20.1 二次根式及其性质（讲义，5知识6拓展6题型+分层课时巩固）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦初中数学二次根式核心知识点，系统梳理从定义识别、有意义条件、双重非负性，到四大性质、最简二次根式的完整知识脉络，搭建从概念理解到性质应用的学习支架。 资料通过随学随练即时巩固，拓展模块精准辨析易错点，题型分类配解题贴士，分层练习覆盖基础与创新。以双重非负性综合题培养抽象能力，数轴化简题发展几何直观，助力教师高效授课，学生查漏补缺，提升用数学思维解决问题的能力。

第20章 二次根式 20.1 二次根式及其性质 课标要点 1. 了解二次根式的定义，能够准确识别二次根式，掌握二次根式在实数范围内有意义的核心条件，即被开方数为非负数。 2. 理解二次根式的双重非负性，熟练掌握二次根式四大核心性质，能够运用性质完成基础化简、简单运算。 3. 精准区分与的定义、适用取值范围和最终运算结果，规避核心易错点。 4. 掌握最简二次根式的官方判定标准，能够将普通二次根式化为最简二次根式。 5. 运用二次根式的性质，解决字母取值范围求解、代数式求值、数轴化简等基础数学问题。 学习重难点 教学重点 1. 二次根式的概念及二次根式在实数范围内有意义的条件。 2. 二次根式双重非负性的理解与实际解题应用。 3. 二次根式四大核心性质，重点掌握的化简规则。 4. 最简二次根式的判定方法与基础化简技巧。 教学难点 1. 辨析与的适用条件，突破取值范围混淆问题。 2. 的分类讨论化简，根据字母正负性正确去掉绝对值符号。 3. 复合型代数式（根式+分式+零次幂）多约束条件联立，求解字母取值范围。 4. 二次根式、绝对值、平方数三类非负数结合的综合求值问题。 5. 结合数轴判断字母符号，完成含根号、绝对值的代数式综合化简。 知识点二次根式的定义 一般地，形如（为有理式）的代数式叫做二次根式。其中是二次根号，是被开方数。 教材延伸 核心特征：①含有二次根号；②被开方数（实数范围内有意义）。 补充说明：也属于二次根式。 举例：是二次根式；不是二次根式。 随学随练 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 知识点二次根式有意义的条件 基础条件：在实数范围内有意义 教材延伸 复合代数式约束规则： 1. 多个二次根式共存：所有被开方数必须同时大于等于0； 2. 二次根式在分母位置：被开方数大于0（分母不为0）； 3. 含分式、零次幂、根式的复合型式子：联立所有限制条件，取取值交集。 随学随练 2．（24-25八年级上·上海·阶段检测）若有意义，则x的取值范围是_____． 知识点 二次根式双重非负性（重点） 核心公式： 教材延伸 两层内涵： 1. 被开方数非负：，保证根式有意义； 2. 根式结果非负：的运算结果一定是正数或0。 必考模型：三类非负数（根式、绝对值、平方数）之和为0，则每一项均为0，即。 随学随练 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）已知，化简的结果是___________． 知识点二次根式四大核心性质（重点） 性质1（平方还原）： 释义：非负数算术平方根的平方等于它本身，先开方、后平方，前提是被开方数非负。 性质2（开方去平方）： 释义：任意实数平方的算术平方根等于该实数的绝对值，先平方、后开方，可取全体实数，结果恒非负。 性质3（积的算术平方根）： 释义：两个非负数乘积的算术平方根，等于两个数算术平方根的乘积。 性质4（商的算术平方根）： 释义：非负数与正数商的算术平方根，等于算术平方根的商。 随学随练 4．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点 最简二次根式 同时满足以下两个条件的二次根式，即为最简二次根式： 1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，各因式指数均为1； 2. 被开方数中不含分母。 教材延伸 所有二次根式化简、运算的最终结果，必须化为最简二次根式。 随学随练 6．（25-26八年级上·上海闵行·期末）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 拓展 两大根式平方公式混淆（本节头号易错点） 【疑难本质】学生极易混用与，忽略取值范围，直接等同化简，导致符号错误。 【精准对比辨析】 1. ：先开方、后平方，默认被开方数非负，无符号争议，直接还原原值； 2. ：先平方、后开方，a可取全体实数，结果恒正，必须分类去绝对值。 【避错口诀】有根号在先，必先非负直接算；有平方在先，正负未知先套绝对值。 活学活用 7．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）化简：_______． 8．（24-25八年级上·上海·期中）计算：__________． 拓展多重约束下字母取值范围漏条件 【疑难本质】复合型代数式（根式+分式+零次幂）存在多重隐含限制，学生常遗漏分母不为0、零次幂底数不为0等条件，取值范围求解不完整。 【万能解题模板】 步骤1：找所有二次根式，列不等式：被开方数； 步骤2：找所有分式分母、零次幂底数，列不等式：整体； 步骤3：联立所有不等式，取公共解集，规范书写结果。 活学活用 9．若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 拓展 二次根式双重非负性综合压轴（多非负数求和模型） 【疑难本质】单独非负数简单，但若根式+绝对值+平方数两两或三者结合，学生不会套用“和为0则全为0”模型，无法建立方程组解题。 【核心结论】初中三大非负数：，任意组合相加等于0，等价于每一项单独为0。 【解题步骤】 1. 识别式子中的非负项；2. 令每一项等于0，列方程；3. 求解字母参数；4. 代入代数式求值。 活学活用 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）化简下列各式： (1)． (2)已知，，为的三边长，化简代数式． 拓展 带参数根式化简不会分类讨论 【疑难本质】无明确字母符号时，直接默认字母为正，盲目化简，忽略负数情况，是考试高频扣分点。 【破题关键】化简必须看范围：有范围用范围，无范围需分类。 【标准化简模板】 活学活用 11．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 拓展 数轴数形结合根式化简压轴 【疑难本质】结合数轴判断代数式正负，同时嵌套根式、绝对值，学生符号判断混乱，化简步骤混乱，极易出错。 【四步破题法】 1. 看数轴：判定字母、代数式正负；2. 化根式：；3. 去绝对值：正数直接去符号，负数变号；4. 合并化简，得出最终结果。 活学活用 12．（25-26八年级下·广东惠州·期末）已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 拓展 积、商根式性质滥用（隐藏取值漏洞） 【疑难本质】学生随意拆分、逆用根式乘除性质，忽略的前提，负数拆分根式属于原则性错误。 【硬性规则】 1. ，仅适用于，负数乘积不可直接拆分； 2. ，仅适用于，分母不可为负、为零。 【避错示例】，正确解法：先算乘积。 活学活用 13．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列二次根式的化简，错误的是（     ） A． B． C． D． 题型 二次根式的识别 ▌例1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1 下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ）解题贴士 解题技巧：两步判定法。①代数式含有二次根号；②被开方数存在非负取值可能，同时满足即为二次根式。注意：三次根式、负被开方数根式均不是二次根式。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练1-2 下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （23-24八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 题型 二次根式有意义的条件 ▌例2-1 （25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 ▌例2-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）若等式成立，则实数的取值范围是是（    ） A． B．或 C． D． ▌例2-3 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）使有意义的的取值范围是_____． 解题贴士 通用解题步骤： 1. 定位所有二次根式被开方数，列出“≥0”不等式； 2. 定位分式分母、零次幂底数，列出“≠0”不等式； 3. 联立不等式组，求解取值交集，规范书写结果。 ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海普陀·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是______． ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）要使代数式有意义，那么的取值范围是______． ▌对点练2-3 （25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）等式成立的的取值范围是______． 题型 利用二次根式的性质化简 ▌例3-1 （25-26八年级上·上海金山·期中）当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． ▌例3-2 （24-25八年级上·上海静安·期末）化简：____________________． ▌例3-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：当时，___________． ▌例3-4 （25-26八年级上·上海·阶段检测）化简二次根式______． ▌例3-5 （25-26八年级上·上海虹口·期中）已知，，三个实数在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果是______． ▌例3-6 （25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 解题贴士 双重非负性求值（必考基础题型） 核心模型：若，则。 解题技巧：看到根式、绝对值、平方数相加为0，直接令每一项为0，列方程求解字母值，再代入代数式计算。 两类根式平方公式辨析化简 记忆口诀： ：先开方后平方，必有，结果直接等于； ：先平方后开方，取全体实数，必先写绝对值，再判号化简。 积、商算术平方根化简 标准化简步骤： 1. 分解被开方数，拆分出完全平方因数或因式； 2. 利用积、商根式性质，将完全平方部分开至根号外； 3. 清理分母、剩余因式，最终化为最简二次根式。 数轴背景下根式化简 通用解题流程： 1. 根据数轴上点的位置，判断字母或代数式的正负性； 2. 利用性质将转化为； 3. 根据正负性去掉绝对值符号，合并同类项化简。 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海金山·期中）若，则_____． ▌对点练3-2 （25-26八年级上·上海杨浦·期中）实数、、在一条没有标明原点的数轴上对应的点、、的位置如图所示，则可化简为_____． ▌对点练3-3 （25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）当时，化简： ▌对点练3-4 （25-26八年级上·上海徐汇·期中）计算 ▌对点练3-5 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，求的值． ▌对点练3-6 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 题型 最简二次根式 ▌例4-1 （25-26八年级上·上海杨浦·期末）下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． ▌例4-2 （25-26八年级上·上海·期末）写出一个被开方数小于20的最简二次根式：_______________． ▌例4-3 （24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． ▌对点练4-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． ▌对点练4-2 （25-26八年级上·上海·期末）下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-3 （24-25八年级上·上海闵行·期中）二次根式、、、中是最简二次根式的有____________个． 题型 含参数根式条件化简 解题贴士 根据题干给出的字母取值范围，先判断根号内整体代数式的正负，再结合绝对值性质去根号、去绝对值，避免盲目化简。 ▌例5-1 若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 ▌例5-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）对于，当是整数时，最小的正整数______． ▌对点练5-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是_____ ▌对点练5-2 当的值为______时，的值最小，这个最小值为______． ▌对点练5-3 已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． ▌对点练5-4 若满足关系式 ，则 ____． 题型 复合二次根式的化简（培优拓展） ▌例6 （25-26八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 解题贴士 针对型复合根式，通过配方转化为完全平方形式化简，适合尖子生拓展训练，不作为基础必考内容。 ▌对点练6-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：_______． ▌对点练6-2 （25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． ▌对点练6-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： （1）______； （2）______． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海静安·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）化简：________． 4．（23-24八年级上·上海·阶段检测）当________时，有意义． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简： _____． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当且时，化简：_______． 8．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）________． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：＝______． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：． 11． （24-25八年级下·上海·期中）已知关于的方程有一个实数根是，试求的值． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）等式成立的条件是________． 4．（25-26八年级上·上海·期中）把根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是_______． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，求___________． 6．（25-26八年级上·上海·期中）已知，为实数，，则的平方根是______． 7．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）如果 ，那么_____________． 8．（25-26八年级上·上海·期末）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数满足，则______． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）、在数轴上的位置如图，化简：______． 11．已知，化简． 12．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数x、y满足，求的立方根． 13．（25-26八年级上·上海·阶段检测）设等式在实数范围内成立，其中、、是两两不同的实数，求的值． 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 3．（25-26八年级上·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是___________． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）求值：_________． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数满足，那么__________． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足，则此三角形的周长是________． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）规律探究 设，，则的值为___________． 8．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算 ①；  ②；  ③；  ④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ， ， ， (1)观察上述解法，直接写出结果：________； (2)试用小明的方法求解出的结果； (3)根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 9.先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 11．（25-26八年级上·上海静安·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ． (2)当时，求代数式的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为12和27，求四边形面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 20.1 二次根式及其性质 课标要点 1. 了解二次根式的定义，能够准确识别二次根式，掌握二次根式在实数范围内有意义的核心条件，即被开方数为非负数。 2. 理解二次根式的双重非负性，熟练掌握二次根式四大核心性质，能够运用性质完成基础化简、简单运算。 3. 精准区分与的定义、适用取值范围和最终运算结果，规避核心易错点。 4. 掌握最简二次根式的官方判定标准，能够将普通二次根式化为最简二次根式。 5. 运用二次根式的性质，解决字母取值范围求解、代数式求值、数轴化简等基础数学问题。 学习重难点 教学重点 1. 二次根式的概念及二次根式在实数范围内有意义的条件。 2. 二次根式双重非负性的理解与实际解题应用。 3. 二次根式四大核心性质，重点掌握的化简规则。 4. 最简二次根式的判定方法与基础化简技巧。 教学难点 1. 辨析与的适用条件，突破取值范围混淆问题。 2. 的分类讨论化简，根据字母正负性正确去掉绝对值符号。 3. 复合型代数式（根式+分式+零次幂）多约束条件联立，求解字母取值范围。 4. 二次根式、绝对值、平方数三类非负数结合的综合求值问题。 5. 结合数轴判断字母符号，完成含根号、绝对值的代数式综合化简。 知识点二次根式的定义 一般地，形如（为有理式）的代数式叫做二次根式。其中是二次根号，是被开方数。 教材延伸 核心特征：①含有二次根号；②被开方数（实数范围内有意义）。 补充说明：也属于二次根式。 举例：是二次根式；不是二次根式。 随学随练 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 知识点二次根式有意义的条件 基础条件：在实数范围内有意义 教材延伸 复合代数式约束规则： 1. 多个二次根式共存：所有被开方数必须同时大于等于0； 2. 二次根式在分母位置：被开方数大于0（分母不为0）； 3. 含分式、零次幂、根式的复合型式子：联立所有限制条件，取取值交集。 随学随练 2．（24-25八年级上·上海·阶段检测）若有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】/ 【详解】解：有意义， ，且， ， 知识点 二次根式双重非负性（重点） 核心公式： 教材延伸 两层内涵： 1. 被开方数非负：，保证根式有意义； 2. 根式结果非负：的运算结果一定是正数或0。 必考模型：三类非负数（根式、绝对值、平方数）之和为0，则每一项均为0，即。 随学随练 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）已知，化简的结果是___________． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：1． 知识点二次根式四大核心性质（重点） 性质1（平方还原）： 释义：非负数算术平方根的平方等于它本身，先开方、后平方，前提是被开方数非负。 性质2（开方去平方）： 释义：任意实数平方的算术平方根等于该实数的绝对值，先平方、后开方，可取全体实数，结果恒非负。 性质3（积的算术平方根）： 释义：两个非负数乘积的算术平方根，等于两个数算术平方根的乘积。 性质4（商的算术平方根）： 释义：非负数与正数商的算术平方根，等于算术平方根的商。 随学随练 4．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵平方根的被开方数必须非负， A、左边要求且，此时右边也有意义且等式成立，故变形正确； B、对任意实数a成立，故变形正确； C、当，成立，变形正确； D、左边要求，但当且时，左边有意义，右边无意义，等式不成立，故变形不一定正确． 故选：D． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．，原计算错误； B．当时，无意义，原计算错误； C．，原计算正确； D．当时，无意义，原计算错误； 故选：C． 知识点 最简二次根式 同时满足以下两个条件的二次根式，即为最简二次根式： 1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，各因式指数均为1； 2. 被开方数中不含分母。 教材延伸 所有二次根式化简、运算的最终结果，必须化为最简二次根式。 随学随练 6．（25-26八年级上·上海闵行·期末）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 选项B：，被开方数是完全平方式，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数不含分母，且无法分解为能开得尽方的因式，是最简二次根式； 故选：D． 拓展 两大根式平方公式混淆（本节头号易错点） 【疑难本质】学生极易混用与，忽略取值范围，直接等同化简，导致符号错误。 【精准对比辨析】 1. ：先开方、后平方，默认被开方数非负，无符号争议，直接还原原值； 2. ：先平方、后开方，a可取全体实数，结果恒正，必须分类去绝对值。 【避错口诀】有根号在先，必先非负直接算；有平方在先，正负未知先套绝对值。 活学活用 7．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）化简：_______． 【答案】3 【详解】解：． 8．（24-25八年级上·上海·期中）计算：__________． 【答案】12 【详解】解：． 拓展多重约束下字母取值范围漏条件 【疑难本质】复合型代数式（根式+分式+零次幂）存在多重隐含限制，学生常遗漏分母不为0、零次幂底数不为0等条件，取值范围求解不完整。 【万能解题模板】 步骤1：找所有二次根式，列不等式：被开方数； 步骤2：找所有分式分母、零次幂底数，列不等式：整体； 步骤3：联立所有不等式，取公共解集，规范书写结果。 活学活用 9．若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：由代数式有意义可得 且 解不等式得， 由解得， ∴不等式组的解集为． 拓展 二次根式双重非负性综合压轴（多非负数求和模型） 【疑难本质】单独非负数简单，但若根式+绝对值+平方数两两或三者结合，学生不会套用“和为0则全为0”模型，无法建立方程组解题。 【核心结论】初中三大非负数：，任意组合相加等于0，等价于每一项单独为0。 【解题步骤】 1. 识别式子中的非负项；2. 令每一项等于0，列方程；3. 求解字母参数；4. 代入代数式求值。 活学活用 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）化简下列各式： (1)． (2)已知，，为的三边长，化简代数式． 【详解】（1）解：∵二次根式有意义， ， 解得． ． ； （2）解：，，为的三边长， ，， 即，． ． 拓展 带参数根式化简不会分类讨论 【疑难本质】无明确字母符号时，直接默认字母为正，盲目化简，忽略负数情况，是考试高频扣分点。 【破题关键】化简必须看范围：有范围用范围，无范围需分类。 【标准化简模板】 活学活用 11．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 拓展 数轴数形结合根式化简压轴 【疑难本质】结合数轴判断代数式正负，同时嵌套根式、绝对值，学生符号判断混乱，化简步骤混乱，极易出错。 【四步破题法】 1. 看数轴：判定字母、代数式正负；2. 化根式：；3. 去绝对值：正数直接去符号，负数变号；4. 合并化简，得出最终结果。 活学活用 12．（25-26八年级下·广东惠州·期末）已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】 【详解】解：由图可得，且， ∴，， ∴ . 拓展 积、商根式性质滥用（隐藏取值漏洞） 【疑难本质】学生随意拆分、逆用根式乘除性质，忽略的前提，负数拆分根式属于原则性错误。 【硬性规则】 1. ，仅适用于，负数乘积不可直接拆分； 2. ，仅适用于，分母不可为负、为零。 【避错示例】，正确解法：先算乘积。 活学活用 13．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列二次根式的化简，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，故A选项正确； 选项B：，故B选项正确； 选项C：，故C选项正确； 选项D：，故D选项错误． 题型 二次根式的识别 ▌例1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A，，根指数为2，符合二次根式形式，是二次根式． 选项B，，根指数为2，被开方数，是二次根式． 选项C，，根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 选项D，，，可得，且根指数为2，是二次根式． ▌对点练1-1 下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ）解题贴士 解题技巧：两步判定法。①代数式含有二次根号；②被开方数存在非负取值可能，同时满足即为二次根式。注意：三次根式、负被开方数根式均不是二次根式。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：，不是二次根式； 是二次根式； 当时，不是二次根式； 当时，，不是二次根式； ，是二次根式； 不是二次根式． 综上，，是二次根式，一共2个． 故选：B． ▌对点练1-2 下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． ▌对点练1-3 （23-24八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 题型 二次根式有意义的条件 ▌例2-1 （25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【答案】C 【详解】解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． ▌例2-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）若等式成立，则实数的取值范围是是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】∵ 等式右边 有意义的条件是：，解得 ． 当 时，左边 ，等式成立． ∴ 实数 的取值范围是 ， 故选：C． ▌例2-3 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）使有意义的的取值范围是_____． 【答案】且 【详解】解：要使有意义， ∵二次根式有意义的条件是，解得； ∵分式有意义的条件是分母，解得； ∴综上，的取值范围是且． 故答案为：且． 解题贴士 通用解题步骤： 1. 定位所有二次根式被开方数，列出“≥0”不等式； 2. 定位分式分母、零次幂底数，列出“≠0”不等式； 3. 联立不等式组，求解取值交集，规范书写结果。 ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海普陀·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数，解得； 分母． ∴的取值范围是且． 故答案为且． ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）要使代数式有意义，那么的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足两个条件： 第一，根号下的被开方数是非负数即，解得 ； 第二，分母不为零即，解得； 故且； 故答案为：且． ▌对点练2-3 （25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）等式成立的的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵等式成立， ∴且， 解得：， 故答案为：． 题型 利用二次根式的性质化简 ▌例3-1 （25-26八年级上·上海金山·期中）当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 故选：B． ▌例3-2 （24-25八年级上·上海静安·期末）化简：____________________． 【答案】 【详解】解：． ▌例3-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：当时，___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ▌例3-4 （25-26八年级上·上海·阶段检测）化简二次根式______． 【答案】 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ，即， ． 原式． 故答案为：． ▌例3-5 （25-26八年级上·上海虹口·期中）已知，，三个实数在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果是______． 【答案】 【详解】由图可知：，，，， ． 故答案为：． ▌例3-6 （25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：∵、中， ∴、， ∴ ． 解题贴士 双重非负性求值（必考基础题型） 核心模型：若，则。 解题技巧：看到根式、绝对值、平方数相加为0，直接令每一项为0，列方程求解字母值，再代入代数式计算。 两类根式平方公式辨析化简 记忆口诀： ：先开方后平方，必有，结果直接等于； ：先平方后开方，取全体实数，必先写绝对值，再判号化简。 积、商算术平方根化简 标准化简步骤： 1. 分解被开方数，拆分出完全平方因数或因式； 2. 利用积、商根式性质，将完全平方部分开至根号外； 3. 清理分母、剩余因式，最终化为最简二次根式。 数轴背景下根式化简 通用解题流程： 1. 根据数轴上点的位置，判断字母或代数式的正负性； 2. 利用性质将转化为； 3. 根据正负性去掉绝对值符号，合并同类项化简。 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海金山·期中）若，则_____． 【答案】 【详解】解：由完全平方公式，有： ， ， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为 ． ▌对点练3-2 （25-26八年级上·上海杨浦·期中）实数、、在一条没有标明原点的数轴上对应的点、、的位置如图所示，则可化简为_____． 【答案】 【详解】由数轴可知，且． ，． ，根号有意义，，． 因此，原式化简为． 故答案为：． ▌对点练3-3 （25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）当时，化简： 【答案】3 【详解】解：∵， ∴ ． ▌对点练3-4 （25-26八年级上·上海徐汇·期中）计算 【答案】 【详解】解： ． ▌对点练3-5 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，求的值． 【答案】的值为． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的值为． ▌对点练3-6 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 【答案】， 【详解】解： ， ， 解得： 代入原式 ． 题型 最简二次根式 ▌例4-1 （25-26八年级上·上海杨浦·期末）下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A. 被开方数含小数，等价于含分母，不是最简； B. ，被开方数含平方因子4，不是最简； C. 被开方数无分母且因式指数均为1，是最简； D. ，被开方数含指数为2，不是最简． 故选：C． ▌例4-2 （25-26八年级上·上海·期末）写出一个被开方数小于20的最简二次根式：_______________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】∵被开方数2小于20，且2不含能开尽方的因数， ∴是最简二次根式． 故答案为：（答案不唯一）． ▌例4-3 （24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． 【答案】 【详解】解：，因此是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． ▌对点练4-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选：D． ▌对点练4-2 （25-26八年级上·上海·期末）下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A：，含有能开尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B：，不是最简二次根式，不符合题意； C：  被开方数不含能开尽方的因数或因式且不含分母，是最简二次根式，符合题意； D：被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． ▌对点练4-3 （24-25八年级上·上海闵行·期中）二次根式、、、中是最简二次根式的有____________个． 【答案】1 【详解】解：，，，都不是最简二次根式， 是最简二次根式， 则最简二次根式有1个， 故答案为：1． 题型 含参数根式条件化简 解题贴士 根据题干给出的字母取值范围，先判断根号内整体代数式的正负，再结合绝对值性质去根号、去绝对值，避免盲目化简。 ▌例5-1 若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． ▌例5-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）对于，当是整数时，最小的正整数______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． ▌对点练5-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是_____ 【答案】 【详解】解：， 是整数， ∴正整数的最小值是． 故答案为：． ▌对点练5-2 当的值为______时，的值最小，这个最小值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． ▌对点练5-3 已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 【答案】68 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． ▌对点练5-4 若满足关系式 ，则 ____． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 题型 复合二次根式的化简（培优拓展） ▌例6 （25-26八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 解题贴士 针对型复合根式，通过配方转化为完全平方形式化简，适合尖子生拓展训练，不作为基础必考内容。 ▌对点练6-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． ▌对点练6-2 （25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． ▌对点练6-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： （1）______； （2）______． 【答案】 【详解】解：（1） ； （2）设（为正有理数）， 平方得：， 对比系数得： 尝试，，则，， 解得，， 而， 所以，满足条件， 所以，． 故答案为：（1）；（2）． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海静安·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式； B、含分母，故不是最简二次根式； C、属于最简二次根式， D、含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式； 故选：C 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）化简：________． 【答案】 【详解】解：因为 ，所以 ， 则， 故答案为 ． 4．（23-24八年级上·上海·阶段检测）当________时，有意义． 【答案】 【详解】∵有意义， ∴ 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简： _____． 【答案】 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 【答案】 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当且时，化简：_______． 【答案】 【详解】解：∵且， ∴ ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）________． 【答案】 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：＝______． 【答案】 【详解】解：， ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴原式． 11．（24-25八年级下·上海·期中）已知关于的方程有一个实数根是，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程有一个实数根是， ∴， ∴， ∵， ∴． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）等式成立的条件是________． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， 根据二次根式有意义的条件得， 解得， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·期中）把根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是_______． 【答案】 【详解】解：由得， ∴， ∴设，则 ，原式为 ∴， 代入 ，得原式． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，求___________． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，， 解得， 将代入，得， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·期中）已知，为实数，，则的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）如果 ，那么_____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故， ∵ ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海·期末）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数满足，则______． 【答案】 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）、在数轴上的位置如图，化简：______． 【答案】 【详解】解：由、在数轴上的位置可得：，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 11．已知，化简． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 12．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数x、y满足，求的立方根． 【答案】 【详解】解：∵实数、 满足， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴， ∴， ∵分母 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的立方根为， ∴的立方根为 ． 13．（25-26八年级上·上海·阶段检测）设等式在实数范围内成立，其中、、是两两不同的实数，求的值． 【答案】 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，，， ∴， 又∵，， ∴且， ∴， ∴等式可变为， ∴， ∴原式 ． 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 【答案】B 【详解】解：，而非简单等于或． 甲的过程：（正确），但 仅当 时成立； 乙的过程：（正确），但 仅当（即 ) 时成立． 两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保或非负． 首次共同错误出现在第二个等号后． 故选：B． 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 【答案】A 【详解】解：由题意∵， ∴， ∴， 设，，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 若，即，则， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得且， 解得，， 故 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）求值：_________． 【答案】 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数满足，那么__________． 【答案】2026 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故． 故答案为：2026． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足，则此三角形的周长是________． 【答案】11或13 【详解】解：由题意，得， 解得：， 把代入，得 当等腰三角形的腰长为3时，则三角形的三边为3，3，5， ， 能组成三角形， 三角形的周长为：； 当等腰三角形的腰长为5时，则三角形的三边为5，5，3， ， 能组成三角形， 三角形的周长为：， 综上所述，此三角形的周长为11或 故答案为：11或 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）规律探究 设，，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：由 推知：， 可得， 则 ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算 ①；  ②；  ③；  ④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ， ， ， (1)观察上述解法，直接写出结果：________； (2)试用小明的方法求解出的结果； (3)根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：设大正方形的边长为a， 由图1和图2的面积相等可得：， 即， ∴， 即大正方形的边长为757． 9.先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ， 故答案为：3； （2）解：由题意可知：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时，，， ∴， ∴，故符合题意； 当时，，， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，a的取值范围是， 故答案为：； （3）解：原方程可化为：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时， ∴，， ∴， ∴此方程无解，故不符合题意； 当时，，， ∴原方程化为：， ∴，符合题意； 综上所述，或． 11．（25-26八年级上·上海静安·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ． (2)当时，求代数式的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为12和27，求四边形面积的最小值． 【详解】（1）解：当时，，则， ∴的最小值为2， 当时，，， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为； （2）解：时，则 （3）解：设， ∵与等高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $