第1章 有理数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材沪科版七年级上册

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第1章 有理数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 2．（本题4分）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 3．（本题4分）下列说法正确的是（   ） A．绝对值最小的正整数是 B．相反数与它本身相等的数是 C．倒数与它本身相等的数有，， D．一定不是正数 4．（本题4分）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（本题4分）若有理数m，n满足，则m，n的关系是（    ） A．m，n异号，且负数的绝对值大 B．m，n异号，且正数的绝对值大 C．m，n的绝对值相等 D．m，n同号或至少有一个为0 6．（本题4分）数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． ∴ 故选：B． 7．（本题4分）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 8．（本题4分）若，，且，则的值是（ ） A．或2 B．或12 C．或 D．12或2 9．（本题4分）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．（本题4分）已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）计算：______． 12．（本题5分）比较大小：344________433，________，________（用“”，“”，“”填空）． 13．（本题5分）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 14．（本题5分）如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内． 16．（本题8分）下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 17．（本题8分）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 18．（本题8分）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 19．（本题10分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 20．（本题10分）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 21．（本题12分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，x与在数轴上表示的点相距2个单位长度，求：的值． 22．（本题12分）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 23．（本题14分）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第1章 有理数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 2．（本题4分）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 3．（本题4分）下列说法正确的是（   ） A．绝对值最小的正整数是 B．相反数与它本身相等的数是 C．倒数与它本身相等的数有，， D．一定不是正数 4．（本题4分）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（本题4分）若有理数m，n满足，则m，n的关系是（    ） A．m，n异号，且负数的绝对值大 B．m，n异号，且正数的绝对值大 C．m，n的绝对值相等 D．m，n同号或至少有一个为0 6．（本题4分）数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． ∴ 故选：B． 7．（本题4分）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 8．（本题4分）若，，且，则的值是（ ） A．或2 B．或12 C．或 D．12或2 9．（本题4分）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．（本题4分）已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）计算：______． 12．（本题5分）比较大小：344________433，________，________（用“”，“”，“”填空）． 13．（本题5分）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 14．（本题5分）如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内． 16．（本题8分）下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 17．（本题8分）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 18．（本题8分）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 19．（本题10分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 20．（本题10分）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 21．（本题12分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，x与在数轴上表示的点相距2个单位长度，求：的值． 22．（本题12分）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 23．（本题14分）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第1章 有理数·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B B D B C D A C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11． 12． 13．2 14．3 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（8分） 【详解】解：， 如图所示，即为所求： 16．（8分） 【详解】（1）解： （4分） （2）解： （8分） 17．（8分） 【详解】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合；（1分） （2）①由题意，对折中心点为，（2分） ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合；（3分） ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ；（4分） （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴．（8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：研究报告中的依据1是指拆项法，依据2是指乘法分配律；（2分） （2）解：原式 ， 故“▲”处空缺的内容为9；（5分） （3）解：原式 ．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：（斤）；（2分） （2）解：（斤）； 本周实际销售总量达到了计划数量；（6分） （3）解：（元）， 答：小明本周一共收入3585元．（10分） 21．（12分） 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，，与在数轴上表示的点相距2个单位长度， ，，，，， ，，或，（4分） 当时， ； 当时，（8分） ； 由上可得，的值为或．（12分） 22．（12分） 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足；（5分） （2）∵， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 因为． ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律．（12分） 23．（14分） 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28．（2分） （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7；（4分） ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21．（8分） （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且，， 所以爷爷现在的年龄是65岁，小红现在的年龄是13岁．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第1章 有理数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方，相反数的意义解答即可． 本题考查了乘方，相反数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数， 故选：A． 2．（本题4分）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（本题4分）下列说法正确的是（   ） A．绝对值最小的正整数是 B．相反数与它本身相等的数是 C．倒数与它本身相等的数有，， D．一定不是正数 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，根据绝对值、相反数、倒数的定义，对每个选项逐一分析判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵正整数是大于的整数，不是正整数，绝对值最小的正整数是， ∴该选项错误，不符合题意； 、∵只有的相反数是它本身，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数， ∴该选项正确，符合题意； 、∵没有倒数，倒数与本身相等的数是和， ∴该选项错误，不符合题意； 、∵当为负数时，是正数，例如时，， ∴该选项错误，不符合题意； 故选：． 4．（本题4分）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 5．（本题4分）若有理数m，n满足，则m，n的关系是（    ） A．m，n异号，且负数的绝对值大 B．m，n异号，且正数的绝对值大 C．m，n的绝对值相等 D．m，n同号或至少有一个为0 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简与计算，熟练掌握绝对值的化简法则并分类讨论是解题的关键． 分三种类型分别分析即可：m、n同号；m、n异号；m、n中至少一个为零． 【详解】解：当m、n同号时，有两种情况： ①，，此时，，故成立； ②，，此时，，故成立； ∴当m、n同号时，成立； 当m、n异号时，则：，故不成立； 当m、n中至少一个为零时，成立． 综上，如果|则m、n同号或m、n中至少一个为零． 故选：D． 6．（本题4分）数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，根据题意把，，表示在数轴上，进而根据数轴比较大小，即可求解． 【详解】解：如图所示，把，，表示在数轴上， ∴ 故选：B． 7．（本题4分）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 依据题干给出的定义分情况列式计算即可； 【详解】解：根据题意，依次输入2，3，6， 则； 依次输入2，6，3， 则； 依次输入3，2，6， 则； 依次输入3，6，2， 则； 依次输入6，3，2， 则； 依次输入6，2，3， 则； 综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5． 故选：C． 8．（本题4分）若，，且，则的值是（ ） A．或2 B．或12 C．或 D．12或2 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值、绝对值，由，得到，，由得到，进而得到且，再分2种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴且， 当，时，； 当，时，； ∴综上，的值是12或2． 故选：D． 9．（本题4分）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，准确识图，判断出、两个数之间的距离小于3是解题的关键． 根据数轴判断出、两个数之间的距离小于3，然后根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：， 、两个数之间的距离小于3， ， ∴原点不在、两个数之间，(否则)，即原点不在或， ∴原点是或． 故选：A． 10．（本题4分）已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题与抽屉原理，分析整数的奇偶性并运用抽屉原理是解题的关键． 通过，b，的奇偶性进行分类讨论：①若，b，全为奇数或全为偶数；②若，b，既有奇数又有偶数，则必有两个数同为奇数或同为偶数；以此证明无论，b，的奇偶如何组合，代数式，，中至少有一个是整数，即可判断． 【详解】解：∵，b，是整数， ∴分两种情况讨论： ①若，b，全为奇数或全为偶数，则，，均为偶数， ∴，，均为整数. ②若，b，既有奇数又有偶数，根据抽屉原理，必有两个数同为奇数或同为偶数， 设这两数为和，则为偶数， ∴为整数，即三个代数式中至少有一个为整数； 综上，，，中至少有一个是整数． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除运算，熟练掌握运算顺序和运算原则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数化为假分数，再根据有理数乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 12．（本题5分）比较大小：344________433，________，________（用“”，“”，“”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的比较大小，解题的关键是掌握有理数大小比较的法则． 对于正数比较，直接比较大小；对于负数比较，比较绝对值，绝对值大的反而小；对于相反数和绝对值，先计算其值再比较． 【详解】解：344和433都是正数， ∴， 故答案为：； ，， 由于， 所以， 故答案为：； ，， 所以， 故答案为：． 13．（本题5分）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值及数字变化规律，找到数字变化的规律是解题的关键．依次计算前几次的输出结果，从而发现输出结果的循环规律，利用周期性即可得到答案． 【详解】解：第一次：输入，为偶数，输出； 第二次：输入，为奇数，输出； 第三次：输入，为偶数，输出； 第四次：输入，为偶数，输出； 第五次：输入，为偶数，输出； 第六次：输入，为偶数，输出； 第七次：输入，为偶数，输出； 第八次：输入，为奇数，输出； 第九次：输入，为偶数，输出； 故从第四次开始，呈现周期性规律，以为一个周期，循环周期为， ， 故第次输出的结果是． 故答案为：． 14．（本题5分）如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    【答案】3 【分析】先由数轴上两点间距离公式可得，即，易得点 B 表示的数为 2，最后再运用数轴上两点间距离公式求解即可． 【详解】解：∵ 点O，A，C表示的数分别为0，，5， ∴， ∵， ∴， 由图可知点 B 在原点 O 的右侧 ， ∴ 点 B 表示的数为 2， ∵ 点 C 表示的数为 5， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内． 【答案】见解析 【详解】解：， 如图所示，即为所求： 16．（本题8分）下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 17．（本题8分）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、． 18．（本题8分）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ； （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴． 19．（本题10分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 【答案】(1)拆项法；乘法分配律 (2)9 (3) 解：原式 ． 【分析】（1）根据拆项法和乘法分配律求解即可； （2）根据有理数的加减运算法则求解即可； （3）仿照题干方法，可将原式改写为，再利用乘法分配律和有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：研究报告中的依据1是指拆项法，依据2是指乘法分配律； （2）解：原式 ， 故“▲”处空缺的内容为9； （3）略 20．（本题10分）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量 (3)小明本周一共收入3585元 【分析】（1）根据最大正数和最小负数的差值得出结论即可； （2）根据所有差值的和的正负来判断即可； （3）根据售价运费得出收入即可． 【详解】（1）解：（斤）； （2）解：（斤）； 本周实际销售总量达到了计划数量； （3）解：（元）， 答：小明本周一共收入3585元． 21．（本题12分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，x与在数轴上表示的点相距2个单位长度，求：的值． 【答案】或 【分析】根据、互为相反数，、互为倒数，，与在数轴上表示的点相距2个单位长度，可以得到，，，，，然后即可求出、、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，，与在数轴上表示的点相距2个单位长度， ，，，，， ，，或， 当时， ； 当时， ； 由上可得，的值为或． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，非负数的性质，相反数、倒数的应用，绝对值的意义，解答本题的关键是掌握相关知识内容以及明确有理数混合运算的计算方法． 22．（本题12分）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足；（2）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 因为． ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 23．（本题14分）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)65，13 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看作木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且，， 所以爷爷现在的年龄是65岁，小红现在的年龄是13岁． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $