2026-2027学年北师大版九年级数学上册《第一章特殊的平行四边形第四节正方形的性质与判定》提优特训A·B卷

**基本信息** 该练习通过A·B卷分层设计，A卷夯实基础概念与基本技能，B卷深化综合应用与创新思维，构建从定义理解到动态问题解决的完整知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷基础过关|正方形定义、性质（边、角、对角线）、判定定理及简单计算|以选择填空考查概念辨析（如对角线性质），解答题侧重基础证明（如全等三角形应用），培养抽象能力与运算能力| |B卷强化提优|正方形与旋转、折叠、动点结合的综合问题，跨知识模块应用（如勾股定理、坐标系）|通过动态几何（如旋转后线段关系）、多结论判断等题型，发展推理能力与空间观念，体现创新意识|

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第一章特殊的平行四边形第四节正方形的性质与判定》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1. 梳理正方形定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，理清四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属包含关系，能从生活图形中抽象正方形几何模型。 2. 整合矩形、菱形全部性质推导正方形专属特征；掌握正方形4类判定路径，能结合全等三角形、勾股定理完成几何证明，规范演绎推理书写格式。 3. 掌握正方形4条对称轴、中心对称双重属性；熟悉对角线分割出4个全等等腰直角三角形经典模型，攻克正方形折叠、旋转、动点几何题型。 4. 利用边长、对角线互相换算长度；掌握两种正方形面积计算公式，结合等腰直角三角形边长关系快速计算线段、周长、面积。 ) 二．知识梳理 ( （一）正方形的定义 1. 正方形的定义 （ 1 ） 核心定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （ 2 ） 衍生定义： ① 四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形； ② 既是矩形又是菱形的四边形是正方形。 2. 定义的深层理解 （ 1 ） 正方形属于特殊的平行四边形，同时具备矩形和菱形的所有特征，是特殊的矩形、特殊的菱形。 （ 2 ） 定义包含三个关键条件： ① 是平行四边形； ② 一组邻边相等； ③ 有一个角是直角，三个条件缺一不可。 （ 3 ） 正方形的定义既是它的本质特征，也是最基础的判定方法。 （ 二 ） 正方形的性质 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 1. 正方形的核心性质 （ 1 ） 边的性质：四条边都相等；对边分别平行。 （ 2 ） 角的性质：四个角都是直角（90 ° ）。 （ 3 ） 对角线性质： ① 对角线互相平分； ② 对角线相等； ③ 对角线互相垂直； ④ 每条对角线平分一组对角，将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （ 4 ） 对称性： ① 是轴对称图形，有4条对称轴（两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线）； ② 是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 2. 正方形与平行四边形、矩形、菱形的性质关联 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质，是最特殊的平行四边形。 ) ( （ 三 ）正方形的判定定理 正方形与之前所学的各种四边形之间有怎样的关系? 1. 正方形判定的核心依据 正方形是特殊的平行四边形，同时具备矩形和菱形的所有特征，因此其判定本质是：证明一个四边形既是矩形又是菱形。 （ 1 ） 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 正方形是特殊的矩形（一组邻边相等的矩形），也是特殊的菱形（有一个角是直角的 的菱形），更是特殊的平行四边形，三者判定条件叠加即可得到正方形判定。 （ 2 ） 正方形的判定定理 定理1：一组邻边相等的矩形是正方形 定理2：有一个角是直角的菱形是正方形 定理3：对角线互相垂直的矩形是正方形 定理4：对角线相等的菱形是正方形 定义判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2. 判定思路总结 （ 1 ） 先证四边形是平行四边形 → 再证是矩形/菱形 → 最后补全菱形/矩形条件得正方形； （ 2 ） 直接证四边形四条边相等、四个角都是直角，直接判定为正方形； （ 4 ） 利用对角线：对角线互相平分+相等+垂直，直接判定为正方形。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（    ） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．正方形面积等于对角线长的平方 【答案】D 【解析】、正方形的两条对角线互相平分，该选项正确，不符合题意；、正方形的两条对角线相等，该选项正确，不符合题意；、两条对角线互相垂直，该选项正确，不符合题意；、设正方形边长为，对角线，∴，∴，∴面积，即正方形面积等于对角线长平方的一半，该选项错误，符合题意； 故选：． 2．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（   ） A．菱形的对角线相等且互相平分 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】A、菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，故选项不符合题意；B、矩形的对角线相等且平分，但不一定垂直，故选项不符合题意；C、菱形的四个角不一定相等，只有正方形的四个角相等，故选项不符合题意；D、正方形的对角线具有菱形和矩形的所有性质，互相垂直平分且相等，故选项符合题意；故选：D． 3.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等 c．一组邻边相等 d．一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是（　　） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 【答案】：C 【解析】：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故选：C． 4.如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．48 【答案】C 【解析】连接交于O，∵四边形是菱形，，∴，，，又，∴，则， ∴，∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，则正方形的面积为24， 故选：C． 5．如图，正方形中，点E为对角线上一点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接．若，，则的长为（   ） A．3 B．7 C． D．8 【答案】B 【解析】连接，∵正方形中，∴，，， 由旋转的性质得，∴，即，∴，∴，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴．故选：B． 6．如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴， ∵,∴，∵，垂足为F，，，∴，∴，∴，∴，∴，故选：C 7．如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，，由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ，在和中，，， ，，．故选：A． 8.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，有一个角是直角 B．③，对角线相等 C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 【答案】B 【解析】A、①有一个角是直角的平行四边形一定是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意；B、③对角线相等的矩形不一定是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意；C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．故选：B． 9．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】如图，过点B作于O，由正方形的性质可∵，∴，，∴，∴，∴，由旋转的性质可得，∴，∴，∴，∴，故选：D． 10．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵正方形边长为，是中点，∴设，则，由折叠性质得．在中，由勾股定理：，即，，，．∴，，．故选：C． 二．填空题（共30分） 11.（2025南明区期末）正方形对角线长为6，它的面积等于______。 【答案】：18 【解析】：正方形面积=×对角线乘积，×6×6=18。 12.（2026云岩区一模）矩形添加条件：________可以变成正方形（填一组邻边相等即可）。 【答案】：一组邻边相等（答案不唯一） 【解析】：矩形邻边相等，满足正方形定义；也可填写对角线互相垂直。 13.（2025南明区一模）正方形对角线长2，边长=______。 【答案】：2 【解析】：边长=对角线÷，2÷=2。 14．如图，正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】∵正方形的边长为3，∴，，∵将绕点D逆时针旋转，得到∴， ∴，∴B，C，M共线，∵，∴，∴， 在与中，，∴，∴，故①正确；∴，故④正确；，故③正确；由题意无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 15．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【解析】如图所示，过点B作于O，由正方形的性质可得， ∵，∴，， ∴，∴，∴，由旋转的性质得， ∴，∴，∴．故答案为：． 16．如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】可添加条件是，理由∵四边形是菱形，，∴菱形是正方形．故答案为：（答案不唯一） 17．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 【答案】/75度 【解析】∵四边形是正方形，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为： 18．如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 【答案】 【解析】由题意可得出：，∴，∴， ∵在正方形中，，∴， ∴，∴， ∴在中，故答案为： 19．如图，正方形的边长为5，对角线交于点E，线段的长为2，在边上移动，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【解析】如图，过E作，过G点作，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，作E点关于的对称点，连接， ∴，∴当H、G、三点共线时，的值最小，此时， ∵，∴，∵，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：． 20．如图，将正方形绕点C顺时针旋转得到正方形，与相交于H，若，则 ． 【答案】 【解析】连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∵正方形是由正方形绕点C顺时针旋转得到，∴，，，∴，∵在和中，，， ，∴在中，， ，即，∴，∴． 故答案为： 三．解答题（共60分） 21.如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 解:（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴； （2）过作于点，∵四边形是正方形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四边形的面积． 22.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由; (2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?请说明理由. 解:(1)OE=OF.理由如下:∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=∠BCE,∵MN∥BC, ∴∠NEC=∠ECB,∴∠NEC=∠ACE,∴OE=OC,∵CF是∠ACD的平分线,∴∠OCF=∠FCD, ∵MN∥BC,∴∠OFC=∠FCD,∴∠OFC=∠OCF,∴OF=OC,∴OE=OF. (2)当点O运动到AC的中点,且△ABC满足∠ACB为直角时,四边形AECF是正方形. 理由如下:当点O运动到AC的中点时,AO=CO,又∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形, ∵FO=CO,∴AO=CO=EO=FO,∴AO+CO=EO+FO,∴AC=EF,∴四边形AECF是矩形. ∵MN∥BC,∠ACB=90°,∴∠AOE=90°,∴AC⊥EF,∴四边形AECF是正方形. 23．如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 解：（1）证明：∵四边形是正方形，，，， AE⊥DG,，，，，在和中，，； （2）证明：，，，，． 24.如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点． (1)求直线的解析式； (2)直线经过点，并与直线交于点，求点的坐标． 解:（1）∵正方形的顶点坐标分别为，，∴CD=AD=3-1=2,轴，点的坐标为，设直线的解析式为，把及，代入，得，解得，直线的解析式为； （2）由题意知：，∴点的坐标为，把，代入，得，直线的解析式为，联立得，解得，点的坐标为． 25.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解：（1）如图1，EF＝BE+DF，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，又∵BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF， （2）如图2，EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，∴∠D＝∠4，又∵AB＝AD，BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵，∴∠1+∠3＝∠EAF，∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF． 26.综合与实践：折纸， 素材：一张正方形纸片 步骤：（1）如图，将正方形纸片对折，沿折痕剪开，取其中一张矩形，将矩形对折，使边与重合，折痕交于点，展开； （2）分别将、沿过点的直线折叠，点，重合于点处，折痕分别交、于点、． 猜想与证明： (1)直接写出与的位置关系和数量关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 解:（1），； (2证明：如图，由折叠可知，，，，，过点作于点，则四边形是长方形，，，，四边形是正方形对折得到的长方形，得，，，，． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．（2025乌当区一模）正方形绕对角线交点旋转多少度可以与自身重合（最小角度）（ ） A. 45° B. 90° C. 180° D. 60° 【答案】：B 【解析】：正方形最小旋转角90°即可重合。 2．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】连接，交于H点，如图，根据作法得垂直平分，∵四边形为正方形，∴，∴，∵垂直平分，∴． 3．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A. B． C． D． 【答案】B 【解析】∵四边形是正方形，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，故选：B ． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A. B． C． D． 【答案】A 【解析】作轴于点，作轴于点，则，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵点的坐标为，∴，，∴，，∴点的坐标为． 5．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵正方形边长为，是中点，∴设，则，由折叠性质得．在中，由勾股定理：， 即，，，．∴，，．故选：C． 6．如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】如图，，，， 又，，，，，，同理可得：， ，故选：C． 7．如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】∵四边形是正方形，∴．∵，∴．在和中，，∴．∴，故①正确．∵，∴．∵，∴，∴，即，故②正确．∵， ∴．∴，，∴，故④正确；如图所示：连接，∵，∴，而，∴，故③错误．综上，只有③错误．故选：A． 8.如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．28 B．24 C．20 D．16 【答案】B 【解析】过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴△EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝AF•EM，S△ABC＝AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，故选：B． 9．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（　　） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】作点F关于BC的对称点M，连接CM，连接EM交BC于点P，如图所示：则PE+PF的值最小＝EM；∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，∴EC＝10，FC＝5＝AE，∵点M与点F关于BC对称，∴CF＝CM＝5，∠ACB＝∠BCM＝45°，∴∠ACM＝90°，∴EM＝＝＝5，同理：在线段AB，AD，CD上都存在1个点P，使PE+PF＝5；∴满足PE+PF＝5的点P的个数是4个；故选：B． 10．把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①，②摆放，阴影部分的周长分别为和，则和的大小关系是（     ） A. B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】设底面正方形盒底的边长为，三张大小相同的正方形卡片A，B，C的边长为，对图①，，，故阴影的总周长；对图②，，，故阴影的总周长；因此． 二．填空题（共30分） 11．如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 【答案】 【解析】正方形的边长为，对角线，交于点，，，，在中，由勾股定理得：，，，，，的长为． 12．如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________． 【答案】 【解析】由翻折可知，根据题意设，则，又点为边的中点，，在中，，即，解得：，即．故答案为：． 13．如图，E、F 分别是边长为2的正方形边、上的两个动点，连接、、，若的大小始终保持不变，则的周长为 ． 【答案】4 【解析】正方形中，，，将绕着点A逆时针旋转，得到，如图：则，，，，∴G点在的延长线上，∵，∴，∴，即∴， 又∵，∴∴，∴ 即的周长为4．故答案为：4． 14．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝4，BE＝3，则阴影部分的面积是 　　． 【答案】19 【解析】∵AE＝4，BE＝3，∠AEB＝90°，∴AB＝＝5，S△ABE＝＝6，∴S正方形ABCD＝AB×BC＝5×5＝25，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝25﹣6＝19，故答案为：19． 15．如图，E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，P是边CD上任意一点（不与D重合），连接AP，作点D关于AP的对称点F，则线段EF长的最小值等于 　　． 【答案】3﹣6 【解析】如图，根据题意可知：∵E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，∴AD＝AB＝BC＝6，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，CE＝BE＝3，∴AE＝＝＝3，以A为圆心，AD为半径画弧交AE于点F，由AD＝AF，F运动轨迹为圆弧，∴线段EF长的最小值等于AE﹣AF＝3﹣6．故答案为：3﹣6． 16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度为______ 【答案】3.4 【解析】如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形，∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，∵AD＝3，∴DG＝4﹣3＝1，∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，∴△EBC≌△FGC（SAS），∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，∵∠DCE＝45°，∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，∴∠DCE＝∠DCF，∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，∴△ECD≌△FCD（SAS），∴ED＝DF，设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，∴（5﹣x）2+32＝x2，解得：x＝3.4，∴DE＝3.4．故选：B． 17．如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为　 ． 【答案】6﹣6． 【解析】如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=60°，∵BD=BE，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°，∴∠A=∠BDE，∴AC∥DE，∵四边形DEFG是正方形，GF=6，∴DE∥GF，∴AC∥DE∥GF，∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，∴F点到AC的距离为6﹣6．故答案为：6﹣6． 18．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2025B2026C2026的顶点B2026的坐标是　 　． 【答案】（0，22025） 【解析】∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2）， 同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8）， B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍， ∵2026÷8=253…2 ∴B2026的纵横坐标符号与点B2的相同，横坐标为0，纵坐标是22025， ∴B2026的坐标为（0，22025）． 19．如图，已知点是正方形外的一点，连接若，，则的长为 ．    【答案】 【解析】如图，以为对角线画正方形，延长交于点H，  ∴，得矩形，∴在中，∴ ∴，在中，，∴．故答案为：． 20．如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6，则AC＝　　． 【答案】16 【解析】在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°，∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°，∴B、A、O、C四点共圆，∴∠ABO＝∠ACO，∵在△BAO和△CGO中，∴△BAO≌△CGO（SAS），∴OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°，即△AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG＝，即AC＝12+4＝16．故答案为：16 三．解答题（共60分） 21．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． 解：（1）补全图形如图1所示： （2）①证明：如图1所示∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，∴PA＝PE，∠APE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，∵EFBC于F，∴∠PFE＝90°＝∠ABP，∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，∴∠APB＝∠PEF，在△APB和△PEF中， ，∴△APB≌△PEF（AAS），∴PB＝EF，AB＝PF，∵AB＝BC，∴BC＝PF，∴PB＝CF，∴EF＝CF； ②结论：CP﹣CD＝CE．理由：∵CD＝CB，∴CP﹣CD＝CP﹣CB＝PB＝CF，∵EF＝CF，∠CFE＝90°，∴CF＝CE，∴CP﹣CD＝CE； （3）CE＝（CD−CP）或CE＝（CD+CP） 22．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 解：（1）证明：根据翻折的性质，，，又，，，，，在和中，，． （2）证明：如图，连接，交于点．由（1）知，，,又，，，，，点为中点． 23．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时． (1)求证：△ABD≌△ACF； (2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度． 解：(1)证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠FAC，∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABD≌△ACF(SAS)； (2)由(1)知△ABD≌△ACF，∴∠ABD＝∠ACF，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝135°，由(1)知∠ACB＝45°，∴∠DCF＝90°，∵正方形ADEF边长为，∴DF＝4，∴OC＝DF＝×4＝2． 24．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是 　 　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． 解:（1）∵点O为对角线AC的中点，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P为BC的中点，Q为BO的中点，∴PQ∥OC，PQOC，∴PQ⊥BO，PQBO；故答案为：PQBO，PQ⊥BO． （2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O'P并延长交BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，又∵点P是CE的中点，∴CP＝EP，在△O′PE和△FPC中，∴△O'PE≌△FPC（AAS），∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，∴BO'＝BF，∴△O'BF为等腰直角三角形．∴BP⊥O'F，O'P＝BP，∴△BPO'也为等腰直角三角形．又∵点Q为O'B的中点，∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，∴△PQB的形状是等腰直角三角形； （3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECG＝45°，由旋转得，四边形O'ABG是矩形，∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，∴△EGC为等腰直角三角形．∵点P是CE的中点，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，在△O'GP和△BCP中,，∴△O'GP≌△BCP（SAS），∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，∴∠O'PB＝90°，∴△O'PB为等腰直角三角形，∵点Q是O'B的中点，∴PQO'B＝BQ，PQ⊥O'B，∵AB＝1，∴O'A，∴O'B，∴BQ．∴S△PQBBQ•PQ． 25．如图，已知△ABC，在△ABC外分别作正方形和正方形，连接，． (1)判断线段和的关系，并说明理由； (2)如图，依次连接，，，当时，四边形的面积是____． (3)若，以为边作正方形，过点作的垂线交于点，交于点．请根据以下提示完成勾股定理的证明，即证明． 提示：，，又，从而得，同理，． 解:（1），，理由如下，∵四边形和为正方形，∴，，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴； （2）如图，连接，，，设与交于点，由（）得：，，∴，∴，∴四边形的面积为，故答案为：； （3）证明：∵四边形和为正方形，∴，，，∵，，∴，∴，∴根据两条平行线之间的距离处相等，，，∴，，，∴，∴，同理可得，，∴，∴． 26．我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接、、． 【特例感知】 （1）试证明：． （2）如图1，延长到点G，使得，连接，，．图中与的数量关系是_____________． 【结论探索】 （3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，，，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】 （4）在（3）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 解：（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，又∵，∴，在△CDF和中，，∴，∴． （2）如图，连接，∵，，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴， 故答案为：； （3）存在，理由：连接，∵，∴， ∴，在和中，，∴， ∴，，∵，， ∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴． （4）如图，当时，∵，，∴A、E、C在一条直线上，∵， ∴，，；如图，当时，同理可证得：，∴， ∴，，∴B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M，∵，，∴，∴，∴， ∴，，∴，综上所述，的长为或4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第一章特殊的平行四边形第四节正方形的性质与判定》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1. 梳理正方形定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，理清四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属包含关系，能从生活图形中抽象正方形几何模型。 2. 整合矩形、菱形全部性质推导正方形专属特征；掌握正方形4类判定路径，能结合全等三角形、勾股定理完成几何证明，规范演绎推理书写格式。 3. 掌握正方形4条对称轴、中心对称双重属性；熟悉对角线分割出4个全等等腰直角三角形经典模型，攻克正方形折叠、旋转、动点几何题型。 4. 利用边长、对角线互相换算长度；掌握两种正方形面积计算公式，结合等腰直角三角形边长关系快速计算线段、周长、面积。 ) 二．知识梳理 ( （一）正方形的定义 1. 正方形的定义 （ 1 ） 核心定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （ 2 ） 衍生定义： ① 四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形； ② 既是矩形又是菱形的四边形是正方形。 2. 定义的深层理解 （ 1 ） 正方形属于特殊的平行四边形，同时具备矩形和菱形的所有特征，是特殊的矩形、特殊的菱形。 （ 2 ） 定义包含三个关键条件： ① 是平行四边形； ② 一组邻边相等； ③ 有一个角是直角，三个条件缺一不可。 （ 3 ） 正方形的定义既是它的本质特征，也是最基础的判定方法。 （ 二 ） 正方形的性质 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 1. 正方形的核心性质 （ 1 ） 边的性质：四条边都相等；对边分别平行。 （ 2 ） 角的性质：四个角都是直角（90 ° ）。 （ 3 ） 对角线性质： ① 对角线互相平分； ② 对角线相等； ③ 对角线互相垂直； ④ 每条对角线平分一组对角，将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （ 4 ） 对称性： ① 是轴对称图形，有4条对称轴（两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线）； ② 是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 2. 正方形与平行四边形、矩形、菱形的性质关联 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质，是最特殊的平行四边形。 ) ( （ 三 ）正方形的判定定理 正方形与之前所学的各种四边形之间有怎样的关系? 1. 正方形判定的核心依据 正方形是特殊的平行四边形，同时具备矩形和菱形的所有特征，因此其判定本质是：证明一个四边形既是矩形又是菱形。 （ 1 ） 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 正方形是特殊的矩形（一组邻边相等的矩形），也是特殊的菱形（有一个角是直角的 的菱形），更是特殊的平行四边形，三者判定条件叠加即可得到正方形判定。 （ 2 ） 正方形的判定定理 定理1：一组邻边相等的矩形是正方形 定理2：有一个角是直角的菱形是正方形 定理3：对角线互相垂直的矩形是正方形 定理4：对角线相等的菱形是正方形 定义判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2. 判定思路总结 （ 1 ） 先证四边形是平行四边形 → 再证是矩形/菱形 → 最后补全菱形/矩形条件得正方形； （ 2 ） 直接证四边形四条边相等、四个角都是直角，直接判定为正方形； （ 4 ） 利用对角线：对角线互相平分+相等+垂直，直接判定为正方形。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（    ） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．正方形面积等于对角线长的平方 2．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（   ） A．菱形的对角线相等且互相平分 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 3.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等 c．一组邻边相等 d．一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是（　　） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 4.如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．48 5．如图，正方形中，点E为对角线上一点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接．若，，则的长为（   ） A．3 B．7 C． D．8 6．如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 8.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，有一个角是直角 B．③，对角线相等 C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 9．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为（   ） A．2 B． C．3 D． 10．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 二．填空题（共30分） 11.（2025南明区期末）正方形对角线长为6，它的面积等于______。 12.（2026云岩区一模）矩形添加条件：________可以变成正方形（填一组邻边相等即可）。 13.（2025南明区一模）正方形对角线长2，边长=______。 14．如图，正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③；④． 15．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为 ． 16．如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是 ． 17．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 18．如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 19.如图，正方形的边长为5，对角线交于点E，线段的长为2，在边上移动，连接，则的最小值是 ．    20．如图，将正方形绕点C顺时针旋转得到正方形，与相交于H，若，则 ． 三．解答题（共60分） 21.如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 22.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由; (2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?请说明理由. 23．如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 24.如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点． (1)求直线的解析式； (2)直线经过点，并与直线交于点，求点的坐标． 25.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 26.综合与实践：折纸， 素材：一张正方形纸片 步骤：（1）如图，将正方形纸片对折，沿折痕剪开，取其中一张矩形，将矩形对折，使边与重合，折痕交于点，展开； （2）分别将、沿过点的直线折叠，点，重合于点处，折痕分别交、于点、． 猜想与证明： (1)直接写出与的位置关系和数量关系； (2)证明（1）中你发现的结论． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．（2025乌当区一模）正方形绕对角线交点旋转多少度可以与自身重合（最小角度）（ ） A. 45° B. 90° C. 180° D. 60° 2．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A. B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A. B． C． D． 5．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 6．如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．28 B．24 C．20 D．16 9．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（　　） A．0 B．4 C．8 D．16 10．把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①，②摆放，阴影部分的周长分别为和，则和的大小关系是（     ） A. B． C． D．无法确定 二．填空题（共30分） 11．如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 13．如图，E、F 分别是边长为2的正方形边、上的两个动点，连接、、，若的大小始终保持不变，则的周长为 ． 14．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝4，BE＝3，则阴影部分的面积是 　　． 15．如图，E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，P是边CD上任意一点（不与D重合），连接AP，作点D关于AP的对称点F，则线段EF长的最小值等于 　　． 16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度为______ 17．如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为　 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2025B2026C2026的顶点B2026的坐标是　 　． 19．如图，已知点是正方形外的一点，连接若，，则的长为 ．    20．如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6，则AC＝　　． 三．解答题（共60分） 21．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． 22．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 23．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时． (1)求证：△ABD≌△ACF； (2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度． 24．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是 　 　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． 25．如图，已知△ABC，在△ABC外分别作正方形和正方形，连接，． (1)判断线段和的关系，并说明理由； (2)如图，依次连接，，，当时，四边形的面积是____． (3)若，以为边作正方形，过点作的垂线交于点，交于点．请根据以下提示完成勾股定理的证明，即证明． 提示：，，又，从而得，同理，． 26．我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接、、． 【特例感知】 （1）试证明：． （2）如图1，延长到点G，使得，连接，，．图中与的数量关系是_____________． 【结论探索】 （3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，，，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】 （4）在（3）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $