圆锥曲线：椭圆中的弦长问题、椭圆中的面积问题专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦椭圆弦长与面积两大核心问题，通过精选例题与变式构建从椭圆方程求解到直线与椭圆位置关系应用的逻辑体系，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆中的弦长问题|例3+变式2|含焦点弦长计算、弦长范围、斜率关系证明|以椭圆方程、离心率等概念为基础，通过联立方程、韦达定理推导弦长公式，体现代数法解决几何问题的逻辑| |椭圆中的面积问题|例3+变式3|涉及中点坐标求面积、面积最值、定点面积关系|基于弦长公式与点到直线距离，结合分割法、参数法拓展面积计算，形成从基础计算到综合应用的递进|

圆锥曲线：椭圆中的弦长问题、椭圆中的面积问题专项训练 圆锥曲线：椭圆中的弦长问题、椭圆中的面积问题专项训练 考点目录 椭圆中的弦长问题 椭圆中的面积问题 考点一 椭圆中的弦长问题 例1．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和焦距列出等式，求得即可； （2）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 例2．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知椭圆C： （）的离心率为，且点在 上， 为坐标原点． (1)求椭圆 的标准方程； (2)过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若点 的坐标为，证明：； （ⅱ）若，当时，求弦长的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）如图，当直线 与 轴重合时，显然成立； 当直线 与 轴不重合时，设直线 为，，， 联立那么可得， 根据韦达定理可得，， 那么根的判别式． ， 由于， 因此， 因此， 的倾斜角互补，因此． （ⅱ） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）分直线是否与 轴重合，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理求证即可； （ii）化简求出其范围，再利用韦达定理化简得出即可求出的范围，利用弦长公式化简，令即可. 【详解】（1）根据已知条件可得，解得， 所以椭圆C为 ． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由，那么． 那么可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以． 又由于， 因此，， ． 令，那么， 所以． 例3．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆的左，右顶点分别为、，是椭圆的右焦点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （ⅰ）求证：为定值，并求出这个定值； （ⅱ）若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）因为、，所以、， 又因为在椭圆上，所以，， 所以，， 则. （ⅱ） 【分析】（1）由待定系数法即可求得椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）由点差法计算可求得为定值；（ⅱ）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，消去，由韦达定理结合弦长公式可得，求解即可求得直线的方程. 【详解】（1）由椭圆：，可得，右焦点， 所以，所以， 又，所以， 又椭圆的离心率为，所以，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （2）（ⅰ）略. （ⅱ）显然直线与轴不重合，设直线的方程为，, 由,得， 所以，解得. 由根与系数的关系可得， 所以， ， 由，得， 所以，即， 解得或（舍去），所以， 所以直线的方程为.. 变式1．（25-26高二下·上海·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，再根据公式求解即可. （2）联立两方程，根据韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】（1）椭圆 的方程为 ，所以 ，则 .所以椭圆 的面积 . （2）联立，得 . 设，则. 所以. 变式2．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，且. ①证明：原点到直线的距离为定值； ②求的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）①分两种情况讨论，、所在直线与两坐标轴重合，直线、的斜率存在且都不为零时，在第一种情况下，直接求出原点到直线的距离；在第二种情况下，设直线的方程为，则直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，求出，可得出，再利用等面积法可求出原点到直线的距离，即可证得结论成立； ②根据①中的两种情况进行讨论，在第一种情况下，直接求出的值，在第二种情况下，求出的表达式，即可求出的取值范围，综合可得出的最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. （2）①当、所在直线与两坐标轴重合时，原点到直线的距离为； ②当直线、的斜率存在且都不为零时，设直线的方程为，则直线的方程为， 联立可得，所以， 同理可得， 所以原点到直线的距离为， 综上所述，原点到直线的距离为定值. ②当、所在直线与两坐标轴重合时，； 当直线、的斜率存在且都不为零时， 则， 令，则 ， 因为，所以，则，所以， 所以， 综上所述，，即的最大值为. 考点二 椭圆中的面积问题 例1．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知及离心率求椭圆参数，即可得； （2）由（1）及已知，设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理，结合中点坐标求参数m，再由面积公式求面积. 【详解】（1）由题意知：椭圆短轴长为，即，所以， 离心率，且， 代入得 ， 所以，从而， 因此，椭圆的标准方程为； （2）由题意，直线过右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时中点纵坐标为，不合题意，    设直线的方程为， 代入椭圆方程中，得， 整理得关于的一元二次方程， 设，，由韦达定理得，， 已知线段的中点的纵坐标为，即，所以， 因此， 整理得， 因式分解得，解得或， 由， 其中， 当时，，面积， 当时，，面积， 综上所述，的面积为或. 例2．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)点是直线：上的一点，直线交点（异于点），直线交于点（异于点）． （ⅰ）求证：直线经过定点； （ⅱ）记和的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1)； (2)（i）证明：由题可知，，设，. 当时，直线的方程为， 联立，消去整理得， 已知是方程的一个根，设，由韦达定理得， ∴ ，代入直线方程得，即. 同理，直线的方程为， 联立，消去整理得， 已知是方程的一个根，设，由韦达定理得， ∴ ，代入直线方程得，即. . 直线的方程为. 整理得 ， 当时，，即直线过点. （ii） 【分析】（1）由椭圆顶点距离求出，结合离心率求出，再利用椭圆中的关系求出，即可得到椭圆方程. （2）（i）设出点坐标，分别写出直线、的方程，与椭圆方程联立，通过韦达定理求出点、的坐标，推导直线的方程，确定定点坐标. （ii）将转化为关于直线参数的函数，结合函数单调性求解最大值. 【详解】（1）∵ 椭圆的左、右顶点为，且，∴ ，解得. ∵ 椭圆离心率，∴ ， ∴ ， ∴ 椭圆的方程为. （2）（i）略 （ii）设直线的方程为，，， 联立，消去整理得， 由韦达定理得，. ∵ ，，其中为到直线的距离，为到直线的距离， 计算得，，， ∴ . ∵ ， ∴ . 令，，则，代入得. 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以当时，取得最小值，取得最大值. 即的最大值为. 【点睛】方法归纳：求解直线过定点时，常先求出动直线含参数的方程，再寻找与参数无关的点即为定点；求解面积最值时，通常将面积表示为单一参数的函数，结合函数单调性或基本不等式求解. 例3．（25-26高二下·吉林长春·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，．已知在椭圆C上，且的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过点M的直线l与椭圆C交于另一点N与x轴交于点P，若． （ⅰ）求P点的坐标； （ⅱ）求的面积． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）； 【分析】（1）根据三角形面积和椭圆定义可得，，进而求出，得到椭圆方程； （2）（ⅰ）求出直线的方程，联立椭圆方程，求出点坐标，进而得到直线的方程，得到； （ⅱ）利用求出答案. 【详解】（1）的面积为，解得， 因为左、右焦点分别为， 所以， 解得，因为， 故椭圆方程为； （2）（ⅰ）由于，，故， 因为，所以，故， 直线的方程为， 联立直线和椭圆方程得， 解得或1，故点的横坐标为， 此时，故点的坐标为， 因此，所以直线的方程为， 即，令得，故， （ⅱ）的面积为 变式1．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求的标准方程； (2)若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)设，， 由，消得， 则，且，， 又，则，， 因为，则， 又，，所以 ， 因为，所以， 整理得到，解得， 所以直线的方程为：，故直线过定点. (3) 【分析】（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解； （2）设，，联立直线与椭圆的方程消，由根与系数间的关系得，，再结合条件得，即可求解； （3）根据条件得，再求出的取值范围，即可求解. 【详解】（1）由题意得，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）略 （3）由（2）知，所以，， 因为， 因为，则， 因为， 又，所以， 令，则， 当时，，所以， 当时，，， ，即，解得且， 且，且， 且， 综上所述，的取值范围为. 变式2．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点作直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线相交于点． （ⅰ）若为等腰直角三角形，求的方程； （ⅱ）求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)(i)或 (ii) 【分析】（1）通过题目条件列出相应距离等式求解. （2）（i）通过联立直线与椭圆方程后，利用韦达定理求解坐标间的关系，表示出相应线段斜率求解垂直关系后，通过线段长度相等求解；（ii）通过将四边形面积转化为两个三角形面积之和以及点到直线距离公式求解面积. 【详解】（1）由题意得，，， 得到. （2）(i)设直线为，，， 联立椭圆方程可知，， 由韦达定理可知，，， 则. . 因为为中点，所以，即， 直线为，时，，即， 所以直线斜率为， 又直线斜率，，所以恒为. 所以当为等腰直角三角形时，满足. ， ， 若，解得，即. 当时，，解得， 所以，解得，直线为. 当时，，解得， 所以，解得，直线为. (ii)可将四边形面积分为和. 点到的距离， 点到的距离， . 所以. 所以最小值为，此时. 变式3．（25-26高二下·广西桂林·期末）已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）设点，可得，化简可得动点的轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线的倾斜角为，，直线、与轴交于点，由题意得，且，从而可得直线：，与椭圆方程联立可解得点的坐标； （ⅱ）同上求出点的坐标，即可得，再求面积. 【详解】（1）设，由题意有， 化简得：，即，， 故所求动点的轨迹方程为； （2）设直线的倾斜角为，， 直线、与轴交于点， 由题意得，则， 所以，又，所以，得， 故，，    因为，所以直线：，即，     （ⅰ）联立，得， 化简得，解得或（舍去）， 故； （ⅱ）直线：，即， 联立，得， 化简得，解得或（舍去）， 故，     所以， ， 因为，所以，   故的面积是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：椭圆中的弦长问题、椭圆中的面积问题专项训练 圆锥曲线：椭圆中的弦长问题、椭圆中的面积问题专项训练 考点目录 椭圆中的弦长问题 椭圆中的面积问题 考点一 椭圆中的弦长问题 例1．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 例2．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知椭圆C： （）的离心率为，且点在 上， 为坐标原点． (1)求椭圆 的标准方程； (2)过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若点 的坐标为，证明：； （ⅱ）若，当时，求弦长的取值范围． 例3．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆的左，右顶点分别为、，是椭圆的右焦点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （ⅰ）求证：为定值，并求出这个定值； （ⅱ）若，求直线的方程. 变式1．（25-26高二下·上海·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 变式2．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，且. ①证明：原点到直线的距离为定值； ②求的最大值. 考点二 椭圆中的面积问题 例1．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 例2．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)点是直线：上的一点，直线交点（异于点），直线交于点（异于点）． （ⅰ）求证：直线经过定点； （ⅱ）记和的面积分别为，，求的最大值． 例3．（25-26高二下·吉林长春·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，．已知在椭圆C上，且的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过点M的直线l与椭圆C交于另一点N与x轴交于点P，若． （ⅰ）求P点的坐标； （ⅱ）求的面积． 变式1．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求的标准方程； (2)若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围． 变式2．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点作直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线相交于点． （ⅰ）若为等腰直角三角形，求的方程； （ⅱ）求四边形面积的最小值． 变式3．（25-26高二下·广西桂林·期末）已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $