精品解析：重庆市好教育联盟2022-2023学年高二上学期12月调研数学试题

重庆市高二数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的方程为，则（ ） A. 的斜率为 B. 在轴上的截距为6 C. 的截距式为 D. 的倾斜角为锐角 2. 双曲线的离心率为，则的一条渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点为直线上一动点，则的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 9 6. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，、是直角圆锥的两个轴截面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（ ） A. 22 B. 2 C. 2或22 D. 24 8. 已知直线与圆相交于两点，若圆与轴的交点为，则直线与交点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若椭圆的离心率为，则实数的取值可能是（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 10. 在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知动点到原点与的距离之比为2，动点的轨迹记为，直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 的方程为 B. 动点到直线的距离的取值范围为 C. 直线被截得的弦长为 D. 上存在三个点到直线的距离为 12. 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（ ） A. 在抛物线的准线上 B. C. D. 面积的最小值为4 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线与直线平行，则_______. 14. 笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，为长方体，且，点是轴上一动点，则的最小值为___________. 15. 已知两圆与外离，则整数的一个取值可以是___________. 16. 设椭圆的上顶点为，且长轴长为，则椭圆的标准方程为___________；过任作两条互相垂直的直线分别另交椭圆于，两点，则直线过定点___________． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 椭圆的左､右焦点分别为，焦距为6，点为椭圆上一点，，且的面积为9. （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于两点，的中点为，求直线的方程. 18. 已知的顶点分别为，，． （1）求外接圆的方程； （2）直线上有一动点，过点作外接圆的一条切线，切点为，求的最小值，并求点的坐标． 19. 如图，已知矩形所在平面与平面垂直，在直角梯形中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为等边三角形，. （1）求四棱锥的体积； （2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 21. 已知抛物线上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线的方程； （2）抛物线的准线与轴交于点，过的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的准线交于点，点关于轴对称的点为，试判断三点是否共线，并说明理由. 22. 已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，，且焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为双曲线的左顶点，点为轴上一动点，过的直线与双曲线的右支交于两点，直线分别交直线于两点，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市高二数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的方程为，则（ ） A. 的斜率为 B. 在轴上的截距为6 C. 的截距式为 D. 的倾斜角为锐角 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程，把直线方程转化为斜截式和截距式，直接判断各个选项. 【详解】整理成斜截式：，整理成截距式：， 则的斜率为3，所以倾斜角为锐角．在轴上的截距为. 故选：D 2. 双曲线的离心率为，则的一条渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率计算公式，即可容易求得结果. 【详解】因为的离心率为，所以， 所以渐近线方程为. 故选：B. 3. 已知点为直线上一动点，则的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可求以及直线的方程，然后利用平行线间距离公式可得点C到AB的距离，进而即得. 【详解】∵直线的方程为，即，则， ∴的边上的高为两平行线之间的距离. 又∵， ∴. 故选：D. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示. 【详解】， ， 所以． 故选：C 5. 抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义结合几何图形求解. 【详解】如图， 设抛物线的准线为，过作于，过作于， 因为，所以当，，三点共线时， 取得最小值，故的最小值为． 故选:A. 6. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，、是直角圆锥的两个轴截面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】在圆锥中，平面，设，以点为坐标原点，、所在直线分 别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以、、、， ，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：B. 7. 双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（ ） A. 22 B. 2 C. 2或22 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】设的上、下焦点分别为，根据双曲线的定义求出或，再根据可得. 【详解】设的上、下焦点分别为，则． 因为,,所以，，则， 由双曲线的定义可知，，即， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意. 综上所述：. 故选：A 8. 已知直线与圆相交于两点，若圆与轴的交点为，则直线与交点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设，联立，消元，写出韦达定理，写出直线与直线的方程联立，解出交点的横坐标，利用已知条件化简即可. 【详解】不妨设， 联立方程组， 得， 则. 直线的方程为， 直线的方程为， 联立方程组， 得， 因为， 所以， 解得. 因为， 所以， 所以 故选：C. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若椭圆的离心率为，则实数的取值可能是（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】AC 【解析】 【分析】对椭圆焦点在轴上和在轴上两种情况进行分类讨论，根据离心率的定义即可计算得出实数的取值. 【详解】当焦点在轴上时，由，得； 当焦点在轴上时，由，得． 故选：AC. 10. 在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量写出到平面的距离的表达式，然后求其范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，故，，设平面的法向量，由，取，则为平面的法向量，，所以到平面的距离．因为，所以，而，即BC选项的数值才符合. 故选：BC 11. 已知动点到原点与的距离之比为2，动点的轨迹记为，直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 的方程为 B. 动点到直线的距离的取值范围为 C. 直线被截得的弦长为 D. 上存在三个点到直线的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两点之间距离公式和题意确定方程，结合圆心到直线的距离即可求解，圆的弦长公式求法即可进一步求解. 【详解】设，因为，所以， 所以的方程为，故A正确； 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，且弦长为，故C错误； 动点到直线的距离的取值范围为，故B错误，D正确． 故选：AD. 12. 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（ ） A. 在抛物线的准线上 B. C. D. 面积的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据题意利用导数求切线的方程，进而求交点坐标，结合韦达定理分析运算；对B：利用韦达定理可得，即可得结果；对C：分和两种情况讨论，分析运算可得，即可得结果；对D：根据题意可求面积，分析运算即可. 【详解】对A： 抛物线的焦点为，准线为. 设直线的方程为， 联立方程组得，则. 因为，所以， 故在处切线的斜率，则直线的方程为，即， 同理可得：直线的方程为， 联立方程，解得， 所以，故在抛物线的准线上，A正确； 对B： 因为， 所以，则，故B错误； 对C： 当时，则直线的斜率不存在，故； 当时，则直线的斜率，则，所以； 综上所述：. 则，所以，C正确； 对D： 设的中点为，则， ∴面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最小值为4，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线与直线平行，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两直线平行求参数即可 【详解】因为， 所以， 所以或. 当时，，， 重合； 当时，，， ，符合题意. 故答案为：2. 14. 笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，为长方体，且，点是轴上一动点，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合对称性分析运算. 【详解】由图可知：， A关于轴对称的点为，则. 故答案为：. 15. 已知两圆与外离，则整数的一个取值可以是___________. 【答案】（只需从中写一个答案即可） 【解析】 【分析】分别求两圆的圆心和半径，根据两圆的位置关系列式运算. 【详解】因为圆的圆心为(3,)，半径为，圆的圆心为，半径为 则两圆圆心的距离为. 由题意可得，所以， 故整数的取值可能是，. 故答案为：（只需从中写一个答案即可）. 16. 设椭圆的上顶点为，且长轴长为，则椭圆的标准方程为___________；过任作两条互相垂直的直线分别另交椭圆于，两点，则直线过定点___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，根据是椭圆的上顶点，得到，再根据长轴长为，得到求解；设直线的方程为，与椭圆方程联立，由求解. 【详解】解：设， 因为是椭圆的上顶点，所以． 因为长轴长为，所以， 所以椭圆的标准方程为． 易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 由可得， 所以，， 因为，， 所以， ， ， 所以，解得或． 当时，直线经过点，不满足题意， 所以直线的方程为， 故直线过定点． 故答案为：， 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 椭圆的左､右焦点分别为，焦距为6，点为椭圆上一点，，且的面积为9. （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于两点，的中点为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求出a，即可求出，从而得解；（2）根据题意利用点差法运算求解，注意讨论斜率是否存在. 【小问1详解】 由，可得，故. 因为，且， 所以，则. 又因为， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，则， 当直线的斜率不存在时，则，不合题意，舍去； 当直线的斜率存在时， ∵，则相减整理得，即直线的， 所以直线的方程为，即； 综上所述：直线的方程为. 18. 已知的顶点分别为，，． （1）求外接圆的方程； （2）直线上有一动点，过点作外接圆的一条切线，切点为，求的最小值，并求点的坐标． 【答案】（1）； （2）的最小值为，点的坐标为. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入三个点的坐标得到方程组，解出即可； （2）设圆心为，首先判断与圆相离.根据已知条件，可得出，则当最小时，最小.又，即圆心到直线的距离，进而根据已知可求出最小时点的坐标. 【小问1详解】 设外接圆的方程为， 代入，，，可得， 即，解得， 所以外接圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，外接圆可化为， 圆心设为，半径. 设为点到直线的距离，则，所以与圆相离. 由已知，是圆的一条切线，切点为，则， 在中，有，所以要使最小，只需最小． 当时，最小，即， . 设，因为，可设直线方程为， 又，所以，所以. 所以，直线方程为，又在上， 联立与的方程，解得，即． 19. 如图，已知矩形所在平面与平面垂直，在直角梯形中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，利用面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直可得，根据线面垂直的判定即可证明平面； （2）以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，利用公式即可求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 证明：在直角梯形中，，，且， 可得． 因为四边形为矩形，所以． 因为平面平面，且平面平面， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，且，平面， 所以平面． 【小问2详解】 解：由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系．不妨设，则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，令，得． 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 20. 如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为等边三角形，. （1）求四棱锥的体积； （2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据已知条件证明平面，即为四棱锥的高，利用锥体的体积公式计算即可； （2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，找出平面与平面的法向量，然后利用法向量求出二面角的大小的余弦值. 【小问1详解】 在等腰梯形中，， 得. 取的中点，连接. 在中，由余弦定理得：. 在中，知，且. 因为，所以. 因为，平面，所以平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）知平面，以为原点，以的方向分别为轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 设平面的法向量为， 则令，得， 设平面的法向量为， 则令，得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 21. 已知抛物线上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线的方程； （2）抛物线的准线与轴交于点，过的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的准线交于点，点关于轴对称的点为，试判断三点是否共线，并说明理由. 【答案】（1） （2）三点共线，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，进而求得抛物线的方程. （2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，求得的坐标，计算出，从而证得三点共线. 【小问1详解】 由得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 抛物线的准线方程为，所以. 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，得， 则.由，得或. 直线的方程为，令， 得，即， 所以. 因为， ， 所以，故三点共线. 22. 已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，，且焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为双曲线的左顶点，点为轴上一动点，过的直线与双曲线的右支交于两点，直线分别交直线于两点，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合双曲线的定义可得，再根据余弦定理解得，再利用点到直线的距离结合运算求解即可；（2）因为，所以，则根据韦达定理运算求解，注意分类讨论斜率是否存在. 【小问1详解】 由题意可得：， 所以， 在中，， 由余弦定理得， 即，整理得. 不妨取右焦点到渐近线的距离为， 所以，可得. 因为，所以， 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 ∵，则， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组，消去y得：， ∴， 则，解得， 则， 因为直线，令，得，即， 同理可得. 因为， 所以， 解得或； 当直线的斜率不存在时，不妨设，此时点， 因为， 所以，解得或； 综上所述：的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $