专题21.3 一元二次方程的判别式（7大题型+能力训练）同步培优讲义-2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）数学八年级上册　

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题21.3 一元二次方程的判别式 知识点一、一元二次方程的判别式 1、一般地，式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac． 2、利用一元二次方程的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤: ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a，b，c的值； ③计算b2﹣4ac的值； ④根据b2﹣4ac的符合判定方程根的情况． 4、运用一元二次方程的判别式时的注意事项 （1）将方程化成一般形式后才能确定a，b，c 的值． （2）确定a，b，c 的值时不要漏掉符合． 知识点二、一元二次方程的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 题型01：判别不含参一元二次方程根的情况 【例1】已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，下列说法正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数 D．无法确定 【例2】关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【例3】下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣3x＝0 B．x2﹣6x+10＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．x2＝1 题型02：判别含参方程一元二次方程根的情况 【例4】关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【例5】k为实数，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定根的情况 【例6】关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型03：已知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数） 【例7】已知关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　　． 【例8】关于x的方程x2﹣k（x+1）+x＝0有实数根，则k的取值范围是 　　． 【例9】若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【例10】若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝　．　 题型04： 已知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参数） 【例11】已知关于x的一元二次方程ax2+3x﹣4＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A．且a≠0 B．且a≠0 C． D． 【例12】若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2 【例13】关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0 【例14】已知关于x的一元二次方程（m2﹣1）x2+2（m﹣2）x+1＝0有实数根，当m取最大整数值时，代数式3x2+12x+3的值为 　　． 【例15】已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数）． （1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． （2）如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围． （3）如果该方程没有实数根，求m的取值范围． 题型05：证明一元二次方程的根的情况 【例16】关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，求证：方程总有两个实数根． 【例17】已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（m为实数） （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根； （2）该方程的两个实数根为x1、x2（x1＞x2），若x1﹣x2＝2，求正数m的值． 【例18】已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0（m为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 题型06：一元二次方程的判别式与三角形的综合运用 【例19】已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，则以a，b，c为边长的三角形说法正确的是（　　） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是90° D．边长a所对的角是90° 【例20】等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　） A．7 B．3 C．4 D．3或4 【例21】已知a、b、c是△ABC的三边，并且关于x的方程x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，正确的结论是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【例22】等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（　　） A．6 B．6或7 C．7或8 D．7 【例23】已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边． （1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由． 题型07：综合提升 【例24】已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，且该方程的两个根都是整数，求k的值并求出方程的两个整数根． 【例25】对于一元二次方程，下列说法： ①若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若，则它有一根为； ④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的 ． 【例26】有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是（　　） A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根 B．如果方程M有两个不相等的实数解，那么方程N也有两个不相等的实数解 C．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1 D．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 【例27】定义：如果代数式A＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与B＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数），满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论： （1）代数式：﹣2x2+3x的“同心式”为2x2﹣3x； （2）若8mx2+nx﹣5与6nx2+4x+5 互为“同心式”，则（m+n）2023的值为1； （3）当b1＝b2＝0 时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数； （4）若A、B互为“同心式”，A﹣2B＝0有两个相等的实数根，则＝36a1c1； 其中，正确的结论有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一、选择题 1．（2024-25八年级上上海松江期中）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 2．（2024-25民办文婍中学八年级期中）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 3．（23-24八年级上·上海金山·期中）下列方程是关于的一元二次方程，一定有实数解的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024-25八年级上上海闵行期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 5．（2024-25八年级上上海普陀期中）△ABC的三边长分别为a，b，c，关于x的一元二次方程（b﹣c）x2﹣4ax+4（b+c）＝0有两个相等的实数根，则△ABC的形状一定为（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6.（2024-25进华中学八年级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2． 其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 二、填空题 7．（2025上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）方程的根的判别式的值为__________． 8．（2023秋•徐汇区月考）已知，判断方程的解的情况：　　． 9．（2023·上海崇明·统考二模）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围为________． 10.（2022秋•静安区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　　． 11.（2021秋•越秀区校级期末）若关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 　　． 12．（2021秋•奉贤区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k可取最大整数是 　　． 13.（2023•崇川区校级开学）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+8＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 　　． 14.（2022秋•闵行区校级期中）若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为 　　． 15．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 16．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 17．（2025上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知关于x的方程的根是正整数，则整数m的值为______． 18.（2023春•浙江期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有下列说法： ①若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实数根； ②若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，则方程cx2+bx+a＝0一定有两个实数根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海长宁·期中）已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 20.（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0． (1)若该方程的一个根为1，求k的值； (2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根． 21．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）判断方程的根的情况； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 22.（2023秋•江油市校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题21.3 一元二次方程的判别式 知识点一、一元二次方程的判别式 1、一般地,式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式,通常用希腊字母“ ”表示它,即 =b2﹣4ac. 2、利用一元二次方程的判别式判断方程的根的情况. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与 =b2﹣4ac有如下关系: ①当 >0时,方程有两个不相等的实数根; ②当 =0时,方程有两个相等的实数根; ③当 <0时,方程无实数根. 上面的结论反过来也成立. 3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤: ①把一元二次方程化为一般形式; ②确定a,b,c的值; ③计算b2﹣4ac的值; ④根据b2﹣4ac的符合判定方程根的情况. 4、运用一元二次方程的判别式时的注意事项 (1)将方程化成一般形式后才能确定a,b,c 的值. (2)确定a,b,c 的值时不要漏掉符合. 知识点二、一元二次方程的判别式的逆用 在方程中, (1)方程有两个不相等的实数根﹥0; (2)方程有两个相等的实数根=0; (3)方程没有实数根﹤0. 要点: (1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围,但不能忽略二次项系数不为0这一条件; (2)若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 题型01:判别不含参一元二次方程根的情况 【例1】已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0,下列说法正确的是( ) A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根 C.方程没有实数 D.无法确定 解:∵ =(﹣3)2﹣4 2 (﹣1)=17>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 故选:B. 【例2】关于一元二次方程的根的情况,下列说法正确的是( ) A.只有一个实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 【答案】C 【解答】解:∵一元二次方程的根的判别式 =b2﹣4ac=4﹣42=0, ∴方程有两个相等的实数根, 故选:C. 【例3】下列方程中,没有实数根的是( ) A.x2﹣3x=0 B.x2﹣6x+10=0 C.x2﹣6x+9=0 D.x2=1 解:A.此方程根的判别式 =(﹣3)2﹣4 1 0=9>0,有两个不相等的实数根,不符合题意; B.此方程根的判别式 =(﹣6)2﹣4 1 10=﹣4<0,没有实数根,符合题意; C.此方程根的判别式 =(﹣6)2﹣4 1 9=0,有两个相等的实数根,不符合题意; D.此方程根的判别式 =02﹣4 1 (﹣1)=4>0,有两个不相等的实数根,不符合题意; 故选:B. 题型02:判别含参方程一元二次方程根的情况 【例4】关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 解:∵ =(﹣a)2﹣4 (﹣2)=a2+8>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 故选:B. 【例5】k为实数,则关于x的一元二次方程x2﹣(k+1)x+k=0的根的情况是( ) A.有两个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定根的情况 【答案】A 【解答】解: =b2﹣4ac=[﹣(k+1)]2﹣4 1 k=(k+1)2﹣4k=(k﹣1)2≥0. ∴方程有两个实数根. 故选:A. 【例6】关于x的一元二次方程x2﹣(k+1)x+k﹣1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【答案】A 【解答】解:∵x2﹣(k+1)x+k﹣1=0, =[﹣(k+1)]2﹣4(k﹣1)=k2﹣2k+5)=k2+2k+1﹣4k+4=k2﹣2k+1+4=(k﹣1)2+4>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 故选:A. 题型03:已知根的情况求参数的取值范围(二次项系数为常数) 【例7】已知关于x的一元二次方程2x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 m< . 解:∵关于x的一元二次方程2x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根, ∴ =(﹣1)2﹣4 2m=1﹣8m>0, 解得:m<. 故答案为:m<. 【例8】关于x的方程x2﹣k(x+1)+x=0有实数根,则k的取值范围是 . 解:方程x2﹣k(x+1)+x=0整理得x2+(1﹣k)x﹣k=0, ∵关于x的方程x2﹣k(x+1)+x=0有实数根, ∴ =(1﹣k)2+4k=(k+1)2≥0, 解得k是一切实数. 故答案为:一切实数. 【例9】若关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式,根据方程有两个不相等的实数根,结合二次根式有意义的条件,列出不等式进行求解即可. 【详解】解:∵关于的方程有两个不相等的实数根, ∴且, 解得:; 故选B. 【例10】若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根,则= . 【思路点拨】由二次方程有实根,得到 ≥0,即 =4(1+a)2﹣4(3a2+4ab+4b2+2)≥0,通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0,从而得到a,b的方程组,解方程组即可求出它们的比. 【规范解答】解:∵方程有实根, ∴ ≥0,即 =4(1+a)2﹣4(3a2+4ab+4b2+2)≥0, 化简得:2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0, ∴(a+2b)2+(a﹣1)2≤0,而(a+2b)2+(a﹣1)2≥0, ∴a+2b=0,a﹣1=0,解得a=1,b=﹣, 所以=﹣. 故答案为﹣. 题型04: 已知根的情况求参数的取值范围(二次项系数含参数) 【例11】已知关于x的一元二次方程ax2+3x﹣4=0有两个实数根,则a的取值范围是( ) A.且a≠0 B.且a≠0 C. D. 【思路点拨】根据关于x的一元二次方程ax2+3x﹣4=0有实数根得出 ≥0且a≠0,求出a的取值范围即可. 【规范解答】解:∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣4=0有实数根, ∴ =9+16a≥0且a≠0, 解得且a≠0, 故选:A. 【例12】若关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣2x﹣1=0有实数根,则实数k的取值范围是( ) A.k>3 B.k≥﹣3 C.k>﹣3且k≠﹣2 D.k≥﹣3且k≠﹣2 【答案】D 【解答】解:由题意可知: =4+4(k+2)≥0, ∴解得:k≥﹣3, ∵k+2≠0, ∴k≥﹣3且k≠﹣2, 故选:D. 【例13】关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A.k>﹣1 B.k<1 C.k>﹣1且k≠0 D.k<1且k≠0 解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根, ∴k≠0且 >0,即(﹣2)2﹣4 k (﹣1)>0, 解得k>﹣1且k≠0. 故选:C. 【例14】已知关于x的一元二次方程(m2﹣1)x2+2(m﹣2)x+1=0有实数根,当m取最大整数值时,代数式3x2+12x+3的值为 . 解:根据题意得m2﹣1≠0且 =4(m﹣2)2﹣4(m2﹣1)≥0, 解得m≤且m≠ 1, 所以m的最大整数值为0, 所以原方程变形为﹣x2﹣4x+1=0, 即x2+4x=1, 所以3x2+12x+3=3(x2+4x)+3=3 1+3=6. 故答案为:6. 【例15】已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2x=1(m为实数). (1)如果该方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围. (2)如果该方程有两个相等的实数根,求m的取值范围. (3)如果该方程没有实数根,求m的取值范围. 解:关于x的一元二次方程(m+1)x2+2x=1(m为实数), a=m+1,b=2,c=﹣1, ∴ =4+4(m+1)=4m+8, (1)根据题意,得 =4m+8>0,m+1≠0, 解得m>﹣2且m≠﹣1; (2)根据题意,得 =4m+8=0, 解得m=﹣2; (3)根据题意,得 =4m+8<0, 解得m<﹣2. 题型05:证明一元二次方程的根的情况 【例16】关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0,求证:方程总有两个实数根. 证明:对于一元二次方程x2﹣(k+3)+2k+2=0, ∵ =(k+3)2﹣4 (2k+2)=k2+6k+9﹣8k﹣8=k2﹣2k+1=(k﹣1)2≥0, ∴方程总有两个实数根. 【例17】已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2=0.(m为实数) (1)求证:无论m取何值,该方程总有两个实数根; (2)该方程的两个实数根为x1、x2(x1>x2),若x1﹣x2=2,求正数m的值. (1)证明:∵ =(﹣4m)2﹣4 1 3m2=4m2≥0, ∴无论m取何值,该方程总有两个实数根; (2)解:∵x2﹣4mx+3m2=0,即(x﹣m)(x﹣3m)=0, 解得:x=m或x=3m, ∵m>0,x1>x2, ∴x1=3m,x2=m, ∵x1﹣x2=2, ∴3m﹣m=2, ∴m=1. 【例18】已知:关于x的一元二次方程mx2﹣3(m﹣1)x+2m﹣3=0(m为实数) (1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围; (2)求证:无论m为何值,方程总有一个固定的根. 【答案】(1)m≠3且m≠0; (2)见解析. 【解答】解:(1) =b2﹣4ac=[﹣3(m﹣1)]2﹣4m(2m﹣3)=(m﹣3)2, ∵方程有两个不相等的实数根, ∴(m﹣3)2>0且m≠0, ∴m≠3且m≠0, ∴m的取值范围是m≠3且m≠0; (2)由求根公式得: , ∴, , ∴无论m为何值,方程总有一个固定的根是1. 题型06:一元二次方程的判别式与三角形的综合运用 【例19】已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0有两个相等的实数根,则以a,b,c为边长的三角形说法正确的是( ) A.三角形是锐角三角形 B.三角形是钝角三角形 C.边长c所对的角是90 D.边长a所对的角是90 【答案】D 【解答】解:∵关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0有两个相等的实数根, ∴, ∴a2=b2+c2, ∴以a,b,c为边长的三角形是直角三角形,且边长a所对的角是90 . 故选:D. 【例20】等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k=0的两个根,则k的值为( ) A.7 B.3 C.4 D.3或4 【思路点拨】当底边为3,利用根的判别式的意义得到 =(﹣4)2﹣4k=0,解得k=4;当腰为3时,把x=3代入关于x的方程x2﹣4x+k=0得9﹣12+k=0,解得k=3. 【规范解答】解:当底边为3,两腰为关于x的方程x2﹣4x+k=0的两个根, ∴ =(﹣4)2﹣4k=0, 解得k=4, 此时方程为x2﹣4x+4=0,解得x1=x2=2, 当腰为3时,把x=3代入关于x的方程x2﹣4x+k=0得9﹣12+k=0, 解得k=3, 此时方程为x2﹣4x+3=0,解得x1=1,x2=3, 三角形三边分别为3、3、1, 综上所述,k的值为4或3. 故选:D. 【例21】已知a、b、c是 ABC的三边,并且关于x的方程x2﹣(a+b)x+2ab+c2=0有两个相等的实数根,判断 ABC的形状,正确的结论是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】B 【解答】解:∵a、b、c是 ABC三边,并且关于x的方程x2﹣(a+b)x+2ab+c2=0有两个相等的实数根, ∴ =[﹣(a+b)]2﹣4(2ab+c2)=0, ∴a2+b2=c2, ∴∠C=90 , 即 ABC是直角三角形, 故选:B. 【例22】等腰三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2=0的两个根,则n的值为( ) A.6 B.6或7 C.7或8 D.7 【思路点拨】由三角形是等腰三角形,得到①a=2,或b=2;②a=b;①当a=2,或b=2时,得到方程的根x=2,把x=2代入x2﹣6x+n+2=0即可得到结果;②当a=b时,方程x2﹣6x+n+2=0有两个相等的实数根,由 =(﹣6)2﹣4(n+2)=0可得结果. 【规范解答】解:∵三角形是等腰三角形, ∴①a=2,或b=2;②a=b两种情况, ①当a=2,或b=2时, ∵a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2=0的两个根, ∴x=2, 把x=2代入x2﹣6x+n+2=0得,22﹣6 2+n+2=0, 解得:n=6, 当n=6,方程的两根是2和4,而2,4,2不能组成三角形, 故n=6不合题意, ②当a=b时,方程x2﹣6x+n+2=0有两个相等的实数根, ∴ =(﹣6)2﹣4(n+2)=0 解得:n=7. 故选:D. 【例23】已知关于x的一元二次方程(a+c)x2﹣2bx﹣a+c=0,其中a,b,c为 ABC的三边. (1)若x=1是方程的根,判断 ABC的形状,并说明理由; (2)若方程有两个相等的实数根,判断 ABC的形状,并说明理由. 【思路点拨】(1)根据方程的解把x=1代入方程得到c﹣b=0,即c=b,于是由等腰三角形的判定即可得到 ABC是等腰三角形; (2)根据根的判别式得出a,b,c的关系,即可根据勾股定理的逆定理判断 ABC的形状. 【规范解答】解:(1)把x=1代入方程得, a+c﹣2b﹣a+c=0, 化简得c=b, 则该三角形ABC的形状为等腰三角形. (2)由题意可得方程有两个相等的实数根, 则方程(a+c)x2﹣2bx﹣a+c=0的判别式, =(﹣2b)2﹣4a (a+c)(﹣a+c)=0, 4b2﹣4 (c2﹣a2)=0, 化简可得b2+a2=c2, 则该三角形ABC的形状为直角三角形. 题型07:综合提升 【例24】已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)若k为正整数,且该方程的两个根都是整数,求k的值并求出方程的两个整数根. 解:(1)根据题意得: =4﹣4(2k﹣4)=20﹣8k>0, 解得:k<; (2)由k为正整数,得到k=1或2, 利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1 , ∵方程的解为整数, ∴5﹣2k为完全平方数, 则k的值为2, 将k=2代入x=﹣1 , 得x1=0,x2=﹣2 【例25】对于一元二次方程,下列说法: ①若c是方程的一个根,则一定有成立; ②若方程有两个不相等的实根,则方程必有两个不相等的实根; ③若,则它有一根为; ④若,则一元二次方程有两个不相等的实数根;其中正确的 . 【答案】②③④ 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论,可得答案. 【详解】解:若c是方程的一个根,则, ∴, ∴或,故①错误; 若方程有两个不相等的实根,则, ∴, ∴方程必有两个不相等的实根,故②正确; 若,则,即: ∴,即:, ∴它有一根为,故③正确; 若,则, 即:, ∵,∴, ∴一元二次方程有两个不相等的实数根,故④正确; 故答案为:②③④. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解,解题的关键是掌握代数式,等式的变形. 【例26】有两个一元二次方程M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中ac≠0,a≠c,下列四个结论中,错误的是( ) A.如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根 B.如果方程M有两个不相等的实数解,那么方程N也有两个不相等的实数解 C.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1 D.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根 解:A.∵方程M有两个相等的实数根, ∴ =b2﹣4ac=0, ∵方程N的 =b2﹣4ac=0, ∴方程N也有两个相等的实数根,故此选项正确,不符合题意; B.∵方程M有两个不相等的实数根, ∴ =b2﹣4ac>0, ∵方程N的 =b2﹣4ac>0, ∴方程N也有两个不相等的实数解,此选项正确,不符合题意; C.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根可能是x= 1;故此选项错误,符合题意. D.如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同时除以25,得c+b+a=0,所以是方程N的一个根,此选项正确,不符合题意; 故选:C. 【例27】定义:如果代数式A=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1、b1、c1是常数)与B=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2、b2、c2是常数),满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个代数式A与B互为“同心式”,下列四个结论: (1)代数式:﹣2x2+3x的“同心式”为2x2﹣3x; (2)若8mx2+nx﹣5与6nx2+4x+5 互为“同心式”,则(m+n)2023的值为1; (3)当b1=b2=0 时,无论x取何值,“同心式”A与B的值始终互为相反数; (4)若A、B互为“同心式”,A﹣2B=0有两个相等的实数根,则=36a1c1; 其中,正确的结论有( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【思路点拨】根据定义分别判断即可. 【规范解答】解:(1)代数式:﹣2x2+3x的“同心式”为2x2+3x,故(1)不正确; (2)若8mx2+nx﹣5与6nx2+4x+5互为“同心式”,则8m+6n=0,n=4, ∴m=﹣3, ∴(m+n)2023=1,故(2)正确; (3)当b1=b2=0时,A=a1x2+c1,B=a2x2+c2, ∵a1+a2=0,c1+c2=0, ∴a1=﹣a2,c1=﹣c2, ∴A=﹣B, ∴无论x取何值,“同心式”A与B的值始终互为相反数,故(3)正确; (4)若A、B互为“同心式”, ∴A﹣2B=(a1x2+b1x+c1)﹣2(a2x2+b2x+c2) =(a1﹣2a2)x2+(b1﹣2b2)x+(c1﹣2c2) =3a1x2﹣b1x+3c1=0, ∵有两个相等的实数根, ∴ =(﹣b1)2﹣4•3a1•3c1=0, ∴=36a1c1,故(4)正确. 故选:C. 一、选择题 1.(2024-25八年级上上海松江期中)关于一元二次方程x2﹣3x+1=0的根的情况,下列结论正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 【答案】A 【解答】解:∵ =(﹣3)2﹣4 1 1=5>0, ∴方程x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根. 故选:A. 2.(2024-25民办文婍中学八年级期中)一元二次方程﹣2(2x+1)2+a2=0(a是常数,a≠0)的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定有没有实数根 【答案】A 【解答】解:一元二次方程﹣2(2x+1)2+a2=0可化为﹣8x2﹣8x+a2﹣2=0, ∵a=﹣8,b=﹣8,c=a2﹣2,a≠0, ∴ =(﹣8)2﹣4 (﹣8) (a2﹣2)=64+32a2﹣64=32a2>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 故选:A. 3.(23-24八年级上 上海金山 期中)下列方程是关于的一元二次方程,一定有实数解的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识.对于一元二次方程(为常数,且),其根的判别式为.当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.分别求出各方程求的根的判别式的值,取该值大于等于0的选项即可. 【详解】解:A.∵, ∴该方程没有实数根,选项A不符合题意; B., ∵的值不确定, ∴无法得出,选项B不符合题意; C.∵, ∴该方程没有实数根,选项C不符合题意; D.∵, ∴该方程有两个不相等的实数根,选项D符合题意. 故选:D. 4.(2024-25八年级上上海闵行期中)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2kx+k﹣3=0有实数根,则k的取值范围为( ) A.k B.k且k≠1 C.k≥0 D.k≥0且k≠1 【答案】B 【解答】解:∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2kx+k﹣3=0有实数根, ∴k﹣1≠0且 =(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k﹣3)≥0, 解得:k且k≠1, 故选:B. 5.(2024-25八年级上上海普陀期中) ABC的三边长分别为a,b,c,关于x的一元二次方程(b﹣c)x2﹣4ax+4(b+c)=0有两个相等的实数根,则 ABC的形状一定为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】A 【解答】解:∵关于x的一元二次方程(b﹣c)x2﹣4ax+4(b+c)=0有两个相等的实数根, ∴(﹣4a)2﹣4(b﹣c)•4(b+c)=0, ∴a2+c2=b2, ∴ ABC为直角三角形. 故选:A. 6.(2024-25进华中学八年级期中)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法: ①若a+b+c=0,则b2﹣4ac≥0; ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根; ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立; ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2﹣4ac=(2ax0+b)2. 其中正确的( ) A.只有①② B.只有①②④ C.①②③④ D.只有①②③ 【思路点拨】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论,可得答案. 【规范解答】解:①若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的解, 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知 =b2﹣4ac≥0,故①正确; ②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根, ∴ =0﹣4ac>0, ∴﹣4ac>0, 则方程ax2+bx+c=0的判别式 =b2﹣4ac>0, ∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,故②正确; ③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根, 则ac2+bc+c=0, ∴c(ac+b+1)=0, 若c=0,等式仍然成立, 但ac+b+1=0不一定成立,故③不正确; ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根, 则由求根公式可得: x0=或x0=, ∴2ax0+b=或2ax0+b=﹣, ∴. 故④正确. 故选:B. 二、填空题 7.(2025上海宝山 八年级上海市泗塘中学校考期中)方程的根的判别式的值为_. 【答案】52 【分析】先根据一元二次方程的定义得出a、b、c的值,再根据根的判别式计算公式即可得. 【详解】解:方程变形为:, , , 故答案为:52. 【点睛】本题考查了根的判别式,解题的关键是掌握 的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根. 8.(2023秋•徐汇区月考)已知,判断方程的解的情况: . 【分析】先求一元二次方程的判别式,然后利用得到 ,从而根据根的判别式的意义可判断根的情况. 【解答】解: , 而, ,即 , 一元二次方程有两个不相等的实数根. 故答案为:有两个不相等的实数根. 【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与 有如下关系:当 时,方程有两个不相等的实数根;当 时,方程有两个相等的实数根;当 时,方程无实数根. 9.(2023 上海崇明 统考二模)已知关于x的一元二次方程没有实数根,那么m的取值范围为_. 【答案】 【分析】根据方程没有实数根,得到,进行求解即可. 【详解】解:∵关于x的一元二次方程没有实数根, ∴, 解得:; 故答案为:. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系.熟练掌握时,方程没有实数根,是解题的关键. 10.(2022秋•静安区校级期中)如果关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是 . 解:∵关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0有两个不相等的实数根, ∴ =(﹣)2﹣4k>0,且2k+1≥0, 解得﹣≤k<. 故答案为:﹣≤k<. 11.(2021秋•越秀区校级期末)若关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1=0有实数根,则k的取值范围是 . 解:∵关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1=0有实数根, ∴k≠0且 =42+4k≥0, 解得:k≥﹣4且k≠0. 故答案为:k≥﹣4且k≠0. 12.(2021秋•奉贤区校级期末)关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则k可取最大整数是 . 解:根据题意得 =22﹣4k>0, 解得k<1, 因为k为二次项的系数,k≠0, 所以k可取的最大整数为﹣1. 故答案为﹣1. 13.(2023•崇川区校级开学)若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+8=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围 . 解:∵kx2﹣6x+8=0有两个不相等的实数根, ∴ =36﹣32k>0,且k≠0, 解得k<且k≠0; 故答案为:k<且k≠0. 14.(2022秋•闵行区校级期中)若等腰三角形的一边长是2,另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m=0的两个根,则m的值为 . 解:当底边长为2时,则腰长为方程x2﹣6x+m=0的两个根, ∴ =(﹣6)2﹣4m=0,解得m=9; 当腰长为2,则x=2为方程x2﹣6x+m=0的一个根, ∴4﹣12+m=0,解得m=8, 方程化为x2﹣6x+8=0,解得x1=2,x2=4, ∵2+2=4, ∴2、2、4不符合三角形三边的关系,舍去, 综上所述,m的值为9. 故答案为9. 15.(23-24八年级上 上海静安 期中)已知、是实数,有且只有三个不同的满足方程,则的最小值是 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式,由得到,,根据根的判别式得到,,依此,,可得,根据题意由根的判别式得到是解题的关键. 【详解】解:∵, ∴,, ∴,, ∴, ∵有且只有三个不同的值满足方程, ∴,, ∴, ∴, 当时,的最小值, 故答案为:. 16.(23-24八年级上 上海长宁 期中)定义:如果两个一元二次方程分别有两个实数根,且至少有一个公共根,那么称这两个方程互为“联根方程”.已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程,那么a的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了利用因式分解法解方程,先利用因式分解法解方程,得到或.再分别将,代入,求出a的值即可.求出方程的两个解是解题的关键. 【详解】解:, 分解因式为, 解得或 ①当时,, 整理得, ∵,∴方程无解; ②当时, , ∴或(舍去) 故答案为:. 17.(2025上海黄浦 八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中)已知关于x的方程的根是正整数,则整数m的值为_. 【答案】或或或或或 【分析】分原方程为一元一次方程和一元二次方程进行讨论即可. 【详解】解:当时,即时, 原方程为, 解得:,符合题意; 当时,, 因式分解得:, ∴或, 当时,,原方程无解; 当时,, ∴时,, 时,, 时,, 时,, 时,, 综上所述:m的值为或或或或或时,原方程的根为正整数, 故答案为:或或或或或. 【点睛】本题考查了根据方程的解的情况确定系数的范围,读懂题意,分原方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况进行讨论是解本题的关键. 18.(2023春•浙江期中)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有下列说法: ①若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个不相等的实数根; ②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根; ③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则一定有ac+b+1=0成立; ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则 其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【思路点拨】①根据根的判别式直接求解即可; ②根据一元二次方程的定义直接判断即可,需使二次项系数不为零才有两个实根; ③将根代入方程中,直接解方程即可; ④根据一元二次方程根的定义,将根直接代入方程求解即可. 【规范解答】解:①若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根,则 =b2﹣4ac=﹣4ac>0, 则方程ax2+bx+c=0(a≠0)中, =b2﹣4ac>0,因此必有两个不相等的实数根;故正确; ②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,则 =b2﹣4ac>0, 则方程cx2+bx+a=0中,若c=0,则不是一元二次方程;故错误; ③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则ac2+bc+c=0,c(ac+b+1)=0,则c=0或ac+b+1=0;故错误; ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则, 将化简为:;故错误. 故选:A. 三、解答题 19.(23-24八年级上 上海长宁 期中)已知关于x的一元二次方程的根的判别式为,求k的值和方程的根. 【答案】k的值为4,方程的根为, 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式,二次根式有意义的条件,公式法解一元二次方程.熟练掌握一元二次方程的判别式,公式法解一元二次方程是解题的关键.由题意知,,,解得,,,计算求出满足要求的解即可;一元二次方程为,公式法求解即可. 【详解】解:由题意知,,, 解得,, , 整理得,, , ∴或, 解得,或(舍去), ∴, ∴, 解得,,, ∴k的值为4,方程的根为,. 20.(2023秋 河南郑州 九年级校考期末)已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k=0. (1)若该方程的一个根为1,求k的值; (2)求证:不论k取何实数,该方程总有两个实数根. 【答案】(1)k=1;(2)证明见解析. 【分析】(1)把x=1代入方程,即可求得k的值; (2)求出根的判别式是非负数即可. 【详解】(1)把x=1代入方程x2﹣(k+3)x+3k=0得1﹣(k+3)+3k=0, 1﹣k﹣3+3k=0 解得k=1; (2)证明: =(k+3)2﹣4•3k =(k﹣3)2≥0, 所以不论k取何实数,该方程总有两个实数根. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式,熟练掌握相关知识点是解题关键. 21.已知:关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1=0. (1)判断方程的根的情况; (2)若 ABC为等腰三角形,AB=5cm,另外两条边长是该方程的根,求 ABC的周长. 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根; (2)13或17. 【解答】解:(1)∵ =(﹣2m)2﹣4(m2﹣1)=4>0, ∴方程有两个不相等的实数根; (2)xm 1, ∴x1=m+1,x2=m﹣1, 当m+1=5时,解得m=4,此时等腰三角形三边分别为5,5,3, ABC的周长为5+5+3=13; 当m﹣1=5时,解得m=6,此时等腰三角形三边分别为5,5,7, ABC的周长为5+5+7=17; 综上所述, ABC的周长为13或17. 22.(2023秋•江油市校级月考)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,其中a,b,c分别为 ABC三边的长. (1)如果x=﹣1是方程的根,试判断 ABC的形状,并说明理由; (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断 ABC的形状,并说明理由; (3)如果 ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根. 【思路点拨】(1)把x=﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c=0,整理得a=b,从而可判断三角形的形状; (2)根据判别式的意义得 =(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0,即b2+c2=a2,然后根据勾股定理可判断三角形的形状; (3)利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2+x=0,然后利用因式分解法解方程. 【规范解答】解:(1) ABC是等腰三角形; 理由:把x=﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c=0,则a=b,所以 ABC为等腰三角形; (2) ABC为直角三角形; 理由:根据题意得 =(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0,即b2+c2=a2,所以 ABC为直角三角形; (3)∵ ABC为等边三角形, ∴a=b=c, ∴方程化为x2+x=0,解得x1=0,x2=﹣1. 1 学科网(北京)股份有限公司 $