圆锥曲线：双曲线的离心率问题、双曲线的性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦双曲线离心率计算与性质应用，通过多样化几何情境构建a,b,c关系，强化直观想象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双曲线的离心率问题|4例+4变式|结合渐近线、焦点、面积、角平分线等几何条件求离心率|从几何关系（如交点、向量、圆与双曲线位置）转化为a,b,c等量关系，体现代数运算与几何直观的融合| |双曲线的性质|4例+4变式|考查渐近线夹角、虚轴长、离心率、焦点距离及不同双曲线性质比较|以双曲线定义为基础，关联a,b,c,e的核心关系，覆盖单一性质判断与综合性质辨析|

圆锥曲线：双曲线的离心率问题、双曲线的性质专项训练 圆锥曲线：双曲线的离心率问题、双曲线的性质专项训练 考点目录 双曲线的离心率问题 双曲线的性质 考点一 双曲线的离心率问题 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的一条渐近线与直线：交于点，若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】设双曲线的实轴长为，则. 根据双曲线的对称性，不妨取的渐近线， 与联立，得点的坐标为， 所以，解得， 从而，故离心率为． 例2．（2026·江西南昌·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用角平分线定理得出，再结合双曲线定义得出，最后应用离心率公式求值即可. 【详解】因为的平分线与轴交于点，所以， 因为，A在双曲线右支上，设， 因为，所以 ， 又因为，所以， 所以. 例3．（2026·陕西咸阳·三模）已知为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线：交于两点，若，则的离心率为______． 【答案】 【分析】先由向量关系判断点是弦的中点，写出直线的方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理得到的表达式，结合中点坐标公式建立的关系式，再代入双曲线离心率公式求解即可． 【详解】 由题意得，直线的方程为，即， 由，得， 设，，所以， 由，得是的中点， 所以，即， 所以，化简得， 又，所以，化简得， 所以． 例4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为____________． 【答案】 【分析】根据图形证明四边形是平行四边形，推出，根据已知条件，结合相似比求出离心率． 【详解】已知，则，故点在上，， ； M是直线与的交点，且M在双曲线上，故M、Q是直线与双曲线的两个交点， 故M与Q关于原点对称，原点O是线段的中点； 设双曲线的左焦点为，连接，由双曲线的对称性， 是中点，故四边形是平行四边形， 则，且， 由可得，内错角相等则， 又， 故，故， ，故， 解得，故． 变式1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线的焦距为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】令，则，解得，所以， 又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即， 所以，所以双曲线的离心率． 变式2．（2026·山西晋中·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线性质及双曲线的定义可得. 【详解】依题意，如图，因为是的中点，是的中点， 所以是的中位线，因为，所以， 因为，因此是等腰三角形， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以. 变式3．（2026·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于，，，四点，若点，，，构成圆圆周的四等分点，圆的直径长度是双曲线实轴长的3倍，则双曲线的离心率为_________. 【答案】 【分析】先根据四等分圆周的几何条件得到交点坐标，结合“圆直径是双曲线实轴3倍”求出参数，将交点代入双曲线方程得，最后代入双曲线离心率公式计算即可. 【详解】圆的半径为，直径为. 由题意知，圆的直径是双曲线实轴长的倍，双曲线实轴长为， 因此，. 因为四等分圆周，第一象限的交点的极角为， 坐标为， 将代入双曲线方程得 . 离心率，且，因此， 因此双曲线的离心率. 变式4．（2026·贵州毕节·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，a为半径的圆与C的一条渐近线在第一象限内交于点P，若，则C的离心率为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，利用两点间距离公式、数量积的定义及坐标表示列出方程化简求解. 【详解】令双曲线的半焦距为，则，渐近线方程为， 依题意，点是圆与直线在第一象限内的交点，则点， ，， 而，由，得， 解得，因此，整理得，即， 所以双曲线C的离心率. 考点二 双曲线的性质 例1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的标准方程为（）， 则它的渐近线方程为， 已知实轴长小于虚轴长，即，所以 因为渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为和， 所以，即， 由，代入， 得 ，即， 虚轴长为，焦距为， 所以虚轴长与焦距之比为. 故选项C正确. 例2．（2026·新疆·三模·多选）已知双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为 B．C的离心率为2 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为5的直线有4条 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的标准方程，即可结合性质逐一求解. 【详解】将化为， 故， 则虚轴长为，离心率为， 焦点到渐近线的距离为， 由于过焦点的弦中，相交于同一支的最短的弦长为通径，长度为， 相交于两支的弦中最短的为， 由于,因此过焦点与C相交所得弦长为5的直线有4条， 其中经过左焦点，且与双曲线两支相交长度为5的直线有2条， 同理过右焦点长度为5的直线也有2条.故ABD正确，C错误. 例3．（2026·广东东莞·模拟预测·多选）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点，若则下列关于双曲线C的说法正确的是（ ） A．顶点坐标为 B．虚半轴长为4 C．离心率为2 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【详解】A选项，由题意得， 又，由双曲线定义可知，故， 顶点坐标为，A正确； B选项，中，令得， 故，又，解得，， 故虚轴长为，B错误； C选项，，所以，离心率为，C正确； D选项，渐近线方程为，D正确. 例4．（2026·广东广州·二模）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为__________. 【答案】 【详解】由双曲线方程为，知：双曲线的实轴长为，虚轴长为， 由题意得：，解得， 双曲线的渐近线方程为， 因此，的渐近线为. 变式1．（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质判断即可. 【详解】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 变式2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测·多选）已知双曲线，过点的直线与.交于两点，则（    ） A．的实轴长为2 B．的离心率为2 C．点到的两条渐近线的距离之积为3 D．点可能是线段的中点 【答案】BC 【分析】根据双曲线的定义、性质、直线与双曲线的关系逐项计算判断即可. 【详解】由题意知，所以的实轴长为，离心率，故A错误，B正确； 设，所以，所以点到的两条渐近线的距离之积为，故C正确； 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，， 由得，即， 则，若点是线段的中点，则，则， 解得，此时，矛盾. 所以点不可能是线段的中点，故D错误. 变式3．（2026·浙江宁波·二模·多选）若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 【答案】BD 【详解】，， 不妨设， 的实轴长分别为，不相等，故A错误； 的焦距分别为，相等，故B正确； 的离心率分别为，不相同，故C错误； 的渐近线分别为，相同，故D正确． 变式4．（2025·辽宁辽阳·一模）若双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，则双曲线的渐近线方程为__________，实轴长为__________. 【答案】 【分析】由点在渐近线上可求得，再根据双曲线的性质计算实轴长即可. 【详解】由点在双曲线的一条渐近线上，可得， 则双曲线的渐近线方程为； 记坐标原点为，则，即． 因为，所以，，故实轴长为． 故答案为：；. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：双曲线的离心率问题、双曲线的性质专项训练 圆锥曲线：双曲线的离心率问题、双曲线的性质专项训练 考点目录 双曲线的离心率问题 双曲线的性质 考点一 双曲线的离心率问题 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的一条渐近线与直线：交于点，若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C．4 D．2 例2．（2026·江西南昌·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·陕西咸阳·三模）已知为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线：交于两点，若，则的离心率为______． 例4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为____________． 变式1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线的焦距为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 变式2．（2026·山西晋中·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于，，，四点，若点，，，构成圆圆周的四等分点，圆的直径长度是双曲线实轴长的3倍，则双曲线的离心率为_________. 变式4．（2026·贵州毕节·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，a为半径的圆与C的一条渐近线在第一象限内交于点P，若，则C的离心率为______. 考点二 双曲线的性质 例1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·新疆·三模·多选）已知双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为 B．C的离心率为2 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为5的直线有4条 例3．（2026·广东东莞·模拟预测·多选）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点，若则下列关于双曲线C的说法正确的是（ ） A．顶点坐标为 B．虚半轴长为4 C．离心率为2 D．渐近线方程为 例4．（2026·广东广州·二模）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为__________. 变式1．（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 变式2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测·多选）已知双曲线，过点的直线与.交于两点，则（    ） A．的实轴长为2 B．的离心率为2 C．点到的两条渐近线的距离之积为3 D．点可能是线段的中点 变式3．（2026·浙江宁波·二模·多选）若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 变式4．（2025·辽宁辽阳·一模）若双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，则双曲线的渐近线方程为__________，实轴长为__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $