7.2 认识证明 同步讲义 2026-2027学年北师大版 数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦“认识证明”核心内容，系统梳理命题与定理（含定义、结构、真假判断及逆命题）和反证法（适用类型与步骤），构建从命题基础概念到间接证明方法的逻辑递进学习支架。 资料以题型分类为特色，通过典例（如逆命题真假判断）与变式训练，培养学生推理意识和抽象能力，结合“如果…那么…”转化命题提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后通过过关验收（如反证法假设题）帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第7章 7.2 认识证明 内 容 导 航 题型1 命题与定理 题型2 反证法 考 点 演 练 题型1 命题与定理 解｜题｜知｜识 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【典例1】下列命题的逆命题中，是真命题的为（　　） A．无理数都是无限小数 B．成轴对称的两个图形全等 C．若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF D．直角三角形的两锐角互余 【变式1】下列命题中，真命题是（　　） A．如果，那么a＝b B．如果a＝b，那么ac＝bc C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 【变式2】下列命题是真命题的是（　　） ①两条对角线垂直的四边形是菱形； ②四个角相等的菱形是正方形； ③顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形； ④有一组邻边相等的平行四边形是菱形． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【变式3】下列语句不是命题的是（　　） A．如果a＝b，b＝c，那么a＝c B．等角的补角相等 C．过点A作直线m的垂线 D．两个锐角的和是钝角 题型2 反证法 解｜题｜知｜识 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【典例1】用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角”时，应假设（　　） A．∠B是锐角 B．∠B不是锐角 C．∠C是直角 D．∠C不是直角 【变式1】反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，则应先假设（　　） A．三角形中没有内角大于60° B．三角形中有一个内角大于60° C．三角形中三个内角都大于60° D．三角形中有两个内角大于60° 【变式2】“已知a2＝b2，a＞0，b＞0，求证：a＝b”．若用反证法证明，则应假设（　　） A．a＝b B．a≠b C．a2＝b2 D．a2≠b2 【变式3】命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠B＜90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（　　）成立． A．AB≠AC B．∠B＞90° C．∠B≥90° D．AB≠AC且∠B≥90° 过 关 验 收 1．下列选项中，可以用来说明命题“若|a|＞2，则a＞2”是假命题的反例是（　　） A．a＝3 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝﹣4 2．要判断命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（　　） A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝1，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣2 3．下列所学过的真命题中，是公理的是（　　） A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．三角形两边之和大于第三边 D．同角的余角相等 4．下列说法正确的是（　　） A．真命题的逆命题是真命题 B．每个定理都有逆定理 C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题是假命题 5．“两点确定一条直线”这一语句是（　　） A．定理 B．公理 C．定义 D．只是命题 6．下列语句是命题的是（　　） A．你昨天锻炼身体了吗？ B．数学是自然科学的基础 C．第一考场 D．保护视力 7．能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a D．a＝3.14 8．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是60°的三角形是等边三角形 9．下列命题中，原命题与逆命题不同时成立的是（　　） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 10．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式：　 　 ． 故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 11．命题“如果x＝1，那么x2＝1”的逆命题是　 　 命题． 12．命题“等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等”是　 　 命题．（填“真”或“假”） 13．命题“同角的余角相等”的条件是 　 ，结论是 　 　 ． 14．如图，已知∠1+∠ABC＝180°，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题． ①BE是∠ABC的角平分线；②∠E＝∠2；③DF∥AB． 你选的条件是 　 　 ，结论是 　 　 ．请加以证明． 15．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知AD∥BF，AE∥BC，AF∥EC，若∠B＝45°，∠C＝75°，将求∠FAD的过程填写完整． 解：∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC． ∵AE∥BC， ∴①　 +∠DAE＝180°． 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝（② 　 ）°． ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°． ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝③　 ．（④　 ） 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝（⑤　 　 ）°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝（⑥　 　 ）°． 16．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，∠B与∠E的关系是 　 ； （2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 17．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（　　） A．直角三角形的每个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45° C．直角三角形的每个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45° 18．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设　 　 ． 19．用反证法证明：平行于同一条直线的两条线平行． 20．用反证法证明：如果a+b＞0，那么a，b中至少有一个大于零． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 7.2 认识证明 内 容 导 航 题型1 命题与定理 题型2 反证法 考 点 演 练 题型1 命题与定理 解｜题｜知｜识 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【典例1】下列命题的逆命题中，是真命题的为（　　） A．无理数都是无限小数 B．成轴对称的两个图形全等 C．若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF D．直角三角形的两锐角互余 【答案】D 【解答】解：A、无理数都是无限小数，逆命题是无限小数都是无理数，假命题，故本选项不符合题意； B．成轴对称的两个图形全等，逆命题是全等的两个图形成轴对称，假命题，故本选项不符合题意； C．若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF，逆命题是若AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF，则△ABC≌△DEF，假命题，故本选项不符合题意； D．直角三角形的两锐角互余，逆命题若三角形的两锐角互余，则它是直角三角形，真命题，故本选项符合题意 故选：D． 【变式1】下列命题中，真命题是（　　） A．如果，那么a＝b B．如果a＝b，那么ac＝bc C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 【答案】B 【解答】解：A、如果，那么a＝±b，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、如果a＝b，那么ac＝bc，正确，是真命题，符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； D、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC不是直角三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列命题是真命题的是（　　） ①两条对角线垂直的四边形是菱形； ②四个角相等的菱形是正方形； ③顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形； ④有一组邻边相等的平行四边形是菱形． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：①两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②四个角相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意； ③顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意； ④有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意． 故选：B． 【变式3】下列语句不是命题的是（　　） A．如果a＝b，b＝c，那么a＝c B．等角的补角相等 C．过点A作直线m的垂线 D．两个锐角的和是钝角 【答案】C 【解答】解：A、如果a＝b，b＝c，那么a＝c，是命题，不符合题意； B、等角的补角相等，是命题，不符合题意； C、过点A作直线m的垂线，不是命题，符合题意； D、两个锐角的和是钝角，是命题，不符合题意； 故选：C． 题型2 反证法 解｜题｜知｜识 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【典例1】用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角”时，应假设（　　） A．∠B是锐角 B．∠B不是锐角 C．∠C是直角 D．∠C不是直角 【答案】B 【解答】解：用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角”时，应假设∠B不是锐角， 故选：B． 【变式1】反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，则应先假设（　　） A．三角形中没有内角大于60° B．三角形中有一个内角大于60° C．三角形中三个内角都大于60° D．三角形中有两个内角大于60° 【答案】C 【解答】解：先假设三角形中每一个内角都大于60°， 故选：C． 【变式2】“已知a2＝b2，a＞0，b＞0，求证：a＝b”．若用反证法证明，则应假设（　　） A．a＝b B．a≠b C．a2＝b2 D．a2≠b2 【答案】B 【解答】解：用反证法证明命题“a2＝b2，a＞0，b＞0，求证：a＝b”， 应假设a≠b， 故选：B． 【变式3】命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠B＜90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（　　）成立． A．AB≠AC B．∠B＞90° C．∠B≥90° D．AB≠AC且∠B≥90° 【答案】C 【解答】解：求证：∠B＜90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设∠B≥90°， 故选：C． 过 关 验 收 1．下列选项中，可以用来说明命题“若|a|＞2，则a＞2”是假命题的反例是（　　） A．a＝3 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝﹣4 【答案】D 【解答】解：∵|﹣4|＝4＞2，﹣4＜2， ∴a＝﹣4是说明命题是假命题的反例， 故选：D． 2．要判断命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（　　） A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝1，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣2 【答案】D 【解答】解：根据命题和定理的相关知识点逐项分析判断如下： A、若a＝2，b＝﹣1，满足a2＞b2，故本选项不符合题意； B、若a＝1，b＝0，满足a2＞b2，故本选项不符合题意； C、若a＝2，b＝1，满足a2＞b2，故本选项不符合题意； D、若a＝﹣1，b＝﹣2，满足a＞b，而a2＞b2不成立，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列所学过的真命题中，是公理的是（　　） A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．三角形两边之和大于第三边 D．同角的余角相等 【答案】B 【解答】解：对顶角相等、三角形两边之和大于第三边、同角的余角相等都是定理，只有同位角相等，两直线平行是公理． 故选：B． 4．下列说法正确的是（　　） A．真命题的逆命题是真命题 B．每个定理都有逆定理 C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题是假命题 【答案】C 【解答】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误， B、每个定理都有逆命题，故本选项错误， C、每个命题都有逆命题，故本选项正确， D、假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误， 故选：C． 5．“两点确定一条直线”这一语句是（　　） A．定理 B．公理 C．定义 D．只是命题 【答案】B 【解答】解：“两点确定一条直线”是经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题，是公理， 故选：B． 6．下列语句是命题的是（　　） A．你昨天锻炼身体了吗？ B．数学是自然科学的基础 C．第一考场 D．保护视力 【答案】B 【解答】解：A、你昨天锻炼身体了吗？，不是命题，不符合题意； B、数学是自然科学的基础，是命题，符合题意； C、第一考场，不是命题，不符合题意； D、保护视力，不是命题，不符合题意； 故选：B． 7．能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a D．a＝3.14 【答案】B 【解答】解：当a＝0时，a2＝0， 所以命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题． 故选：B． 8．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是60°的三角形是等边三角形 【答案】C 【解答】解：A．逆命题为：等角对等边，成立，不符合题意； B．逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，不符合题意； C．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，符合题意； D．逆命题为：等边三角形的三个角都是60°，成立，不符合题意． 故选：C． 9．下列命题中，原命题与逆命题不同时成立的是（　　） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】C 【解答】解：A、原命题与逆命题均正确，不符合题意； B、原命题与逆命题均正确，不符合题意； C、原命题正确，逆命题错误，符合题意； D、原命题与逆命题均正确，不符合题意； 故选：C． 10．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式：　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．　 ． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 11．命题“如果x＝1，那么x2＝1”的逆命题是　假　 命题． 【答案】假． 【解答】解：命题“如果x＝1，那么x2＝1”的逆命题是“如果x2＝1，那么x＝1”，是假命题； 故答案为：假． 12．命题“等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等”是　真　 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真． 【解答】解：∵等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合， ∴等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线， ∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴“等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等”是真命题， 故答案为：真． 13．命题“同角的余角相等”的条件是 　两个角与同一个角互余　 ，结论是 　这两个角相等　 ． 【答案】两个角与同一个角互余，这两个角相等． 【解答】解：将命题该写成“如果…，那么…”的形式，得“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”， 则原命题的条件是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等． 故答案为：两个角与同一个角互余，这两个角相等． 14．如图，已知∠1+∠ABC＝180°，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题． ①BE是∠ABC的角平分线；②∠E＝∠2；③DF∥AB． 你选的条件是 　①②　 ，结论是 　③　 ．请加以证明． 【答案】①②，③． 【解答】解：选的条件是①②，结论是③，理由如下： ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠2＝∠CBE， ∵∠E＝∠2， ∴∠CBE＝∠E， ∴AE∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∵∠1+∠ABC＝180°， ∴∠A＝∠1， ∴DF∥AB． 故答案为：①②，③． 15．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知AD∥BF，AE∥BC，AF∥EC，若∠B＝45°，∠C＝75°，将求∠FAD的过程填写完整． 解：∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC． ∵AE∥BC， ∴①　∠ADC +∠DAE＝180°． 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝（②　135　 ）°． ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°． ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝③　∠E ．（④　两直线平行，内错角相等　 此处填推理的依据） 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝（⑤　105　 ）°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝（⑥　120　 ）°． 【答案】（1）①见解析；真命题；②已知：如图（EF分别交AB，CD于G，H），GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ，求证：AB∥CD；（2）①∠ADC；②135；③∠E；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120． 【解答】解：（1）①如图： 真命题． ②已知：如图（EF分别交AB，CD于G，H），GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ， 求证：AB∥CD． （2）∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC， ∵AE∥BC， ∴∠ADC+∠DAE＝180°， 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝135°， ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°， ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝∠E（两直线平行，内错角相等）， 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝105°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝120°． 故答案为：①∠ADC；②135；③∠E；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120． 16．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，∠B与∠E的关系是 　∠B+∠E＝180°　 ； （2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∴∠B+∠E＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 故答案为：∠B+∠E＝180°； （2）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∵∠BGN＝∠EGM， ∴∠B＝∠E； （3） 真命题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 17．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（　　） A．直角三角形的每个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45° C．直角三角形的每个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45° 【答案】A 【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°． 故选：A． 18．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设　一个三角形中有两个角是直角　 ． 【答案】一个三角形中有两个角是直角． 【解答】解：根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，应先假设一个三角形中有两个角是直角， 故答案为：一个三角形中有两个角是直角． 19．用反证法证明：平行于同一条直线的两条线平行． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：假设a与b相交于点M， 则过M点有两条直线平行于直线c， 这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾， 所以a∥b． 20．用反证法证明：如果a+b＞0，那么a，b中至少有一个大于零． 【答案】假设a，b都不大于零， 即a≤0，b≤0， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以a+b≤0， 这与已知条件a+b＞0矛盾， 所以假设不成立． 所以a，b中至少有一个大于零． 【解答】证明：假设a，b都不大于零， 即a≤0，b≤0， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以a+b≤0， 这与已知条件a+b＞0矛盾， 所以假设不成立． 所以a，b中至少有一个大于零． 学科网（北京）股份有限公司 $