第一章 有理数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 七年级上册数学第一章有理数培优单元卷，以文化传承与生活实践为情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，覆盖数轴、绝对值等核心知识，适配单元复习与培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、数轴距离等|算筹计数法情境体现文化传承，数轴与圆滚动结合考查几何直观| |填空题|6/18|绝对值最小值、距离公式等|会议地点设置问题联系生活，培养模型意识| |解答题|8/72|数轴动点、绝对值几何意义等|综合动点与距离计算，提升推理能力与应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）中国古代的算筹计数法可以追溯到公元5世纪，摆法有纵式和横式两种．并且可以在个位数画上斜线来表示负数．如表示，则表示的数为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）数轴上，点A 表示的数是，点B 距离点A三个单位，则点B 表示的数是（ ） A．2 B． C． D．或 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是，则点E表示的数是（　　） A．6 B．1 C．3 D．2 5．（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（ ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（ ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 7．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）如图，小港站在☆的位置，以☆为起点，向东走用正数表示，向西走用负数表示．他先走了米，又走了米，最后他的位置在点（ ）处． A．A B．B C．C D．D 8．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 9．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（ ） A．C B．B C．E D．F 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 12．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 13．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为有理数，则的最小值为______． 16．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知有理数a，b，c，d中，a，d为负数，b，c为正数，且 (1)画出数轴，并标出表示数a，b，c，d的点的大致位置： (2)将a，，，按照从小到大的顺序排列（直接写答案）； (3)若有理数m满足，试比较b，，m之间的大小关系． 18．（8分）（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 19．（8分）（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 20．（8分）如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 21．（10分）（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）【问题背景】在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道，它在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示O的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示4的点与表示2的点之间的距离．点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为． 【问题发现】 （1）数轴上表示3与5的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______；若数轴上表示数x的点到原点的距离为2，且表示数x的点在原点的左边，则x的值为______． 【类比探索】 （2）点M、N在数轴上分别表示数x和． ①数轴上M，N两点之间的距离是______； ②若，求x的值． 【拓展应用】 （3）若的最小值是4，求a的值． 22．（10分）（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 23．（10分）（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 24．（10分）（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．C 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．B 8．D 9．A 10．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．6 12． 13．或1/1或 14．2 15． 16．5或9 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分） 【详解】（1）如图 2分 （2）解：∵a，d为负数，b，c为正数，，， 为正数，a，，为负数， ，根据正数负数，两个负数比较，绝对值大的反而小， ，即； 4分 （3）解：需分情况讨论： ①当时，因为，所以，与题意矛盾，舍去， ②当时，因为，且，所以， ③当时，因为，且，所以． 综上所述，当时，；当时，． 8分 18．（8分） 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； 4分 （2）解：点位置如图所示： 8分 19．（8分） 【详解】（1）解：图1的数轴上，个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为； 故答案为：，，； 3分 （2）解：由（1）可知点所对应的数为， 所以点到点的距离为． 因为点到点的距离是点到点距离的2倍， 所以点到点的距离是． 当点在点左侧时，点所对应的数为 当点在点右侧时，点所对应的数为 综上，点所对应的数为或0． 5分 20．（8分） 【详解】（1）解：∵点A、B表示的数是互为相反数， ∴原点为线段的中点， ∵点C在原点左边一格位置， ∴点C表示的数是， 故答案为：； 4分 （2）解：∵点B、E表示的数是互为相反数， ∴原点为线段中点，即为点C， 点D距离点C5个单位， ∴点D表示的数的绝对值为5； 此时点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 故答案为：5． 8分 21．（10分） 【详解】解：（1）数轴上表示3与5的两点之间的距离为， 数轴上表示与的两点之间的距离为， 若数轴上表示数x的点到原点的距离为2，且表示数x的点在原点的左边，则x的值为， 故答案为：；；； 3分 （2）①根据题意数轴上M，N两点之间的距离是， 故答案为：； ②根据题意可得， 或， 解得或； 6分 （3）|的最小值是4，即当x在1和之间时，， ∴， 或， 或． 10分 22．（10分） 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． 2分 （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． 4分 （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 10分 23．（10分） 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． 2分 （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． 6分 （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 10分 24．（10分） 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； 2分 （2）解：∵， ∴或， ∴或， 4分 （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 10分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）中国古代的算筹计数法可以追溯到公元5世纪，摆法有纵式和横式两种．并且可以在个位数画上斜线来表示负数．如表示，则表示的数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数，根据题意即可求得答案． 【详解】 根据题意可知，表示的数为． 故选：C 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）数轴上，点A 表示的数是，点B 距离点A三个单位，则点B 表示的数是（ ） A．2 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，数轴上两点的距离，数轴上点表示有理数，理解点的位置关系是解题的关键．点B与点A的距离为3个单位，点A表示的数为，因此点B可能在点A的左侧或右侧，对应两个可能的值． 【详解】解：∵点A表示的数为，点B与点A的距离为3个单位， ∴点表示的数为 或．故选：D． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零． 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是，则点E表示的数是（　　） A．6 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的性质和数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的性质是解决本题的关键．先确定原点，根据D和E的距离可得结论． 【详解】解：如果点C表示的数是，则点D表示原点，所以E表示的数是2， 故选：D． 5．（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（ ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（ ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分种情况讨论，再进行计算求值；每种情况交换两组数，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【详解】解：若取6，7，8，取5，4，3， ∴； 若取5，6，7；取8，4，3， ∴； 若取4，5，6；取8，7，3， ∴； 若取3，4，6；取8，7，5， ∴； 若取3，4，7；取8，6，5， ∴； 若取4，7，8；取6，5，3， ∴； 若取3，5，8；取7，6，4， ∴； 若取3，6，8；取7，5，4， ∴； 若取4，6，8；取7，5，3， ∴； 若取4，5，8；取7，6，3， ∴； 以上每种情况交换两组数，即，，分别变为，，；，，分别变为，，，则，结果不变；如取4，5，8；取7，6，3，交换两组数，即取3，6，7；取8，5，4，此时； 综上所述，m为9． 故选：B． 7．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）如图，小港站在☆的位置，以☆为起点，向东走用正数表示，向西走用负数表示．他先走了米，又走了米，最后他的位置在点（ ）处． A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，把两次走的距离相加可得最后他的位置与☆的距离和方向，据此可得答案． 【详解】解：， ∴最后他的位置在☆的西边，与☆的距离为2米， ∴最后他的位置在点B处， 故选：B． 8．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 9．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上数字类的规律探索，关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系；圆沿着数轴每向右滚动一圈后，都向右前进个单位长度，那么每一圈的滚动过程中数轴上从开始的整数分别对应圆上的、、、，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， ∴数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ∵， ∴数轴上表示的数与圆上表示的点重合， 故选：A ． 10．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（ ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 【答案】6 【分析】本题考查数轴上两点间的距离计算．解题的关键是利用数轴上两点间距离公式进行计算． 已知点A表示的数为4，点B表示的数为，代入距离公式，计算得到距离为 ． 【详解】解：点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离为． 故答案为6． 12．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【详解】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为有理数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，可得，即可求解． 利用绝对值的非负性，确定代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值为 故答案为：． 16．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________． 【答案】5或9 【分析】本题考查绝对值的应用，数轴，掌握知识点是解题的关键． 由，，得到b是a和c的中点，，，由，得到，即，设x表示点E的数，当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有，分类进行分析计算；当点D在点A的左侧时，分类进行分析计算，即可解答． 【详解】解：由，， ∴b是a和c的中点，，， 由，得 ，即， 设x表示点E的数， 当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有， ①当点E在点A的左侧时，如图 ， ②当点E在点C的右侧时，如图 ， ③当点E在点C上时，如图 ， ④当点E在点A上时，如图 ， ⑤当点E在之间时，如图 ， ⑥当点E在之间时，如图 ⑦当点E在之间（包括点C，D）时，如图 ， ∴的最小值为5． 当点D在点A的左侧时，同理可得， 当点E在之间时，取得最小值，如图 ∴． 综上所述，的最小值为5或9． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知有理数a，b，c，d中，a，d为负数，b，c为正数，且 (1)画出数轴，并标出表示数a，b，c，d的点的大致位置： (2)将a，，，按照从小到大的顺序排列（直接写答案）； (3)若有理数m满足，试比较b，，m之间的大小关系． 【答案】(1) 如图 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及数轴上的表示，根据题意画出表示数a，b，c，d的点的大致位置是解题的关键． （1）根据已知条件，分析出a，b，c，d距离原点的远近即可解答； （2）化简可得 (负数)， (正数)，结合（1）中所画图a，b，c，d的大致位置即可解答； （3）由题意可知为正数且，但是不知道有理数的情况，故分三种情况(， ，)讨论即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵a，d为负数，b，c为正数，，， 为正数，a，，为负数， ，根据正数负数，两个负数比较，绝对值大的反而小， ，即； （3）解：需分情况讨论： ①当时，因为，所以，与题意矛盾，舍去， ②当时，因为，且，所以， ③当时，因为，且，所以． 综上所述，当时，；当时，． 18．（8分）（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 19．（8分）（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 【答案】(1)，，； (2)点所对应的数为或0． 【分析】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键． （1）根据图1和图2中的数据可直接得出答案； （2）求出，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：图1的数轴上，个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知点所对应的数为， 所以点到点的距离为． 因为点到点的距离是点到点距离的2倍， 所以点到点的距离是． 当点在点左侧时，点所对应的数为 当点在点右侧时，点所对应的数为 综上，点所对应的数为或0． 20．（8分）如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 【答案】(1)； (2)5；点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 【分析】本题考查数轴、相反数、绝对值，解答关键是确定原点的位置． （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等确定原点位置求解即可； （2）同（1）方法确定原点位置，再根据各点的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵点A、B表示的数是互为相反数， ∴原点为线段的中点， ∵点C在原点左边一格位置， ∴点C表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点B、E表示的数是互为相反数， ∴原点为线段中点，即为点C， 点D距离点C5个单位， ∴点D表示的数的绝对值为5； 此时点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 故答案为：5． 21．（10分）（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）【问题背景】在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道，它在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示O的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示4的点与表示2的点之间的距离．点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为． 【问题发现】 （1）数轴上表示3与5的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______；若数轴上表示数x的点到原点的距离为2，且表示数x的点在原点的左边，则x的值为______． 【类比探索】 （2）点M、N在数轴上分别表示数x和． ①数轴上M，N两点之间的距离是______； ②若，求x的值． 【拓展应用】 （3）若的最小值是4，求a的值． 【答案】（1）；；；（2）①；②或；（3）或 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，绝对值方程，利用数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）①利用数轴上两点之间的距离公式的定义即可解答； ②根据题意，列绝对值方程即可解答； （3）利用分类讨论的方法即可得出的值． 【详解】解：（1）数轴上表示3与5的两点之间的距离为， 数轴上表示与的两点之间的距离为， 若数轴上表示数x的点到原点的距离为2，且表示数x的点在原点的左边，则x的值为， 故答案为：；；； （2）①根据题意数轴上M，N两点之间的距离是， 故答案为：； ②根据题意可得， 或， 解得或； （3）|的最小值是4，即当x在1和之间时，， ∴， 或， 或． 22．（10分）（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 23．（10分）（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 24．（10分）（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）中国古代的算筹计数法可以追溯到公元5世纪，摆法有纵式和横式两种．并且可以在个位数画上斜线来表示负数．如表示，则表示的数为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）数轴上，点A 表示的数是，点B 距离点A三个单位，则点B 表示的数是（ ） A．2 B． C． D．或 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是，则点E表示的数是（　　） A．6 B．1 C．3 D．2 5．（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（ ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（ ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 7．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）如图，小港站在☆的位置，以☆为起点，向东走用正数表示，向西走用负数表示．他先走了米，又走了米，最后他的位置在点（ ）处． A．A B．B C．C D．D 8．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 9．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（ ） A．C B．B C．E D．F 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 12．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 13．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为有理数，则的最小值为______． 16．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知有理数a，b，c，d中，a，d为负数，b，c为正数，且 (1)画出数轴，并标出表示数a，b，c，d的点的大致位置： (2)将a，，，按照从小到大的顺序排列（直接写答案）； (3)若有理数m满足，试比较b，，m之间的大小关系． 18．（8分）（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 19．（8分）（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 20．（8分）如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 21．（10分）（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）【问题背景】在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道，它在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示O的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示4的点与表示2的点之间的距离．点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为． 【问题发现】 （1）数轴上表示3与5的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______；若数轴上表示数x的点到原点的距离为2，且表示数x的点在原点的左边，则x的值为______． 【类比探索】 （2）点M、N在数轴上分别表示数x和． ①数轴上M，N两点之间的距离是______； ②若，求x的值． 【拓展应用】 （3）若的最小值是4，求a的值． 22．（10分）（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 23．（10分）（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 24．（10分）（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $