第02讲 平行线的证明（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册《知识解读•题型专练》

本讲义聚焦“平行线的证明”核心内容，系统梳理平行线的性质（两直线平行得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）与判定（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补得两直线平行），通过几何语言规范表达构建知识支架，形成“性质-判定-综合应用”的完整脉络。 资料以“典例+变式”分层设计题型，涵盖求角度、三角板、折叠及工程车、空竹等实际问题，培养学生几何直观与应用意识。证明题强调推理依据补充，提升逻辑思维能力，课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固练习，弥补知识盲点。

第02讲 平行线的证明 知识点1：平行线的性质 知识点2：平行线的判定 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【题型一 利用平行线性质求角度】 【典例1】如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，直线l与直线a，b分别相交，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，，点在直线上，点，在直线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型二 利用平行线性质解决三角板问题】 【典例2】如图，直线，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，点在直线上，，则的度数为（    ） A． B．20° C． D．40° 【变式1】将含有的三角板按图所示放置，点在直线上，其中，，分别过点作直线的平行线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线m上，若已知，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式3】如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（   ） A． B． C． D． 【题型三 利用平行线性质解决折叠问题】 【典例3】如图，将长方形沿向上折叠，使点B落在边上的F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，把两条长边平行的纸条折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，将一张长方形纸片沿折叠，点，分别落在点处，若，则的度数是 ． 【题型四 平行线性质的实际应用】 【典例4】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】图1是某相框支架的实物图，其示意图如图2所示，其中．若，则的度数为（    ） A．75° B．85° C．95° D．105° 【变式2】空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【变式3】一小区门口升降杆如图所示，于点A，当杆抬升到最高处时，，，那么此时 度． 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型五 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【典例5】如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（ ）， （已知）， 所以 （等量代换）， 所以 （ ，两直线平行） 【变式1】请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________ ）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________ ）． 【变式2】如图，平分，，．求证：． 【变式3】把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是，理由如下： ∵（已知）， ∴_____________（________________________）， 又∵（已知）， ∴_____________（________________________）， ∴（________________________）， ∴_____________（________________________）． 又∵（已知）， ∴_____________（等量代换）． ∴（________________________）． 【题型六 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【典例6】如图，点在射线上，平分，． (1)画，垂足为； (2)求证：． 【变式1】已知平分，，求证：． 【变式2】如图，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【题型七 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 【典例7】完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【变式1】如图所示： ，（已知）， （___________）， _____________（_________________）， 、相交， （__________________）， （等量代换）， （已知）， ． _______________（__________________）． 【变式2】如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【变式3】在下面的括号内，填上推理的依据． 如图，，求证：． 证明：∵， ∴（            ）， ∴（            ）． 【题型八 平行线判定与性质综合】 【典例8】如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，且平分，求的度数． 【变式1】如图，已知F，E分别是射线，上的点．连接，，，其中平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【变式2】如图，已知，于D，于F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3】如图，在四边形中，，，点在上方，连接，，交于点，，． (1)求的度数； (2)点是上的一点，连接，，求证． 一、单选题 1．如图，直线被直线所截，．的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．利用直尺和三角尺画平行线的道理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线互相平行 4．如图，，交于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 6．物理学中，我们知道光线照射到平面镜镜面时会产生反射现象．如图一个平面镜斜着放在水平面上，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后，反射光线刚好与平行，已知入射光线和反射光线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知和，点E在上，，，．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 8．如图：街道与平行，拐角，则拐角（   ） A． B． C． D． 9．如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，（1）若，则，理由是 ．（2）若，则，理由是 ． 11．如图，已知，，则 度， 度． 12．如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 13．如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有 ．（请填写序号） 14．如图，直线，，，则的度数为 ． 三、解答题 15．如图，，，求的度数．请把下列推理的过程和依据补充完整． 解：_______（   ）， _______， 且（    ）， （    ）， （    ）， ∴（    ）． ， _______°． 16．如图，点、、分别在的三条边上，，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 17．如图，点在直线上，，与互余，是上一点，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平行线的证明 知识点1：平行线的性质 知识点2：平行线的判定 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【题型一 利用平行线性质求角度】 【典例1】如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的同位角相等以及角平分线平分角是解题的关键． 结合条件，根据平行线的性质及平角定义可得的度数，再由角平分线的定义即可算出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故选：C． 【变式1】如图所示，直线l与直线a，b分别相交，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据对顶角相等得，结合平行线的性质得，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作，则可证，则，，则题目可解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 【变式3】如图，，点在直线上，点，在直线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余．先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【题型二 利用平行线性质解决三角板问题】 【典例2】如图，直线，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，点在直线上，，则的度数为（    ） A． B．20° C． D．40° 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，平行公理推论等知识，过点作，则，得到，，由等腰直角三角形的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，则， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】将含有的三角板按图所示放置，点在直线上，其中，，分别过点作直线的平行线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 根据平行线性质可知，再根据三角板可知，进而求出，再根据平行线的性质即可求出． 【详解】解：，， ． ， ． ． ， ． 故选：C． 【变式2】如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线m上，若已知，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（内错角相等），结合已知角的度数，推导求出的度数．本题主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）与平行公理的推论（平行于同一直线的两条直线互相平行），作辅助线构造平行关系，利用角的和差与平行线性质转化角度是解题关键． 【详解】解：过点作． ，， ， ，， ∵，， ， ， 故选：． 【变式3】如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键． 过三角形的角顶点作直线的平行线是解决问题的关键，然后利用两直线平行，内错角相等即可求出． 【详解】解：如图，过三角形的角顶点A作直线n的平行线l， ∵， ∴ ∴,， ∴． 故选A． 【题型三 利用平行线性质解决折叠问题】 【典例3】如图，将长方形沿向上折叠，使点B落在边上的F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出，由折叠的性质得到．由平角的定义得出，由平行线的性质推出，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，把两条长边平行的纸条折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平行线的性质和折叠的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵把两条长边平行的纸条折叠，， ∴，， ∵， ∴， 故选：C； ， 【变式2】如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，由平行可求得，又由折叠的性质可得，结合平角可求得，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 又由折叠的性质可得， ， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，将一张长方形纸片沿折叠，点，分别落在点处，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，进行求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵ ∴ 由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【题型四 平行线性质的实际应用】 【典例4】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和． 先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可． 【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 故选：C． 【变式1】图1是某相框支架的实物图，其示意图如图2所示，其中．若，则的度数为（    ） A．75° B．85° C．95° D．105° 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，利用邻补角求角的度数，利用两直线平行同位角相等求出的度数，再根据邻补角求出的度数 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 故选：D． 【变式2】空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式3】一小区门口升降杆如图所示，于点A，当杆抬升到最高处时，，，那么此时 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公里的推论，解题的关键是掌握：平行于同一直线的两直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补． 过点B作，求出，由平行公里的推论得，可得，即可求解． 【详解】解：过点作，如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：150． 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型五 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【典例5】如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（ ）， （已知）， 所以 （等量代换）， 所以 （ ，两直线平行） 【答案】对顶角相等；；；；同位角相等 【分析】本题考查的是平行线的判定，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】解：因为（对顶角相等） （已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 【变式1】请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据补角的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：与互补（已知）， （互补的定义）， （等式的性质）． （平角的定义）， （等式的性质）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 【变式2】如图，平分，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线得到，然后得到，即可证明出． 【详解】证明：平分，， ． ， ． ． 【变式3】把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是，理由如下： ∵（已知）， ∴_____________（________________________）， 又∵（已知）， ∴_____________（________________________）， ∴（________________________）， ∴_____________（________________________）． 又∵（已知）， ∴_____________（等量代换）． ∴（________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质证明即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：与的位置关系是，理由如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 【题型六 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【典例6】如图，点在射线上，平分，． (1)画，垂足为； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，作垂线，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，则即为所求； （2）根据角平分线的定义以及平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴． 【变式1】已知平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和角平分线的定义．根据角平分线定义和等量代换得到，即可证明． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先证明，再根据，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）证明：， ， ． 【变式3】如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可证，根据可证； （2）根据全等三角形对应角相等，可证，根据内错角相等两直线平行，可证结论成立． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ． 【题型七 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 【典例7】完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：．理由如下： 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为平分（已知）， 所以（角的平分线的定义）， 所以（等式的性质）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补两直线平行）． 【变式1】如图所示： ，（已知）， （___________）， _____________（_________________）， 、相交， （__________________）， （等量代换）， （已知）， ． _______________（__________________）． 【答案】等量代换；；；同位角相等，两直线平行； 对顶角相等； ；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】，（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 、相交， （对顶角相等）， （等量代换）， （已知）， ． （同旁内角互补，两直线平行）． 【变式2】如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 平分， ， ， ． 【变式3】在下面的括号内，填上推理的依据． 如图，，求证：． 证明：∵， ∴（           ）， ∴（           ）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（ 两直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【题型八 平行线判定与性质综合】 【典例8】如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，且平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是利用SAS证明三角形全等，再结合角的关系进行推理． （1）通过证明，得到，进而证明； （2）利用，得到，，从而得到，利用角平分线的定义得到，求出的度数． 【详解】（1）证明：在和中 ； （2）解：∵， ， ， ， 平分， ， ． 【变式1】如图，已知F，E分别是射线，上的点．连接，，，其中平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键． （1）由平分，可得，由，可得，进而可得． （2）由，，可得，由，可得，由平分，可得，由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的度数为． 【变式2】如图，已知，于D，于F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行，证明即可； （2）根据垂直于同一直线的两直线平行，平行线的性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在四边形中，，，点在上方，连接，，交于点，，． (1)求的度数； (2)点是上的一点，连接，，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据已知条件求出的度数，再利用四边形内角和或三角形外角等知识，结合与的度数判断与的位置关系，进而求出的度数． （2）求出与相关角的度数，通过同位角或内错角相等来证明 ． 本题主要考查了平行线的判定与性质、对顶角相等以及角的和差计算等知识，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等、同旁内角互补等）和性质（两直线平行，同位角、内错角相等）是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． （2）解：由（1）知， ∴（对顶角相等）． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 一、单选题 1．如图，直线被直线所截，．的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2．如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直线平行的性质，根据“两直线平行，内错角相等”即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， 故选：B． 3．利用直尺和三角尺画平行线的道理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线互相平行 【答案】A 【分析】本题考查了利用直尺和三角尺画平行线，熟练掌握利用直尺和三角尺画平行线的方法是解题关键．利用直尺和三角尺画平行线时，通过固定三角尺的角度并沿直尺平移，确保形成的同位角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线时，通过固定三角尺的角度并沿直尺平移，确保形成的同位角相等， 所以利用直尺和三角尺画平行线的道理是同位角相等，两直线平行， 故选：A． 4．如图，，交于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质， 根据“两直线平行同旁内角互补”得，则此题可解. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选：D. 5．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定， 根据“内错角相等两直线平行”判断A，B，再根据“同位角相等两直线平行”判断C，然后根据“同旁内角互补两直线平行”判断D即可. 【详解】解：∵， ∴， 所以A符合题意； ∵， ∴， 所以B不符合题意； ∵， ∴， 所以C不符合题意； ∵， ∴， 所以D不符合题意. 故选：A． 6．物理学中，我们知道光线照射到平面镜镜面时会产生反射现象．如图一个平面镜斜着放在水平面上，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后，反射光线刚好与平行，已知入射光线和反射光线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，直接利用两直线平行，同旁内角互补可得答案． 【详解】解：∵反射光线刚好与平行，， ∴， 故选：C 7．如图，已知和，点E在上，，，．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质．根据，得，结合已知条件证明，据此计算即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 8．如图：街道与平行，拐角，则拐角（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可作答． 【详解】解：∵街道与平行，， ∴， 故选：C． 9．如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，得到，再根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 10．如图，（1）若，则，理由是 ．（2）若，则，理由是 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； （2）根据两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 【详解】解：（1）若，则，理由是内错角相等，两直线平行． （2）若，则，理由是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 11．如图，已知，，则 度， 度． 【答案】 120 60 【分析】本题主要考查平行线的性质及邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质得到的度数，然后根据邻补角可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为120；60． 12．如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定：同位角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由，得出，、为同位角，所以.由，，得出，所以 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 13．如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有 ．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练应用平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意． 故答案为：①③④． 14．如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 【详解】 如图： 故答案为：． 三、解答题 15．如图，，，求的度数．请把下列推理的过程和依据补充完整． 解：_______（   ）， _______， 且（   ）， （   ）， （   ）， ∴（   ）． ， _______°． 【答案】5；对顶角相等；6；已知；6；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；80． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角的性质；根据对顶角的性质、平行线的判定与性质即可完成． 【详解】解：（对顶角相等）， ， 且（已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ， ． 故答案为：5；对顶角相等；6；已知；6；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；80． 16．如图，点、、分别在的三条边上，，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，根据平行线的判定得出结论即可； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图，点在直线上，，与互余，是上一点，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，再利用同角的余角相等得到，即可求证； （2）先求出，再求出，相减即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵与互余， ∴ ， ∴， ∴． （2）解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了角平分线的定义与垂直的定义，解题关键是牢记平行线的判定方法以及相关概念． 1 学科网（北京）股份有限公司 $