第一章 3 矩形的性质与判定-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

3 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 已课内基础闯关 6.如图，在矩形ABCD中， 知识点① 矩形的边、角性质 对角线AC,BD相交于 点O,过点A作BD的垂 1.矩形ABCD的邻边长分别是1,2，则对角线 第6题图 线，垂足为E.若∠EAD BD的长度是 =3∠BAE,则∠EAO的度数为 A.√3 B.3 C.5 D.25 A.67.5°B.30 C.22.5°D.45 2.如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,E为BC 7.(教材变式)如下图，在矩形ABCD中，已知 上的一点，且AE=AD,则∠EDC的度数是 AB=6,∠DBC=30°，求AC的长 ( A.30° B.75 C.45° D.15° 第2题图 第3题图 3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是 知识点③ 直角三角形斜边上的中线等于斜 矩形.若∠BAG=20°，则∠DAE的度数为 边的一半 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边 4.如下图，四边形ABCD是矩形，点E,F分别 AB的中点.若AC=3,BC=4,则CD的长 在CB和BC的延长线上，且BE=CF.求 为 () 证：AF=DE A.3 B.2.5 C.4 D.2.4 D∠ B 第8题图 变式题图 变式题求边长→求角度 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是 AB边的中点.若∠B=20°，则∠ADC的 度数为 知识点② 易错点没有全面考虑点的位置 矩形的对角线性质 9.矩形ABCD的对角线AC,BD相交于 5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质 点O,点F在矩形ABCD边上，连接 是 ( OF.若∠ADB=38°，∠BOF=30°，则 A.对边相等 B.对角相等 ∠AOF= C.对角线相等 D.对角线互相平分 九年级数学BS版 已课外拓展提高 综合能力提升 10.如图，已知在矩形ABCD中， 13.推理能力请阅读下列材料，并解答相应的 AE⊥BD于点E,∠DAE: 问题 ∠BAE=4:5,则∠CAE的 如图①，∠ABC可看作矩形BCAD的对角 第10题图 度数为 线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线 A.10° B.40 BF交CA于点E,交DA的延长线于点F. C.50° D.以上都不对 求证：若EF=2AB,则射线BF是∠ABC的 11.矩形ABCD的面积是90，对角线AC,BD 一条三等分线， 交于点O,点E是BC边的三等分点，连接 证明：如图②，取EF的中点G,连接AG… DE,点P是DE的中点，OP=3,连接CP, (1)完成材料中的证明过程， (2)如图③，在矩形ABCD中，对角线AC 则PC十PE的值为 的延长线与外角∠CBE的平分线交于点 12.如右图，在矩形ABCD中， 点M在DC上，AM=AB, F.若BF= 2AC,求∠F的度数. 且BN⊥AM,垂足为N. (1)求证：△ABN≌△MAD 4一年 (2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN 的面积. 知识要点归纳 1.矩形的性质：(1)四个角都是直角：(2)对角线 相等 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 上册第一章 第2课时 矩形的判定 课内基础闯关 (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系 时，四边形ADFE为矩形？请说明理由. 知识点①有一个角是直角的平行四边形是 矩形 1.如图，要使口ABCD成为 矩形，需要添加的条件是 ( B2 第1題图 A.AB=BC B.AO=CO C.∠ABC=90 D.∠1=∠2 2.如下图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交 知识点③有三个角是直角的四边形是矩形 于点O,BE∥AC,CE∥DB.求证：四边形 5.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四 OBEC是矩形 边形门框是否为矩形.下面是一个学习小组 拟定的方案，其中正确的方案是 () A.测量其中三个角是否为直角 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相互平分 D.测量对角线是否相等 6.如图，直线EFMN,直线l分别 交EF,MN于A,C两点，AB, B 知识点②对角线相等的平行四边形是矩形 CB,CD,AD分别是∠EAC,M% ∠MCA,∠ACN,∠CAF的平分 第6题图 3.用一把刻度尺来判断一个平行四边形零件 线，则四边形ABCD是 是否是矩形的方法是测量两条对角线是否 7.如下图，在△ABC中，AB=AC,AE⊥BC 相等，这样做的依据是 于点E,AD平分∠FAC,CD⊥AD于点D. 求证：四边形AECD是矩形. 4.如下图，DE与AF分别为△ABC的中位线 与中线， (1)求证：AF与DE互相平分. 8 九年级数学Bs版 巴课外拓展提高 综合能力提升 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12, 11.几何直观如图①，在△ABC中，AB=BC, BC=5,P是边AB上任意一点.过点P作 P为边AB上一点，连接CP,以PA,PC PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为D,E.连接 为邻边作□☐APCD,AC与PD相交于点 DE,则DE的最小值是 () E.已知∠B=∠AEP=a(0°<a<90°). A号 60 30 .13 c号 (1)求证：∠EAP=∠EPA. D.13 (2)□APCD是否为矩形？请说明理由. (3)如图②，F是BC的中点，连接FP,将 ∠AEP绕点E按顺时针方向旋转适当的角 度，得到∠MEN,M,N是∠MEN的两边与 D 第8题图 第9题图 BA,FP延长线的交点.线段EM与EN之 9.如图，在△ABC中，直线MN从△ABC的 间的数量关系是 边BC出发，沿CA方向平移，每秒运动1个 单位长度交∠ACB的平分线于点E,交 ∠ACD的平分线于点F.若AC=6,则当直 线MN运动了 s时，四边形 图② AECF是矩形. 10.(2025一2026茂名检测)如下图，在□AB CD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F 使CF=BE,连接AF,DE,DF. (1)求证：四边形AEFD是矩形. (2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE 的长。 知识要点归纳 四边形 三个角是直角，矩形 平行四边形对角钱相羊矩形 上册第一章 9△3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.c 2.D【解析】，四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,AD =BC,∠B=∠ADC=90.BC=2AB,AE=AD, .AE=2AB,∴.∠AEB=30°.，AD∥BC,.∠DAE =∠AEB=30,AD=AE∠ADE=2(180- ∠DAE)=75°，∴.∠EDC=∠ADC-∠ADE=15° 3.20° 4.证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,∠ABC=∠DCB=90. .BE=CF, .'BC+BE=BC+CF,CE=BF. 在△ABF和△DCE中， (AB=DC, ∠ABF=∠DCE, BF=CE, ∴.△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE. 5.C 6.D【解析】四边形ABCD为矩形，∴.AO=DO=BO =CO,∠BAD=90°，∴.∠OAD=∠ODA,∠EAD+ ∠BAE=90°.∠EAD=3∠BAE,.∠EAD= 67.5°，∠BAE=22.5°.在Rt△AED中，∠EAD= 67.5°，∴.∠EDA=22.5°，∠OAD=∠EDA=22.5°， ∴∠EAO=∠EAD-∠OAD=67.5°-22.5°=45°. 7.解：：四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=6,OA=OC=OD=OB,∠BCD=90. 又，∠DBC=30°，∴.∠BDC=60°，.△ODC为等边 三角形，.OC=CD=6,∴.AC=2OC=12. 8.B变式题40° 9.46°或106°【解析】如图①，当点F在AB上时. ,四边形ABCD是矩形，∴.OD=OA, ∴.∠OAD=∠ODA=38°， .∠AOB=∠ADO+∠DAO=76. :∠BOF=30°，∴.∠AOF=∠AOB-∠BOF=46. 图① 图② 如图②，当点F在BC上时. ,四边形ABCD是矩形， ∴.OD=OA,.∠ADO=∠DAO=38°， ,∴.∠AOB=∠ADO+∠DAO=76°. ,∠BOF=30°，.∠AOF=∠AOB+∠BOF=106 综上所述，∠AOF=46°或106. 10.A 11.13或√109【解析】当CE>BE时，CE=2BE,如 图①. :在矩形ABCD中，∠ECD=90°，点O是BD的中 点，点P是DE的中点，.BE=2OP=6,CP=PE PD,..CE=2BE=12,BC=3BE=18. ,矩形ABCD的面积是90，∴.BC·CD=90,.CD =5,.DE=√5+12=13，∴.PC+PE=DE=13. 当CE<BE时，BE=2CE,如图②.在矩形ABCD 中，点O是BD的中点，点P是DE的中点，∴BE= 20P-6.CP-PE-PD..CE-BE-3.BC-3 +6=9. ,矩形ABCD的面积是90，.BC·CD=90,.CD =10,.DE=√32+10=√109，∴.PC+PE=DE =√109. 综上所述，PC+PE的值为13或√109. 图① 图② 12.解：(1)证明：，四边形ABCD为矩形，∠D=90°， DC∥AB,∴.∠BAN=∠AMD. BN⊥AM,.∠BNA=90°，.∠BNA=∠D |∠BAN=∠AMD, 在△ABN和△MAD中，∠BNA=∠D, AB=MA. ∴.△ABN≌△MAD(AAS). (2)△ABN≌△MAD, ..BN=AD=2. 在Rt△ABN中，AB=√AN+BN=√4+2= 25, 六S形m=2X2V5=4V5,S△w=S△AaN=2X2X 4=4, .S四边形BCMN=S矩形ABD一S△ABN一S△MD=4V5一8. 13.解：(1)证明：，四边形BCAD是矩形， .AD∥BC,∠DAC=90°， .∠F=∠CBF,∠EAF=90 1 :G是EF的中点AG=2EF=FG, ∠F=∠GAF ,EF=2AB,∴.AG=AB, .∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F= 2∠CBF, .∠ABC=3∠CBF, ∴射线BF是∠ABC的一条三等分线. (2)取AC的中点H,连接BH,如图. ,四边形ABCD是矩形， .∠CBA=∠CBE=90°. ,BF是∠CBE的平分线， ∴∠FBE=号∠CBE=2×90=45 ,∠FBE=∠FAB+∠F,∴.∠FAB+∠F=45. 上册详解详析 3△ :∠CBA=90°，H是AC的中点， 1 六BH=AH=BF=2AC, ∴.∠FAB=∠HBA,∠BHF=∠F, ∴.∠BHF=∠FAB+∠HBA=2∠FAB,∴.∠F= 1 2∠FAB,.∠FAB= 2∠F2∠F+∠F=45, .∠F=30° 第2课时 矩形的判定 1.C 2.证明：，BE∥AC,CE∥DB, ∴.四边形OBEC是平行四边形， 又四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD, .∠BOC=90°，.四边形OBEC是矩形 3.对角线相等的平行四边形是矩形 4.解：(1)证明：，DE是△ABC的中位线， :AD=BD=号AB. AF是△ABC的中线，.F是BC的中点，.EF是 △ABC的中位线，EF/AB,EF=2AB, .EF=AD,.四边形ADFE是平行四边形，∴AF与 DE互相平分. (2)当AF=号BC时，四边形ADFE为矩形. 理由：DE为△ABC的中位线，DE=2BC,:AF =BCAF=DE.由1)可知，四边形ADFE是平 行四边形，.□ADFE为矩形. 5.A 6.矩形【解析】.EF∥MN, .∠EAC+∠MCA=180. :AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN, ∠CAF的平分线，∠EAF=180°，∠MCN=180°， .∠BAC+∠BCA=90°，∠BAD=90°，∠BCD=90°， ∴.∠B=90°，.四边形ABCD是矩形. 7.证明：，AB=AC,AE⊥BC, .∴.AE平分∠BAC,∠AEC=90°， 1 ·.∠BAE=∠CAE=2∠BAC. AD平分∠FAC, ∠DAC=2∠FAC, ∠DAE=∠CAE+∠DAC=2∠BAC+号∠FAC 1 =2∠BAC+∠FAC)=2×180°=909， .CD⊥AD,.∠ADC=90°， ∴.四边形AECD是矩形. 8.B【解析】如图，连接CP,作CQ⊥AB于点Q. ∠ACB=90°，AC=12,BC=5, ∴.AB=√/AC+BC=√122+5=13， 4 九年级数学BS版 1 1 SAA=2X13CQ=2X12X5, 60 .CQ=13 PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为D,E, .∠PDC=∠PEC=∠DCE=90°， 四边形PECD是矩形，∴.CP=DE, 当CP与CQ重合时，CP的长最小，此时DE的长 最小. 60 ,60 :CQ=13DE的最小值是3 9.3【解析】设AC交MN于点 O,如图所示. 由题意，得∠ACE=∠BCE, ∠ACF=∠DCF, 1 ∠ACE+∠ACF=2X180°=90°， ∴.∠ECF=90. 'MN∥BC,∴.∠OEC=∠BCE,∠CFO=∠DCF, ,∴.∠OEC=∠ECO,∠CFO=∠OCF, ∴.EO=CO,FO=CO,∴.OE=OF, 当A0=C0=2AC=3时，四边形AECF是平行四 边形. ∠ECF=90°， □AECF是矩形. 10.解：(1)证明：CF=BE, ∴.CF+EC=BE+EC,即EF=BC. 在□ABCD中，AD∥BC且AD=BC, .AD∥EF且AD=EF, .四边形AEFD是平行四边形. AE⊥BC,∠AEF=90°， ∴.四边形AEFD是矩形. (2)四边形AEFD是矩形，DE=8, ..AF=DE=8. .AB=6,BF=10 .AB2+AF2=62+82=100=BF2, .∠BAF=90°. :△ABF的面积=名AB·AF=BF·AE. AE=AB·AF=4824 BF105 11.解：(1)证明：在△ABC中，∠ACB=180° ∠BAC-∠B: 在△AEP中，∠EPA=180°-∠AEP-∠EAP. :∠B=∠AEP,∠BAC=∠EAP, ∴.∠ACB=∠EPA. .AB=BC, ∴.∠BAC=∠ACB, ∴∠EAP=∠EPA. (2)□APCD是矩形. 理由：，四边形APCD是平行四边形， ..AC=2EA,PD=2EP. 由(1)，得∠EAP=∠EPA, ..EA=EP, ..AC=PD, □APCD是矩形. (3)EM=EN 【解析】(3)由(1)，得∠EAP=∠EPA. ,∠AEP=a, :∠EAP=∠EPA=90°-2a, 1 ÷∠EAM=180-∠EAP=180-(90-2c) 由(2)，得EA=EP,四边形APCD是矩形， .∠APC=90°，∠CPB=90°. F是BC的中点，FP=FB, ∴.∠FPB=∠B=a, ,∴.∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB= 90°- +e=90+70… .∠EAM=∠EPN. 由旋转的性质，得∠MEA=∠NEP. 在△EAM和△EPN中， ∠MEA=∠NEP, EA=EP, ∴.△EAM≌△EPN(ASA), ∠EAM=∠EPN, ∴.EM=EN 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.A2.B变式题45° 3.解：(1)四边形AECF是菱形. 证明：如图，连接AC,交BD于点O ,四边形ABCD是正方形， ∴.AC⊥BD,AO=CO,DO=BO. .BE=DF,.OB-BE OD-DF, OE=OF. ∴.四边形AECF是平行四边形. ,AC⊥EF,.四边形AECF是菱形. (2)由(1)，知四边形AECF是菱形. ,四边形ABCD是正方形，AB=3√2， ∴.AC=BD=6,∴.OA=OB=3. .BE=DF=2, ..OE=OF=1. AC⊥EF,∠AOE=90°， .AE=√OA+OE=√3+1下=√10， .四边形AECF的周长=4AE=4√10. 4.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=DC,∠BCD=∠ABC=90°. ,△BCE是等边三角形， ∴.BE=CE,∠EBC=∠ECB=60°， .∠ABE=∠DCE=30°，.∴.△ABE≌△DCE(SAS). (2),△BCE是等边三角形，.CE=BC ,四边形ABCD是正方形， :.CD=BC...CE=CD, ∠CDE7X180°-30)=75 ,AB∥CD,∴.∠AFD=∠CDE=75. 5.42或2√2 6.B【解析】如图，连接AC. :四边形ABCD是正方形， 1 AC=BD,∠ACB=2∠BCD =45°， .∠ACE=180°-∠ACB=135. 又CE=BD,AC=CE, ∴∠E=∠CAE=2(180-∠ACE)=2.5 7.A【解析】根据折叠的性质，得△ABE≌△AME, △ADF≌△AMF,∴.BE=ME,DF=MF,∠ABE= ∠AME,∠ADF=∠AMF.正方形ABCD的边长 是4，AE=AF,∴.AD=AB=BC=CD=4,∴.∠ADF =∠AMF=∠ABE=∠AME=90°，∴.∠AMF+ ∠AME=180°，∴E,M,F三点共线，.EM+MF =EF. :e0: .Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),BE=DF,.BE= DF=ME=MF.设DF=BE=x,则EF=2x,EC=4 一x,FC=4一x.在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF =EC2十FC2,即4x2=(4-x)2十(4-x)2,解得x1= 4V2-4,x2=-4√2-4（舍去）.故DF=4√2-4. 8.解：(1)证明：①，四边形ABCD为正方形， ∴.∠BCD=90°，BC=CD. 同理可得CG=CE,∠GCE=90°， ∴∠BCG=∠DCE=90°. BC=DC. 在△BCG和△DCE中，{∠BCG=∠DCE, CG=CE, ∴.△BCG≌△DCE(SAS). ②，△BCG≌△DCE, ∴.∠GBC=∠CDE. 在Rt△DCE中，∠CDE+∠CED=90°， .∠GBC+∠BEH=90°， ∴.∠BHE=180°-（∠GBC+∠BEH)=90°， .BH⊥DE. (2)如图，连接BD.正方形ABCD 的边长为1， ∴BD=√2. :BH垂直平分DE,BD=BE =2, .CG=CE=BE-BC=√2-1. 9.解：(1)PE十PF的值是定值. ,四边形ABCD为正方形，且边长为a, 上册详解详析 5