21.2 一元二次方程的解法（讲义，4知识2拓展6题型+分层课时巩固）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法的原理与步骤，从特殊形式到一般解法递进，结合易错点分析，构建从基础到拓展的学习支架。 资料特色在于融合数学眼光与思维，如配方法的几何解释培养几何直观，题型分类中的规范书写与错误分析提升运算能力，分层练习与随学随练助力学生用数学语言解决问题。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 课标要点 理解因式分解法、配方法，能用配方法、公式法解数字系数的一元二次方程；掌握直接开平方法解特殊形式的一元二次方程。 学习重难点 学习重点 因式分解法：利用"若 ，则 或 "的原理，将方程化为两个一次因式乘积为零的形式求解。 直接开平方法：形如 （）或 （）的方程的解法。 配方法：通过配方将一元二次方程转化为 的形式，再用开平方法求解。 公式法：理解求根公式的推导过程，能用求根公式 解一元二次方程。 根据方程特征灵活选择最优解法。 学习难点 因式分解法中正确、快速地对二次三项式进行因式分解（十字相乘法的熟练运用）。 配方法中"两边同时加上一次项系数一半的平方"的理解与正确操作，尤其是二次项系数不为1时的配方。 求根公式推导过程中对 符号的讨论（、、三种情况）。 含字母系数或参数的一元二次方程的解法讨论（根的存在性、分类讨论）。 避免解方程时的常见错误：漏根、符号错误、配方时漏项、公式中 b 的符号处理等。 知识点 因式分解法 1. 原理：若两个因式的积等于零，则至少有一个因式等于零。即如果 ，那么 或 。 2. 解题步骤： 第一步（移项）：将方程右边化为0（所有项移到左边）。 第二步（分解）：将方程左边分解为两个一次因式的乘积。 第三步（降次）：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程。 第四步（求解）：解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 3. 常用因式分解方法： 提公因式法：如 平方差公式：，如 完全平方公式：，如 十字相乘法：，如 特别提醒 解方程时不能两边同时除以含有未知数的代数式（否则会丢根），必须移项后因式分解。 随学随练 1.（25-26九年级下·上海·阶段检测）方程的根是_______． 知识点直接开平方法 1. 原理：根据平方根的定义，若 （），则 。 2. 适用方程： 形如 （）的方程，解为 ，。 形如 （）的方程，解为 ，再解两个一元一次方程。 特别提醒 当 时，方程没有实数根（因为任何实数的平方都非负）。 随学随练 2.（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 知识点配方法 1. 定义：通过添项（加上一次项系数一半的平方），把方程左边配成完全平方式，再用直接开平方法求解的方法叫做配方法。 2. 解题步骤（以 ， 为例）： 第一步（移项）：把常数项移到方程右边，得 第二步（化1）：方程两边同时除以二次项系数 ，得 第三步（配方）：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 。 第四步（变形）：左边化为完全平方式 第五步（开方）：若右边 ，两边开平方求解；若右边 ，方程无实数根。 配方口诀 "二次系数化为一，常数要往右边移，一次系数一半方，两边加上最相当。" 随学随练 3.用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点 公式法 1. 求根公式：对于一元二次方程 （），当 时，方程的实数根为： 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 2. 根的判别式： 叫做一元二次方程根的判别式。 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根 ； 当 时，方程没有实数根。 3. 解题步骤： 第一步：将方程化为一般形式 ，确定 、、 的值（注意符号）。 第二步：计算判别式 ，判断根的情况。 第三步：若 ，代入求根公式计算；若 ，直接写出"无实数根"。 随学随练 4.用公式法解方程：． 拓展 配方法的应用 配方法不仅是代数技巧，还有直观的几何解释。对于 ，我们可以看作一个边长为 的正方形和两个长为 、宽为 的矩形。将这两个矩形分别拼在正方形的两侧，再补上一个边长为 的小正方形，就构成了一个边长为 的大正方形。这正是"配方"一词的来源——补上缺失的小正方形，使图形成为完整的正方形。 活学活用 5．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为______． 拓展 换元法解特殊一元二次方程 对于某些结构特殊的方程，可以通过换元简化求解： 例如解方程 设 ，则原方程化为 解得 ， 当 时，，即 ，解得 ，； 当 时，，即 ，，无实数根。 所以原方程的解为 ，。 活学活用 6．（25-26八年级上·上海·期末）已知为实数，且，则的值是___________． 题型 因式分解法——十字相乘法 ▌例1-1 解方程：． ▌例1-2 （25-26八年级上·上海·期末）解方程：． ▌对点练1-1 （24-25八年级上·上海·期中）解方程：．解题贴士 对于 型方程，若能找到两个数 、，使 ，，则可分解为 。 ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海闵行·期末）解方程：． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 题型 直接开平方法的应用 ▌例2-1 （25-26八年级上·上海普陀·期末）方程的根是______． ▌例2-2 （25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）解方程： ▌例2-3 （25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 解题贴士 遇到方程左边是完全平方式（或可化为完全平方式），右边是非负常数时，优先使用直接开平方法。注意开平方后要取正负两个值，不能漏解。 ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）方程的根是___________． ▌对点练2-2 （24-25八年级上·上海杨浦·期中）方程的解是______． ▌对点练2-3 （24-25八年级上·上海嘉定·阶段检测）解方程： ▌对点练2-4 （25-26八年级上·上海·期中）解方程：： 题型 配方法的规范书写 ▌例3-1 用配方法解方程：． ▌例3-2 （25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） ▌例3-3 （（24-25八年级上·上海·阶段检测）解方程： 解题贴士 配方法的关键是"两边同时加上一次项系数一半的平方"。当二次项系数不为1时，务必先将二次项系数化为1再配方。配方后右边若为负数，直接得出"无实数根"。 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海宝山·期末）用配方法解方程：． ▌对点练3-2 （25-26八年级上·上海奉贤·期末）用配方法解方程：． ▌对点练3-3 （25-26八年级上·上海金山·阶段检测）解方程：． 题型 公式法中符号的处理 ▌例4-1 解方程：； ▌例4-2 （24-25八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 解题贴士 使用公式法时，最常见的错误是 的符号处理。务必先将方程化为一般形式 ，再准确写出 、、（带上符号）。建议先算 ，再代入公式。 ▌对点练4-1 （25-26八年级上·上海青浦·期末）解方程：． ▌对点练4-2 （25-26八年级上·上海黄浦·期末）解方程：． ▌对点练4-3 （25-26八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 题型 配方法的应用 ▌例5-1 （25-26八年级上·上海·期末）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． ▌例5-2 已知代数式． (1)当时，求代数式的值； (2)求当x为何值时，代数式的值为0． ▌对点练5-1 （24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是______． ▌对点练5-2 我们知道：对于任何实数x． ①∵x2≥0， ∴x2+1＞0； ②∵（x﹣）2≥0， ∴（x﹣）2+＞0． 模仿上述方法解答： 求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0； （2） 不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值． ▌对点练5-3 小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为11． 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对偶； (2)当或时，关于x的多项式的值相等，求b的值； (3)若整式关于对偶，求n的值． 题型 换元法解一元二次方程 ▌例6-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： ▌例6-2 （25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． ▌对点练6-1（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（为正整数）． ▌对点练6-2 阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． ▌对点练6-3 （25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）方程的解为________． 3．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）一元二次方程的解______． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知是关于的方程的一个根，那么的值是______． 5．（25-26八年级上·上海·期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 6．（25-26八年级上·上海·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 7．（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 8．（25-26八年级上·上海虹口·期中）用配方法解方程． 9．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）解方程 (1) (2) 10．（25-26八年级上·上海·期末）用适当的方法解方程： (1) (2) 素养提升 1．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 2.如果，那么的值为（    ） A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或 3．（25-26八年级上·上海青浦·期末）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A．15 B．11和13 C．11 D．13 4．（25-26八年级上·上海·期中）定义新运算：．例如：，则关于x的方程的解为________． 5．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若x、y为实数，且，则___________． 7．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知点是在线段上，满足，若，则线段的长为_____． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）小明发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到，则___________． 9．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 10．已知一元二次方程有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 11．（25-26八年级上·上海松江·期末）按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． (1)小华的解法是错误的，原因是____________ (2)小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 迁移创新 1．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 3．（25-26八年级上·上海·期中）已知方程和方程的根完全相同，则_____． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）将正方形沿虚线（其中）剪成①、②、③、④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则_____． 5．（25-26八年级上·上海·期中）方程的解为___________． 6．（25-26八年级上·上海·期中）已知是有理数，并且满足，求的值． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料：将边长分别为的正方形面积分别记为，则．例如：当时，． 根据以上材料解答下列问题： (1)当时，________；________． (2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数．从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想． (3)当时，令，且，若，求的值． 9．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 课标要点 理解因式分解法、配方法，能用配方法、公式法解数字系数的一元二次方程；掌握直接开平方法解特殊形式的一元二次方程。 学习重难点 学习重点 因式分解法：利用"若 ，则 或 "的原理，将方程化为两个一次因式乘积为零的形式求解。 直接开平方法：形如 （）或 （）的方程的解法。 配方法：通过配方将一元二次方程转化为 的形式，再用开平方法求解。 公式法：理解求根公式的推导过程，能用求根公式 解一元二次方程。 根据方程特征灵活选择最优解法。 学习难点 因式分解法中正确、快速地对二次三项式进行因式分解（十字相乘法的熟练运用）。 配方法中"两边同时加上一次项系数一半的平方"的理解与正确操作，尤其是二次项系数不为1时的配方。 求根公式推导过程中对 符号的讨论（、、三种情况）。 含字母系数或参数的一元二次方程的解法讨论（根的存在性、分类讨论）。 避免解方程时的常见错误：漏根、符号错误、配方时漏项、公式中 b 的符号处理等。 知识点 因式分解法 1. 原理：若两个因式的积等于零，则至少有一个因式等于零。即如果 ，那么 或 。 2. 解题步骤： 第一步（移项）：将方程右边化为0（所有项移到左边）。 第二步（分解）：将方程左边分解为两个一次因式的乘积。 第三步（降次）：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程。 第四步（求解）：解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 3. 常用因式分解方法： 提公因式法：如 平方差公式：，如 完全平方公式：，如 十字相乘法：，如 特别提醒 解方程时不能两边同时除以含有未知数的代数式（否则会丢根），必须移项后因式分解。 随学随练 1.（25-26九年级下·上海·阶段检测）方程的根是_______． 【答案】， 【详解】解： 移项，得, 方程左边因式分解得 ∴或 解得，． 知识点直接开平方法 1. 原理：根据平方根的定义，若 （），则 。 2. 适用方程： 形如 （）的方程，解为 ，。 形如 （）的方程，解为 ，再解两个一元一次方程。 特别提醒 当 时，方程没有实数根（因为任何实数的平方都非负）。 随学随练 2.（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 【答案】．． 【详解】解：移项得， 开平方得，即， 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：． 知识点配方法 1. 定义：通过添项（加上一次项系数一半的平方），把方程左边配成完全平方式，再用直接开平方法求解的方法叫做配方法。 2. 解题步骤（以 ， 为例）： 第一步（移项）：把常数项移到方程右边，得 第二步（化1）：方程两边同时除以二次项系数 ，得 第三步（配方）：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 。 第四步（变形）：左边化为完全平方式 第五步（开方）：若右边 ，两边开平方求解；若右边 ，方程无实数根。 配方口诀 "二次系数化为一，常数要往右边移，一次系数一半方，两边加上最相当。" 随学随练 3.用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵配方法需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程为，一次项系数为，一半的平方为 ， ∴方程两边同时加，得， 整理得. 知识点 公式法 1. 求根公式：对于一元二次方程 （），当 时，方程的实数根为： 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 2. 根的判别式： 叫做一元二次方程根的判别式。 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根 ； 当 时，方程没有实数根。 3. 解题步骤： 第一步：将方程化为一般形式 ，确定 、、 的值（注意符号）。 第二步：计算判别式 ，判断根的情况。 第三步：若 ，代入求根公式计算；若 ，直接写出"无实数根"。 随学随练 4.用公式法解方程：． 【答案】， 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴代入求根公式得， ∴，． 拓展 配方法的应用 配方法不仅是代数技巧，还有直观的几何解释。对于 ，我们可以看作一个边长为 的正方形和两个长为 、宽为 的矩形。将这两个矩形分别拼在正方形的两侧，再补上一个边长为 的小正方形，就构成了一个边长为 的大正方形。这正是"配方"一词的来源——补上缺失的小正方形，使图形成为完整的正方形。 活学活用 5．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为______． 【答案】10 【详解】解：由题意得 ， 即． ∴． 故答案为：10． 拓展 换元法解特殊一元二次方程 对于某些结构特殊的方程，可以通过换元简化求解： 例如解方程 设 ，则原方程化为 解得 ， 当 时，，即 ，解得 ，； 当 时，，即 ，，无实数根。 所以原方程的解为 ，。 活学活用 6．（25-26八年级上·上海·期末）已知为实数，且，则的值是___________． 【答案】4 【详解】解：设，则， 原方程化为， 即， ， ， 解得或， 由于，故， 即． 故答案为：4． 题型 因式分解法——十字相乘法 ▌例1-1 解方程：． 【答案】， 【详解】解： 化简得：， ， 或， ，． ▌例1-2 （25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解： ∴，即 则或， ∴ ▌对点练1-1 （24-25八年级上·上海·期中）解方程：．解题贴士 对于 型方程，若能找到两个数 、，使 ，，则可分解为 。 【答案】， 【详解】解：移项，得： 或 解得或 所以，原方程的根是， ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 移项得， 因式分解得， 即， 所以或， 解得． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】，． 【详解】解： 即 解得， 解得， ∴原方程的解为，． 题型 直接开平方法的应用 ▌例2-1 （25-26八年级上·上海普陀·期末）方程的根是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即或， 解，得，， 解，得，， ∴方程的根是， 故答案为：． ▌例2-2 （25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）解方程： 【答案】， 【详解】解：， 移项，得， 直接开平方，得 所以， ▌例2-3 （25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：将方程两边开平方得： ， 或， 解得：，． 解题贴士 遇到方程左边是完全平方式（或可化为完全平方式），右边是非负常数时，优先使用直接开平方法。注意开平方后要取正负两个值，不能漏解。 ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）方程的根是___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． ▌对点练2-2 （24-25八年级上·上海杨浦·期中）方程的解是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． ▌对点练2-3 （24-25八年级上·上海嘉定·阶段检测）解方程： 【答案】， 【详解】解：， ， ， ，． ▌对点练2-4 （25-26八年级上·上海·期中）解方程：： 【答案】， 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 题型 配方法的规范书写 ▌例3-1 用配方法解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ▌例3-2 （25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，. ▌例3-3 （（24-25八年级上·上海·阶段检测）解方程： 【答案】，． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：，． 解题贴士 配方法的关键是"两边同时加上一次项系数一半的平方"。当二次项系数不为1时，务必先将二次项系数化为1再配方。配方后右边若为负数，直接得出"无实数根"。 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海宝山·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，． ▌对点练3-2 （25-26八年级上·上海奉贤·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【详解】解：原方程为， 两边同除以得， 移项，得， 配方，两边加上，得， 即， 开平方，得， 解得； 所以原方程的根为：，． ▌对点练3-3 （25-26八年级上·上海金山·阶段检测）解方程：． 【答案】 【详解】解：整理，得， 配方，得， 即， 则， ∴， ∴． 题型 公式法中符号的处理 ▌例4-1 解方程：； 【答案】， 【详解】解： ，，， ， ∴， 解得，． ▌例4-2 （24-25八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴小海的求解过程从第步开始出现错误， 故答案为：； （2）解：， ， ，，， ， ， ∴，． 解题贴士 使用公式法时，最常见的错误是 的符号处理。务必先将方程化为一般形式 ，再准确写出 、、（带上符号）。建议先算 ，再代入公式。 ▌对点练4-1 （25-26八年级上·上海青浦·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，． ▌对点练4-2 （25-26八年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 原方程可变为：， ， ∴， 即，． ▌对点练4-3 （25-26八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解： ∴， ∴， ∴，． 题型 配方法的应用 ▌例5-1 （25-26八年级上·上海·期末）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【答案】2026 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． ▌例5-2 已知代数式． (1)当时，求代数式的值； (2)求当x为何值时，代数式的值为0． 【详解】（1）解： ， 当时， ； （2）解：由题意，得， ， ， ， ． ▌对点练5-1 （24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是______． 【答案】 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． ▌对点练5-2 我们知道：对于任何实数x． ①∵x2≥0， ∴x2+1＞0； ②∵（x﹣）2≥0， ∴（x﹣）2+＞0． 模仿上述方法解答： 求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0； （2）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值． 【答案】 证明：(1)∵2x2+4x+3 =2(x2+2x)+3 =2(x2+2x+1)+1 =2(x+1)2+1⩾1>0. 2x2+4x+3>0 (2)∵3x2−5x−1−(2x2−4x−7) =3x2−5x−1−2x2+4x+7 =x2−x+6 =(x−)2+>0， ∴多项式3x2−5x−1的值总大于2x2−4x−7的值. ▌对点练5-3 小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为11． 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对偶； (2)当或时，关于x的多项式的值相等，求b的值； (3)若整式关于对偶，求n的值． 【详解】（1）解：， 当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等， 多项式关于对偶， 故答案为： （2）解：， 当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等， 当或时，关于x的多项的值相等， ， 解得：； （3）解： 整式关于对偶， ． 题型 换元法解一元二次方程 ▌例6-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． ▌例6-2 （25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． ▌对点练6-1（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（为正整数）． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或， 即或， 当为偶数时，，此时仅有， ∴； 当为奇数时，或， ∴或； 综上，当为偶数时，；当为奇数时，或． ▌对点练6-2 阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【详解】（1）解：，，， ，， 故答案为：，． （2）解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． ▌对点练6-3 （25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 两边同时除以，得， 方程两边同时加，得， 即． 2．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）方程的解为________． 【答案】， 【详解】解： ， ， ， ，． 故答案为：，． 3．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）一元二次方程的解______． 【答案】或 【详解】解： ， ， 或， 解得，； 故答案为：或． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知是关于的方程的一个根，那么的值是______． 【答案】2或 【详解】解：依题意，把代入方程， 得，即，整理得， ∴， 解得或． 故答案为：2或． 5．（25-26八年级上·上海·期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 【答案】2027 【详解】解： 移项得， 配方得，即， 与对比，得，， 所以． 故答案为：2027． 6．（25-26八年级上·上海·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 【答案】8 【详解】解：由，因式分解得 ， 解得 或 （舍去负根）， ∴斜边上的高为4， 在等腰直角三角形中，斜边上的高也是斜边上的中线，且等于斜边的一半， ∴斜边长为 ， 故答案为 8． 7．（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， 8．（25-26八年级上·上海虹口·期中）用配方法解方程． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 9．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)，； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， 则， ∴，； 10．（25-26八年级上·上海·期末）用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 整理得， 开方得， 解得，； （2）解：， 展开得， 合并同类项得， 方程两边同除以2，得， 因式分解得， ∴，， 解得，． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ 即， 与比较，得, ， ∴． 故选：C． 2.如果，那么的值为（    ） A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或 【答案】C 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海青浦·期末）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A．15 B．11和13 C．11 D．13 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵三角形两边长分别为3和6， ∴当第三边长为2时，，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，舍去， 当第三边长为4时，且，满足三角形三边关系， ∴三角形的周长为． 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海·期中）定义新运算：．例如：，则关于x的方程的解为________． 【答案】， 【详解】解：由新运算定义，，则， 由题意，， 整理得， 解得，． 故答案为：，． 5．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 【答案】5 【详解】解；最简二次根式与是同类二次根式， ，即， ， 或， 解得：，， 当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 的值为5． 故答案为：5． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若x、y为实数，且，则___________． 【答案】3 【详解】解：设 ，则 ． 原方程化为 ， 即 ． 解得 或 ． 由于 ， 故 ． 因此 ． 故答案为：3 7．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知点是在线段上，满足，若，则线段的长为_____． 【答案】 【详解】解：设， ∵点在线段上，， ∴， 将，代入得：， 展开整理得：， ∴， ∵，，不符合题意，舍去， ∴． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）小明发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到，则___________． 【答案】或 【详解】解：由题意得，， ∴，即， ∴， 解得或， 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 【答案】或 【详解】解：， 因式分解得， 解得，； 方程的根为，． 由题意，，得或，得； 故的值为或； 故答案为：或． 10．已知一元二次方程有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 【答案】；方程的另一根为 【详解】解：一元二次方程有一个根为， 将代入方程得， 因式分解得， 解得， 原方程是一元二次方程，二次项系数不为， ，即， ， 将代入原方程得 ， 整理得， 提取公因式得， 解得， 方程的另一根为． 11．（25-26八年级上·上海松江·期末）按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． (1)小华的解法是错误的，原因是____________ (2)小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 【详解】（1）解：小华的解法是错误的，原因是：两边同时除以，可能为0． 故答案为：可能为0 （2）小海的解法是错误的，正确的过程如下：     整理得 解得，． 所以原方程的根是，． 迁移创新 1．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 【答案】 【详解】解：设等腰中，顶角，（腰长），（底边长）， ∴ ． 作的平分线交于点． 则， ， ． ， ， ， ∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴它们的腰和底的比相等， 即， 代入得， 整理得， 两边同除以， 设， 得， 解得， ， ． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 【答案】或 【详解】方程 的两根为，． 两根距离为． 即， 解得或， 所以或． ． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·上海·期中）已知方程和方程的根完全相同，则_____． 【答案】 【详解】解：解方程 ，得 ，． 将 代入方程 ， 得 ， 即 ， ， ， 所以 ． 则第二个方程为 ， 两边乘以2，得 ． 解此方程，， 所以 ，． 因此 ， 故 ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）将正方形沿虚线（其中）剪成①、②、③、④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则_____． 【答案】 【详解】解：根据题意，正方形的面积为， 拼成一个矩形（非正方形）如下图， ∴矩形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴等式两边同时除以，整理得，， 令，则， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 5．（25-26八年级上·上海·期中）方程的解为___________． 【答案】，， 【详解】解：原方程为 ， 由于 ，两边除以 ，得：， 整理得：． 设 ，则 ， 代入得：， 化简得：． 解该二次方程：判别式 ， ， 所以 ，． 当 时，即，两边乘以 得：， 即 ，判别式 ， ， 所以 或 ； 当 时，即，得：， 即 ，所以 ， 综上，原方程的解为 ，，． 6．（25-26八年级上·上海·期中）已知是有理数，并且满足，求的值． 【答案】14或 【详解】解： 则 ∵x，y是有理数， ∴，， ∴， ∴， ， ， 解得：，， ∴当，时，， 当，时，． ∴的值为14或． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【详解】（1）解：“”的等式含义为的算术平方根等于， 故答案为：的算术平方根等于； （2）解：①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值” 设这个数为， 则可以用数学符号语言描述为， 故答案为：； ②解：， 令， 由①得，， 则原方程为：，即， 或， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴或． 8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料：将边长分别为的正方形面积分别记为，则．例如：当时，． 根据以上材料解答下列问题： (1)当时，________；________． (2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数．从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想． (3)当时，令，且，若，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， ， ∴， ， 故答案为：； （2）解：猜想结论：， ． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，， ∵是正整数， ∴． 9．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 【详解】（1）解：∵ 第二步得到方程， 根据平方差公式， ∴ 可变形为， 即， 计算得，则， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得，． （2）∵ 原方程为，令，则方程变形为， 进一步整理为， 取两个多项式的平均值，令，设，， ∴ 原方程可化为， ∵ ， ∴ ，即，解得， 当时，，得； 当时，，得； 又∵ ， ∴ 或 ， 解得，． （3）∵ 材料中的方法本质是平方根法的推广，通过对两个一次因式取平均值换元，转化为平方差形式求解， ∴ 当一元二次方程可化成形如（其中、、为常数）的方程时，可用材料中的方法求解． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $