 D.1或一l 【举一反三2】若分式的值为0，则a满足的条件是（ ） A. B. C. D.或 【举一反三3】若分式的值等于，则的值为            ． 【举一反三4】当m为何值时，分式的值为0？ （1）；（2）；（3）． 【题型5】求分式的值 【典例】分式的值，可以等于（　　） A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【举一反三1】若分式的值不存在，则x的值为（　　） A.﹣1 B.2 C.﹣2 D.1 【举一反三2】有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时x的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1，请你写出满足上述全部特点的一个分式：　　　　. 【举一反三3】已知，则的值为　　　　. 【举一反三4】若表示一个整数，则整数可以取哪些值? 【举一反三5】求下列分式的值： （1），其中a=3； （2），其中x=2，y=-1． 【题型6】由分式值的正负确定字母的取值范围 【典例】若分式的值是负数，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　） A.x＜ B.x＞0 C.0＜x＜ D.x＜且x≠0 【举一反三2】若分式的值为正数，请写出一个满足条件的x的值：　　　　. 【举一反三3】使分式的值为正数的x的取值范围为　     　． 【举一反三4】在y=中，当x取何值时， （1）y是正数？ （2）y是负数？ （3）y的值是0？ 【题型7】分式中规律型问题 【典例】已知一列数a1，a2，a3，…，它们满足关系式a2＝，a3＝，a4＝，…，当a1＝2时，则a2026等于(　　) A.2   B.－1 C.－    D. 【举一反三1】已知一列数，，…，它们满足关系式，，，，当时，则等于（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】若（不取0和），，，…，，则等于（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是     ． 【举一反三4】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第6个等式：_____________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 【题型8】用分式表示实际问题中的量 【典例】2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则表示的意义是（　　） A.第一次撤离的总人数 B.第一次撤离的时间 C.第二次撤离的总人数 D.第二次撤离的时间 【举一反三1】已知甲种糖果每千克售价为m元，乙种糖果每千克售价为n元，取甲种糖果a千克和乙种糖果b千克，混合后的糖果每千克售价为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向车道，其中，AB＝2BC＝10米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的1.3倍，求小刚通过AB的速度．设小刚通过AB的速度为x米/秒，则根据题意通过BC所用的时间为（　　）秒. A. B. C. D. 【举一反三3】王老师骑自行车用了m h到达距离家n km的学校，则王老师的平均速度是　　　　km/h；若乘公共汽车则可少用0.2 h，则公共汽车的平均速度是　　　　　km/h. 【举一反三4】列代回答下列问题： （1）打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字2h，打字速度为w字/min，第二天打字速度比第一天快了10字/min，两天打完全部文件，第二天她打字用了多长时间？ （2）某村种植了m hm2玉米，总产量为n kg；水稻的种植面积比玉米的种植面积多p hm2，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多q kg．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位：kg/hm2）的式子． （3）有四块小场地，第一块是边长为a米的正方形，第二块是边长b米的正方形，其余两块都是长a米，宽b米的长方形．另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为2（a+b）米，用最简单的式子表示出大长方形的宽． 【举一反三5】汽车的速度为x千米/时，小明走路的速度为y千米/时，如果汽车和小明从同一时间出发，且小明先走3小时，那么汽车多长时间才能追上他？ 【题型9】判断分式变形是否正确 【典例】分式－可变形为(　　) A.    B. C.－    D. 【举一反三1】下列各式从左到右的变形正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】填空：(1)； (2)； (3)； (4)(b≠0). 【举一反三3】当a，b满足关系　 　时，分式＝． 【举一反三4】根据分式的基本性质，完成下列各等式． （1）＝； （2）＝； （3）（b≠0）； （4）； （5）3x﹣2＝； （6）． 【题型10】分式的分子、分母及分式本身正负号变化规律 【典例】与分式 相等的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】下列等式中，从左向右的变形正确的是（　　） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝﹣ 【举一反三2】根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“﹣”号：﹣＝　                 　． 【举一反三4】不改变分式的值，使分式的分子，分母的最高次项系数都是正数，则＝　                  　． 【举一反三5】不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数． (1)； (2). 【题型11】不改变分式值将分式分子与分母各项系数化为整数 【典例】不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【举一反三3】不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得　                  　． 【举一反三4】不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是          ． 【举一反三5】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的系数都化为整数： (1)；(2). 【举一反三6】不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数． （1）；（2）． 【题型12】将分式分子与分母中字母扩大或缩小后判断分式值的变化 【典例】若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A.3x+2y B.3x+3 C.2xy D.3 【举一反三1】将下列各式中x，y（x≠0，y≠0）的值均扩大2倍后，分式值一定不变的有（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】若将中的x与y同时扩大为原来的2倍，则分式的值将是原来的(　　) A.不变 B.2倍 C.4倍 D. 【举一反三3】把分式中x、y的值都扩大2倍，则的值 　           　． 【举一反三4】某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中，x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中，x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【题型13】分式的约分 【典例】化简：，括号内应填（　　） A.4xy B.2y C.2xy D.2x 【举一反三1】对分式约分的结果是（　　） A.-1 B.-2x C. D. 【举一反三2】分式约分的结果是 　                  　． 【举一反三3】按要求答题： (1)约分； (2)通分，. 【题型14】最简分式 【典例】下列分式中是最简分式的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】若是一个最简分式，则△可以是（　　） A.x B. C.3 D.3x 【举一反三2】下列分式是最简分式的为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】分式的最简分式是　            　． 【举一反三4】将分式化为最简分式，所得结果是 　      　． 【举一反三5】分式是最简分式吗？若不是最简分式请把它化为最简分式，并求出x=2时此分式的值． 【举一反三6】将下列分式分别化成最简分式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型15】约分与整体思想综合求分式的值 【典例】已知＝，则的值为(　　) A. B. C.3 D. 【举一反三1】若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】若表示一个整数，则整数x可取的值共有（　　） A.8个 B.4个 C.3个 D.2个 【举一反三3】已知≠0，则分式的值为 　     　． 【举一反三4】已知b2﹣4a＝0，求代数式的值． 【举一反三5】已知=，求的值． 【题型16】最简公分母 【典例】分式与的最简公分母是（　　） A.a﹣1 B.3（a﹣1） C.3（a﹣1）2 D.﹣3（a﹣1）2 【举一反三1】分式，，的最简公分母是（　　） A.3x B.x C.6x2 D.6x2y2 【举一反三2】分式的最简公分母是（　　） A.24a2b2c2 B.24a6b4c3 C.24a3b2c3 D.24a2b3c3 【举一反三3】分式，，的最简公分母是                . 【举一反三4】式子和的最简公分母是　              　． 【举一反三5】指出下列各式的最简公分母． （1）、；（2）、、；（3）、、；（4）与 【题型17】分式的通分 【典例】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（ ） A. B. C. D. 【举一反三1】分式通分的结果为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（ ） A. B. C. D. 【举一反三3】把，通分，则＝　          　，＝　            　． 【举一反三4】将通分后的结果分别为 　       　． 【举一反三5】通分： (1)x-y，； (2)，； (3)，，. 【举一反三6】通分：和． 人教版（2024）八年级上册 18.1 分式及其基本性质 题型专练（参考答案） 【题型1】分式的辨别 【典例】下列式子中，不是分式的为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：，，+3符合分式的定义，它们都是分式； 中分母中不含字母，它不是分式； 故选：D． 【举一反三1】在、、、、、中分式的个数有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【解析】解：在、、、、、中分式有、、，共3个. 故选：B． 【举一反三2】下列各式中中分式 有　 　个． 【答案】3 【解析】解：中分式为：、+1，﹣共3个． 故答案为：3． 【举一反三3】将下列各式子分别填入它们所属的集合： 4xy，x2+x﹣，，﹣，，2x3﹣3，0，﹣，m，， 整式集合{　　　　…}， 分式集合{　　　　…}， 多项式集合{　　　…}， 单项式集合{　　　…}． 【答案】解：整式集合：{4xy，x2+x﹣，，2x3﹣3，0，m，…} 分式集合：{﹣，，﹣，…} 多项式集合：{x2+x﹣，2x3﹣3，…} 单项式集合：{4xy，，0，m…} 【举一反三4】下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，x﹣1，，，，，（x+y），，． 【答案】解：x﹣1，，（x+y），的分母中不含有字母，是整式； ，，，，的分母中含有字母，属于分式． 【题型2】分式有意义的条件 【典例】下列关于分式的判断，正确的是（ ） A.当时，的值为零 B.无论为何值，的值总为正数 C.无论为何值，不可能得整数值 D.当时，有意义 【答案】B 【解析】 A、当时，无意义，原判断错误，不符合题意； B、，，无论为何值，的值总为正数，原判断正确，符合题意； C、当时，是整数，原判断错误，不符合题意； D、当时，有意义，原判断错误，不符合题意. 【举一反三1】如果分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.全体实数 B.x≠1 C.x=1 D.x＞1 【答案】B 【解析】解：∵分式有意义，∴x-1≠0，解得：x≠1．故选：B． 【举一反三2】已知分式有意义，写出一个符合条件的x的值 　           　． 【答案】1（答案不唯一）． 【解析】解：分式有意义的条件是x≠4， 所以符合条件的x的值可能是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【举一反三3】若分式有意义，则实数x的取值范围为 　           　． 【答案】x≠﹣2且x≠1． 【解析】解：∵分式有意义， ∴x+2≠0且x﹣1≠0， 解得：x≠﹣2且x≠1． 故答案为：x≠﹣2且x≠1． 【举一反三4】当x为何值时，分式有意义？ 【答案】解：要使分式有意义， 则x﹣1≠0且x+2≠0， ∴x≠1且x≠﹣2． 【题型3】分式无意义的条件 【典例】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【举一反三1】要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A.x＝2024 B.x≠2024 C.x＞2024 D.x＜2024 【答案】B 【解析】解：由题意得：x﹣2024≠0， 解得：x≠2024， 故选：B． 【举一反三2】当x＝　   　时，分式无意义． 【答案】2． 【解析】解：∵分式无意义， ∴3x﹣6＝0， 解得x＝2． 故答案为：2． 【举一反三3】已知：代数式． (1)当为何值时，该式无意义？ (2)当为何整数时，该式的值为正整数？ 【答案】 解 （1）由题意得， 解得. 所以当m=2时，该式无意义. （2）代数式的值为正整数， 或， 解得或0． 【举一反三4】当x等于什么值时，分式无意义． 【答案】解：根据题意得，x（x﹣1）=0， 解得x1=0，x2=1． 故答案为：0或1． 【题型4】分式值为0的条件 【典例】若，则x＝（　　） A.2 B.±2 C.﹣2 D.不存在 【答案】C 【解析】解：由题意得： ， 解得x＝﹣2． 故选：C． 【举一反三1】若分式的值为0，则x的值是（　　） A.0 B.1 C.﹣1 D.1或一l 【答案】C 【解析】解：∵分式的值为0， ∴x（x+1）=0，且x2﹣x≠0，解得：x=﹣1． 故选：C． 【举一反三2】若分式的值为0，则a满足的条件是（ ） A. B. C. D.或 【答案】B 【举一反三3】若分式的值等于，则的值为            ． 【答案】 1 【解析】 根据题意得 解得． 【举一反三4】当m为何值时，分式的值为0？ （1）；（2）；（3）． 【答案】解：（1）由题意可得m＝0且m﹣1≠0，解得m＝0； （2）由题意可得m﹣2＝0且m+3≠0，解得m＝2； （3）由题意可得m2﹣1＝0且m+1≠0，解得m＝1． 【题型5】求分式的值 【典例】分式的值，可以等于（　　） A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【答案】D 【解析】解：＝1+＞1， 当x＝0时，原式＝2， 故选：D． 【举一反三1】若分式的值不存在，则x的值为（　　） A.﹣1 B.2 C.﹣2 D.1 【答案】C 【解析】解：根据题意得：x+2＝0 解得：x＝﹣2． 故选：C． 【举一反三2】有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时x的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1，请你写出满足上述全部特点的一个分式：　　　　. 【答案】(答案不唯一) 【举一反三3】已知，则的值为　　　　. 【答案】 － 【解析】 由于，可设x＝2k，则y＝3k， ∴原式＝＝－. 【举一反三4】若表示一个整数，则整数可以取哪些值? 【答案】 解 由题意可知或或， 取，，，，，. 【举一反三5】求下列分式的值： （1），其中a=3； （2），其中x=2，y=-1． 【答案】解：（1）当a=3时， ∴原式==3； （2）当x=2，y=-1， ∴原式==1. 【题型6】由分式值的正负确定字母的取值范围 【典例】若分式的值是负数，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵分式的值是负数， ∴2x﹣2＜0， ∴x＜1， 故选：B． 【举一反三1】若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　） A.x＜ B.x＞0 C.0＜x＜ D.x＜且x≠0 【答案】D 【解析】解：∵﹣2x2≤0，且x≠0 ∴3x﹣1＜0，分式的值为正数， 解得x＜，且x≠0． 故选：D． 【举一反三2】若分式的值为正数，请写出一个满足条件的x的值：　　　　. 【答案】1(答案不唯一) 【解析】由条件可知分母3x-2>0，即3x>2，解得x>， 可取x=1. 【举一反三3】使分式的值为正数的x的取值范围为　     　． 【答案】x＜ 【解析】解：∵x2+1≥1，∴2﹣3x＞0时，分式的值为正数， 解得x＜．故答案为：x＜． 【举一反三4】在y=中，当x取何值时， （1）y是正数？ （2）y是负数？ （3）y的值是0？ 【答案】解：（1）∵y是正数， ∴或， 解得：1＜x＜2． （2）∵y是负数， ∴或， 解得：x＞2或x＜﹣2． （3）∵y的值是0， ∴3x﹣6=0，且﹣x+1≠0， 解得：x=2． 【题型7】分式中规律型问题 【典例】已知一列数a1，a2，a3，…，它们满足关系式a2＝，a3＝，a4＝，…，当a1＝2时，则a2026等于(　　) A.2   B.－1 C.－    D. 【答案】A 【解析】 ∵a2＝，a3＝，a4＝，a1＝2， ∴a2＝＝－1，a3＝，a4＝＝2， ∴这一列数是3个一循环， ∵2 026÷3＝675……1， ∴a2026＝a1＝2. 【举一反三1】已知一列数，，…，它们满足关系式，，，，当时，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵，，，， ∴，，， ∴每3个为一个循环. ∵2023÷3=674……1， ∴. 【举一反三2】若（不取0和），，，…，，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：， ， ， 由此可知，， 2020÷3=673……1． ∴． 故选：A． 【举一反三3】观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是     ． 【答案】x=n+4或x=n+5 【解析】解：，解得：或； ，解得：或； ，解得：或； 得到规律，的解为：或； 所求方程整理得：， 根据规律得：或， 解得：x=n+4或x=n+5 故答案为：x=n+4或x=n+5 【举一反三4】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第6个等式：_____________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 【答案】解：（1）第6个等式：； 故答案为：． （2）第个等式：； 证明：右边 左边， ∴等式成立． 【题型8】用分式表示实际问题中的量 【典例】2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则表示的意义是（　　） A.第一次撤离的总人数 B.第一次撤离的时间 C.第二次撤离的总人数 D.第二次撤离的时间 【答案】B 【解析】解：由题意得：表示第一次撤离的时间， 表示第二次撤离的时间故选：B． 【举一反三1】已知甲种糖果每千克售价为m元，乙种糖果每千克售价为n元，取甲种糖果a千克和乙种糖果b千克，混合后的糖果每千克售价为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵商店有甲种糖果a千克，每千克售价m元；乙种糖果b千克，每千克售价n元， ∴甲乙两种糖果混合后共有（a+b）千克，甲乙两种糖果共售（am+bn）元， ∴将甲乙两种糖果混合出售，每千克售价应为； 故选：C． 【举一反三2】“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向车道，其中，AB＝2BC＝10米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的1.3倍，求小刚通过AB的速度．设小刚通过AB的速度为x米/秒，则根据题意通过BC所用的时间为（　　）秒. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵AB＝2BC＝10米， ∴BC＝5米． ∵小刚通过AB的速度为x米/秒，通过BC的速度是通过AB的1.3倍， ∴小刚通过BC的速度为1.3x米/秒． ∴过AB所用时间秒；过BC所用时间秒． 故选：D． 【举一反三3】王老师骑自行车用了m h到达距离家n km的学校，则王老师的平均速度是　　　　km/h；若乘公共汽车则可少用0.2 h，则公共汽车的平均速度是　　　　　km/h. 【答案】 　 【举一反三4】列代回答下列问题： （1）打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字2h，打字速度为w字/min，第二天打字速度比第一天快了10字/min，两天打完全部文件，第二天她打字用了多长时间？ （2）某村种植了m hm2玉米，总产量为n kg；水稻的种植面积比玉米的种植面积多p hm2，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多q kg．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位：kg/hm2）的式子． （3）有四块小场地，第一块是边长为a米的正方形，第二块是边长b米的正方形，其余两块都是长a米，宽b米的长方形．另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为2（a+b）米，用最简单的式子表示出大长方形的宽． 【答案】解：（1）由题知， 第二天打的字数为：12000﹣120w， 又第二天的打字速度为（w+10）字/min， 所以第二天她打字用的时间为： min． （2）因为玉米种植面积为m hm2， 且玉米的总产量为n kg， 所以玉米的单位面积的产量为： kg/hm2． 因为水稻的种植面积为（m+p）hm2， 且水稻的总产量为（2n+q）kg， 所以水稻的单位面积的产量为： kg/hm2． （3）这四块场地面积的和为：a2+2ab+b2＝（a+b）2， ∵大长方形的面积等于这四块场地面积的和， ∴大长方形的宽＝＝（米）． 【举一反三5】汽车的速度为x千米/时，小明走路的速度为y千米/时，如果汽车和小明从同一时间出发，且小明先走3小时，那么汽车多长时间才能追上他？ 【答案】解：汽车追上小明的时间为小时． 【题型9】判断分式变形是否正确 【典例】分式－可变形为(　　) A.    B. C.－    D. 【答案】B 【解析】 原式为－，根据分式的基本性质，分式的负号可以调整到分母，即－. 【举一反三1】下列各式从左到右的变形正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：选项A：分子、分母同加m，不符合分式的基本性质； 选项B：分子、分母都乘以c，但当c=0时，不成立； 选项C：分子、分母都除以m，且隐含m≠0，符合分式的基本性质； 选项D：分子乘以a，分母乘以b，分式的值改变. 【举一反三2】填空：(1)； (2)； (3)； (4)(b≠0). 【答案】 解　(1)因为，所以括号中应填x. (2)因为，所以括号中应填2x. (3)因为，所以括号中应填a. (4)因为，所以括号中应填2ab－b2. 【举一反三3】当a，b满足关系　 　时，分式＝． 【答案】a≠b． 【解析】解：依题意得 a﹣b≠0， 解得 a≠b． 故答案为：a≠b． 【举一反三4】根据分式的基本性质，完成下列各等式． （1）＝； （2）＝； （3）（b≠0）； （4）； （5）3x﹣2＝； （6）． 【答案】解：（1）＝（b≠0）； （2）＝； （3）＝（b≠0； （4）＝，（x≠0且y≠0）； （5）3x﹣2＝，； （6）＝； 故答案为：b，y，2ab+2b2，x，9x2﹣4，2m2﹣2mn； 【题型10】分式的分子、分母及分式本身正负号变化规律 【典例】与分式 相等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：A．＝﹣，故本选项不符合题意； B．＝﹣，故本选项不符合题意； C．＝，故本选项符合题意； D．＝，故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】下列等式中，从左向右的变形正确的是（　　） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝﹣ 【答案】C 【解析】解：A：＝﹣，∴不符合题意； B：，∴不符合题意； C：＝＝，∴符合题意； D：＝﹣，∴不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵＝﹣， 故选：C． 【举一反三3】不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“﹣”号：﹣＝　                 　． 【答案】 【解析】解：﹣＝， 故答案为：． 【举一反三4】不改变分式的值，使分式的分子，分母的最高次项系数都是正数，则＝　                  　． 【答案】﹣． 【解析】解：原式＝﹣， 故答案为：﹣． 【举一反三5】不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数． (1)； (2). 【答案】 解 (1). (2). 【题型11】不改变分式值将分式分子与分母各项系数化为整数 【典例】不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：原式=.故选D. 【举一反三1】下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A选项，分式的分子和分母都乘2，分式的结果不变，故该选项符合题意； B选项，原式＝＝，故该选项不符合题意； C选项，x+1不能变形成x﹣1，故该选项不符合题意； D选项，原式＝，故该选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三2】若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【答案】D 【解析】解：∵a≠b， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：D． 【举一反三3】不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得　                  　． 【答案】 【解析】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分式分母同乘以10， 即＝＝． 故答案为：． 【举一反三4】不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是          ． 【答案】 【举一反三5】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的系数都化为整数： (1)；(2). 【答案】 解　(1)原式＝. (2)原式＝. 【举一反三6】不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数． （1）；（2）． 【答案】解：（1）；                                 （2） 【题型12】将分式分子与分母中字母扩大或缩小后判断分式值的变化 【典例】若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A.3x+2y B.3x+3 C.2xy D.3 【答案】A 【解析】解：当A＝3x+2y时，分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，故选项A符合题意； 当A＝3x+3时，分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项B不符合题意； 当A＝2xy时，分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项C不符合题意； 当A＝3时，分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项D不符合题意； 故选：A． 【举一反三1】将下列各式中x，y（x≠0，y≠0）的值均扩大2倍后，分式值一定不变的有（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵分式中x，y（x≠0，y≠0）的值都扩大为原来的2倍， A、＝，分式值变为原来的，故本选项不符合题意； B、＝，分式值改变了，故本选项不符合题意； C、，分式值没有改变，本选项符合题意； D、＝，分式值改变了，故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】若将中的x与y同时扩大为原来的2倍，则分式的值将是原来的(　　) A.不变 B.2倍 C.4倍 D. 【答案】C 【解析】把分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到=， 则分式的值将是原来的4倍. 【举一反三3】把分式中x、y的值都扩大2倍，则的值 　           　． 【答案】扩大为原来的2倍． 【解析】解：根据题意得：＝＝， 所以如果把分式中x、y的值都扩大2倍，那么的值扩大为原来的2倍． 故答案为：扩大为原来的2倍． 【举一反三4】某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中，x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中，x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】 解 （1）①当，时，. ②当，时，. （2）当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍. （3）当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 【题型13】分式的约分 【典例】化简：，括号内应填（　　） A.4xy B.2y C.2xy D.2x 【答案】C 【解析】解：＝＝， 故选：C． 【举一反三1】对分式约分的结果是（　　） A.-1 B.-2x C. D. 【答案】C 【解析】解：原式==.故选：C． 【举一反三2】分式约分的结果是 　                  　． 【答案】﹣． 【解析】解： ＝ ＝﹣． 故答案为：﹣． 【举一反三3】按要求答题： (1)约分； (2)通分，. 【答案】 解　(1)＝－. (2)∵， ∴两个分式的最简公分母为xy， ∴；. 【题型14】最简分式 【典例】下列分式中是最简分式的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵＝a，＝，＝， ∴A，C，D三个选项都不是最简分式； 的分子与分母没有公因式，是最简分式． 【举一反三1】若是一个最简分式，则△可以是（　　） A.x B. C.3 D.3x 【答案】A 【解析】解：A、Δ＝x，原式是最简分式，故A符合题意； B、Δ＝，原式不是分式，故B不符合题意； C、Δ＝3，原式不是分式，故，C不符合题意； D、Δ＝3x，原式＝＝，原式不是最简分式，故D不符合题意． 故选：A． 【举一反三2】下列分式是最简分式的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、是最简分式，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三3】分式的最简分式是　            　． 【答案】 【解析】解：＝＝； 故答案为：． 【举一反三4】将分式化为最简分式，所得结果是 　      　． 【答案】． 【解析】解：＝＝． 故答案为：． 【举一反三5】分式是最简分式吗？若不是最简分式请把它化为最简分式，并求出x=2时此分式的值． 【答案】解：分式不是最简分式． 原式==， 当x=2时，原式==． 【举一反三6】将下列分式分别化成最简分式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】解：（1）原式=2mn2； （2）原式=-； （3）原式=， （4）原式=2x+2y． 【题型15】约分与整体思想综合求分式的值 【典例】已知＝，则的值为(　　) A. B. C.3 D. 【答案】B 【解析】解：∵＝，∴a＝2b, ∴＝＝. 【举一反三1】若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵＝， ∴b＝， 则＝＝． 故答案为：A． 【举一反三2】若表示一个整数，则整数x可取的值共有（　　） A.8个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】B 【解析】解：∵表示一个整数， ∴2x﹣1=﹣1，﹣2，﹣3，1，2，3， 解得：x=0，﹣，﹣1，1，，2， 则整数x的值共有4个．故选B. 【举一反三3】已知≠0，则分式的值为 　     　． 【答案】． 【解析】解：设＝k（k≠0），则x＝2k，y＝3k，z＝5k， ∴． 故答案为：． 【举一反三4】已知b2﹣4a＝0，求代数式的值． 【答案】解：∵b2﹣4a＝0， ∴b2＝4a， ∴ ＝ ＝ ＝1． 【举一反三5】已知=，求的值． 【答案】解：∵， ∴=9， x﹣+1=9， x﹣=8， ∴==+2+1=83+3=67， ∴=． 【题型16】最简公分母 【典例】分式与的最简公分母是（　　） A.a﹣1 B.3（a﹣1） C.3（a﹣1）2 D.﹣3（a﹣1）2 【答案】B 【解析】解：∵3a﹣3＝3（a﹣1），1﹣a＝﹣（a﹣1） ∴分式与的最简公分母是3（a﹣1） 故选：B． 【举一反三1】分式，，的最简公分母是（　　） A.3x B.x C.6x2 D.6x2y2 【答案】D 【解析】解：，，的分母分别是3xy、2x2、6xy2，故最简公分母为6x2y2． 故选：D． 【举一反三2】分式的最简公分母是（　　） A.24a2b2c2 B.24a6b4c3 C.24a3b2c3 D.24a2b3c3 【答案】C 【解析】解：3，2，8的最小公倍数为24， a2b，ab2，a3bc3的最小公倍数为a3b2c3， ∴分式的最简公分母为24a3b2c3， 故选：C． 【举一反三3】分式，，的最简公分母是                . 【答案】24xyz2 【解析】解：∵分式，，的分母分别为：12x，6xy，8z2， ∴分式，，的最简公分母是24xyz2． 【举一反三4】式子和的最简公分母是　              　． 【答案】（x+y）2（x﹣y）． 【解析】解：两个分式的分母分别为（x+y）2，（x+y）（x﹣y）， 所以分式的最简公分母为（x+y）2（x﹣y）， 故答案为：（x+y）2（x﹣y）． 【举一反三5】指出下列各式的最简公分母． （1）、；（2）、、；（3）、、；（4）与 【答案】解：（1）最简公分母为10x3y2； （2）最简公分母为12x3z2y； （3）最简公分母为（1﹣a）3； （4）最简公分母为x（x﹣3）（x+3）． 【题型17】分式的通分 【典例】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【举一反三1】分式通分的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：的最简公分母为12a2b2c， ∴分式通分的结果为、、． 故选：A． 【举一反三2】将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【举一反三3】把，通分，则＝　          　，＝　            　． 【答案】，． 【解析】解：＝，＝． 故答案为：，． 【举一反三4】将通分后的结果分别为 　       　． 【答案】． 【解析】解：（1）的最简公分母为12xy2， 故；；． 故答案为：． 【举一反三5】通分： (1)x-y，； (2)，； (3)，，. 【答案】解　(1)最简公分母是x+y， x-y==， =. (2)最简公分母是2， ===， ===. (3)最简公分母是-3， =， =， =. 【举一反三6】通分：和． 【答案】解：最简公分母为10a2b3c，==； ==． 学科网（北京）股份有限公司 $