第4章 4.2 认识一次函数同步讲义2026-2027学年数学八年级上册（北师大版）

本初中数学讲义聚焦“认识一次函数”核心知识点，系统梳理一次函数（y=kx+b，k≠0）的定义、结构特征及注意事项，进而延伸至正比例函数（y=kx，k≠0）这一特殊形式，构建从一般到特殊的知识支架，明确两者在定义、系数条件上的联系与区别。 资料以“解题知识+典例+变式+过关验收”为设计逻辑，通过定义辨析题（如判断函数是否为一次函数）培养抽象能力，借助系数取值问题（如求m使函数为正比例函数）发展推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过梯度练习查漏补缺，强化知识应用。

第4章 4.2 认识一次函数 内 容 导 航 题型1 一次函数的定义 题型2 正比例函数的定义 考 点 演 练 题型1 一次函数的定义 解｜题｜知｜识 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 【典例1】下列关于x的函数是一次函数的是（　　） A． B． C．y＝x2﹣1 D．y＝5x﹣2 【变式1】函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】有下列函数关系式：①y＝﹣2x+1；②y＝x；③y＝2x2+1；④，其中一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】已知函数4是关于x的一次函数，则m的值是　 　 ． 题型2 正比例函数的定义 解｜题｜知｜识 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象. 【典例1】下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B．y2＝5x C．y＝2x D．y＝﹣x2 【变式1】下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（　　） A．圆的面积S随半径r的变化而变化 B．用10m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的周长C随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 【变式2】已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　 　 ． 【变式3】若x，y是变量，且y＝（k﹣2）x|k﹣1|是正比例函数，则k值为　 　 ． 过 关 验 收 1．已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 2．在函数y＝（a+3）x+a2﹣9中，当a＝　 　 时，y是x的正比例函数． 3．已知函数y＝（4﹣2m）x|m﹣1|+（n+3）． （1）m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ （2）m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 4．已知关于x的函数y＝（m+1）x2﹣|m|+n+4． （1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 4.2 认识一次函数 内 容 导 航 题型1 一次函数的定义 题型2 正比例函数的定义 考 点 演 练 题型1 一次函数的定义 解｜题｜知｜识 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 【典例1】下列关于x的函数是一次函数的是（　　） A． B． C．y＝x2﹣1 D．y＝5x﹣2 【答案】D 【解答】解：A、y是反比例函数，不符合题意； B、y，不是一次函数不符合题意； C、y＝x2﹣1是二次函数，不符合题意； D、y＝5x﹣2是一次函数，符合题意， 故选：D． 【变式1】函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①当k≠0，y＝kx+b才是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数； 故是一次函数的有②④，共2个， 故选：B． 【变式2】有下列函数关系式：①y＝﹣2x+1；②y＝x；③y＝2x2+1；④，其中一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①y＝﹣2x+1是一次函数， ②y＝x是一次函数， ③y＝2x2+1的自变量x的次数为2，不是一次函数，是二次函数， ④，不是一次函数， 所以上列函数关系式，其中一次函数有2个， 故选：B． 【变式3】已知函数4是关于x的一次函数，则m的值是　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：根据题意可知，m2﹣8＝1且m﹣3≠0， 由m2﹣8＝1，得m2＝9， 解得：m＝±3， 由m﹣3≠0， 解得：m≠3， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 题型2 正比例函数的定义 解｜题｜知｜识 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象. 【典例1】下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B．y2＝5x C．y＝2x D．y＝﹣x2 【答案】C 【解答】解：形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 故选：C． 【变式1】下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（　　） A．圆的面积S随半径r的变化而变化 B．用10m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的周长C随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 【答案】C 【解答】解：A．S与r2成正比，故选项A不符合题意； B．y＝5﹣x不是正比例函数关系，故选项B不符合题意； C．是正比例函数关系，故选项C符合题意； D．Q＝50﹣ks（k为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式3】若x，y是变量，且y＝（k﹣2）x|k﹣1|是正比例函数，则k值为　0　 ． 【答案】0 【解答】解：∵根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k﹣1|＝1， ∴k＝0． 过 关 验 收 1．已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得 ， 解得m＝﹣2． 故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数； （2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x， 故当x时，y的值为3． 2．在函数y＝（a+3）x+a2﹣9中，当a＝　3　 时，y是x的正比例函数． 【答案】3． 【解答】解：∵y是x的正比例函数， ∴a+3≠0，a2﹣9＝0， 解得：a＝3． 故答案为：3． 3．已知函数y＝（4﹣2m）x|m﹣1|+（n+3）． （1）m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ （2）m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【答案】（1）m＝0； （2）m＝0、n＝﹣3． 【解答】解：（1）∵y是x的一次函数， ∴|m﹣1|＝1且4﹣2m≠0， ∴m＝0， ∴当m＝0时函数y＝（4﹣2m）x|m﹣1|+（n+3）是一次函数； （2）∵y是x的正比例函数， ∴|m﹣1|＝1且4﹣2m≠0且n+3＝0， 由|m﹣1|＝1得m﹣1＝±1， ∴m＝0或m＝2， 由4﹣2m≠0得m≠2， 由n+3＝0得n＝﹣3， ∴当m＝0、n＝﹣3时，函数y＝（4﹣2m）x|m﹣1|+（n+3）是正比例函数． 4．已知关于x的函数y＝（m+1）x2﹣|m|+n+4． （1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得： 2﹣|m|＝1， 解得：m＝±1． 又∵m+1≠0即m≠﹣1， ∴当m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数； （2）根据正比例函数的定义，得： 2﹣|m|＝1，n+4＝0， 解得：m＝±1，n＝﹣4， 又∵m+1≠0即m≠﹣1， ∴当m＝1，n＝﹣4时，这个函数是正比例函数． 学科网（北京）股份有限公司 $