《第一章特殊的平行四边形第三节矩形的性质与判定》提优特训A·B卷 ·2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过A卷基础过关与B卷强化提优的分层设计，构建从矩形概念性质到综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷基础过关|矩形定义、性质、判定及简单计算|选择/填空聚焦对称性、对角线性质等基础考点，解答题立足全等证明与面积计算，强化概念理解| |B卷强化提优|折叠动态问题、坐标系综合、跨知识点应用|填空融入动点与折叠求线段长，解答题结合几何变换与代数建模，提升空间观念与运算能力|

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第一章特殊的平行四边形第三节矩形的性质与判定》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1. 抽象出矩形概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，理清矩形、平行四边形、四边形的层级从属关系，区分矩形与菱形的特征差异，能从生活实物、几何图形中提取矩形模型。 2. 自主推导矩形角、对角线专属性质，熟练掌握3种矩形判定方法；能结合全等三角形、勾股定理完成几何证明；推导并灵活运用直角三角形斜边中线定理，规范几何证明步骤。 3. 掌握矩形2条对称轴、中心对称特征；能识别对角线分割出的等腰三角形、直角三角形模型；解决矩形折叠、动点、对角线夹角60 ° /120 ° 等图形类题型，建立图形空间认知。 4. 利用矩形对角线、边长结合勾股定理计算线段长度；运用矩形面积公式求解几何面积；借助斜边中线定理快速计算直角三角形边长，提升几何运算准确率。 ) 二．知识梳理 ( （一）矩形的定义 用四根木条制作一个平行四边形框架，转动其中一组对边，当其中一个内角变为90 ° 时，观察图形变化。 1. 矩形的定义 ： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 2.理解 ： （ 1 ） 矩形属于特殊的平行四边形，它是在平行四边形的基础上，增加了 “ 有一个角是直角 ” 这一特殊条件，并非所有平行四边形都是矩形，只有满足内角为直角的平行四边形才是矩形。 （ 2 ） 定义的双重作用：既可以作为矩形的本质属性，也可以作为判定矩形的基本方法，是后续学习矩形性质、判定的基础。 （ 3 ） 符号语言表述：在四边形ABCD中，若四边形ABCD是平行四边形，且 ∠ A=90 o ，则平行四边形ABCD是矩形。 （二）矩形的性质 矩形是有一个角是直角的平行四边形，它既具备平行四边形的所有性质，又拥有自身独有的特殊性质，具体梳理如下： 1. 矩形的一般性质（平行四边形共性） （ 1 ） 边：对边平行且相等； （ 2 ） 角：对角相等，邻角互补； （ 3 ） 对角线：对角线互相平分； （ 4 ） 对称性：中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 2. 矩形的特殊性质 （ 1 ） 角的特殊性质：矩形的四个角都是直角（即每个角都等于90^\circ）； （ 2 ） 对角线的特殊性质：矩形的对角线相等； （ 3 ） 对称性补充：矩形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为对边中点连线所在的直线。 3. 重要推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线相等且互相平分推导得出，是矩形性质的重要延伸）。 ) ( 4. 符号语言表述 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O： （ 1 ） 边：AB ∥ CD，AD ∥ BC，AB=CD，AD=BC； （ 2 ） 角： ∠ A=B ∠ = ∠ C= ∠ D=90 o ； （ 3 ） 对角线：AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD。 （ 三 ） 矩形的判定定理 1. 矩形的判定定理 （ 1 ） 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （ 2 ） 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 2. 判定方法总结 判定类型 前提条件 判定条件 定义判定 平行四边形 有一个角是直角 定理1判定 任意四边形 三个角是直角 定理2判定 平行四边形 对角线相等 3. 补充推论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（可由定理2推导，先由对角线互相平分判定为平行四边形，再由对角线相等判定为矩形）。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025南明区九上期中） 矩形的对称性为（ ） A. 只是中心对称图形 B. 只是轴对称图形 C. 既是轴对称，又是中心对称 D. 都不是 2.（2026清镇市一模） 下列说法错误的是（ ） A. 矩形四个角都是直角 B. 矩形对角线互相平分 C. 对角线相等的四边形就是矩形 D. 矩形对边相等 3.（2026贵阳市南明区二模） Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜边AC=10，则AC边上的中线长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 4.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( ) A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为( ) A．4 B．4 C．3 D．5 6．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(2，4)，则AC的长是( ) A．2 B．4 C．2 D．2 7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC交BD于点O,再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形(　　) A.AB∥CD,AB=AD　　　B.OA=OC,BC=CD C.AB=CD,AC=BD　　　D.AD=BC,AC=BD 8.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 10．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（　　） A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3 二．填空题（共30分） 11.（2026观山湖区中考三模） 若平行四边形ABCD中，∠A=90°，则四边形ABCD是______。 12.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 　　． 13.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是_______. 14.（2025南明区期中） 矩形ABCD，AC=BD=14，则OC=______。 15.如图,已知在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD相交于点O.若AO=BO,AD=3,AB=2,则四边形ABCD的面积为　　　　.  16.已知直线a∥b,点M到直线a的距离是4 cm,到直线b的距离是2 cm,那么直线a和直线b之间的距离为　　　　.  17.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为_________cm． 18．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B在点E处，CE与AD交于点F．若AF＝5，DF＝4，则AC的长为 　 　． 19．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（0，10）、C（4，0），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 　 　． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为________ 三．解答题（共60分） 21．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线． （1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由． 22.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF. (1)求证：四边形ACDF是平行四边形； (2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由． 23..如图将▱ABCD的边AB延长至点E,使得AB=BE,连结DE、EC、BD,DE交BC于点O. (1)求证:△ABD≌△BEC; (2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形. 24．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足. 求证：(1)△ABE≌△CDF； (2)四边形AECF是矩形． 25．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积． 26.如图，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合．   (1)请直接写出点C的坐标． (2)求线段CF的长度． 27.如图，在△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证：OE＝OF； (2)若CE＝3，CF＝4，则EF的长5； (3)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是( ) A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度变大 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变 2.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形的顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动．已知M是边AB的中点，连接OM，DM.下列判断正确的是( ) 结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变； 结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形． A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 3．如图，在矩形ABCD中，动点E，F分别从点D，B同时出发，沿DA，BC向终点A，C移动．要使四边形AECF为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是( ) 甲：点E，F的运动速度相同；乙：AF＝CE A．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行 C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行 4.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( ) A. B. C. D. 5．在木艺活动课上，老师拿出了一块平行四边形木板，以下测量方案中，能确定这块木板是矩形的是( ) A．测量对角线相等 B．测量一组邻边相等 C．测量两组对边相等 D．测量对角线互相垂直 6．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，平行四边形EQGH的四个顶点分别在矩形ABCD的四条边上，QP∥AB，分别交EH，AD于点R，P，过点R作MN∥AD，分别交AB，DC于点M，N，要求得平行四边形EQGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可（　　） A．四边形MBCN B．四边形AMND C．四边形RQCN D．四边形PRND 8．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（　　） A．5 B． C． D． 9．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形CFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　） A．先变大后变小 B．保持不变 C．一直变大 D．一直变小 10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AE的中点，若AD＝6，CD＝3，则DF的长是（　　） A．4 B． C． D． 二．填空题（共30分） 11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________． 　　 12．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件_________，使四边形BEFD为矩形． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A'处，当△A'DP为直角三角形时，AP的长为　 　． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且MN＝8，则BM的值为　 　． 15．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．动点P为矩形ABCD内一点，且满足S△PBC＝S矩形ABCD，则△ADP周长的最小值为 　 　． 16．如图，将长方形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E．若∠1＝25°，则∠2的度数为 　 　． 17．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，点C落在点C处．P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H．若AD＝14，CF＝5，则PG+PH＝　 　． 18．如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为 　 　． 19．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积 为__________ 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为________ 三．解答题（共60分） 21.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E. (1)求证：DB＝DE； (2)若∠AOB＝60°，BD＝4，求四边形BCDE　的面积. 22．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积． 23.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点． （1）求证：CP=AQ； （2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积． 24.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD． 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O． （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积． 25. 已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段PB上有一点M，且PM=5，当P运动　 　 秒时，四边形OAMP的周长最小，并在图4中标出点M的位置． 26．【问题初现】 （1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为（0，4），OA＝2OC，D是BC边上的点，且D的坐标是（3，4），求线段BD的长． 【问题延伸】 （2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将△BDF沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标． 【问题拓展】 （3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为（b，n）、D点坐标为（m，n），在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当CG＝AF时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第一章特殊的平行四边形第三节矩形的性质与判定》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1. 抽象出矩形概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，理清矩形、平行四边形、四边形的层级从属关系，区分矩形与菱形的特征差异，能从生活实物、几何图形中提取矩形模型。 2. 自主推导矩形角、对角线专属性质，熟练掌握3种矩形判定方法；能结合全等三角形、勾股定理完成几何证明；推导并灵活运用直角三角形斜边中线定理，规范几何证明步骤。 3. 掌握矩形2条对称轴、中心对称特征；能识别对角线分割出的等腰三角形、直角三角形模型；解决矩形折叠、动点、对角线夹角60 ° /120 ° 等图形类题型，建立图形空间认知。 4. 利用矩形对角线、边长结合勾股定理计算线段长度；运用矩形面积公式求解几何面积；借助斜边中线定理快速计算直角三角形边长，提升几何运算准确率。 ) 二．知识梳理 ( （一）矩形的定义 用四根木条制作一个平行四边形框架，转动其中一组对边，当其中一个内角变为90 ° 时，观察图形变化。 1. 矩形的定义 ： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 2.理解 ： （ 1 ） 矩形属于特殊的平行四边形，它是在平行四边形的基础上，增加了 “ 有一个角是直角 ” 这一特殊条件，并非所有平行四边形都是矩形，只有满足内角为直角的平行四边形才是矩形。 （ 2 ） 定义的双重作用：既可以作为矩形的本质属性，也可以作为判定矩形的基本方法，是后续学习矩形性质、判定的基础。 （ 3 ） 符号语言表述：在四边形ABCD中，若四边形ABCD是平行四边形，且 ∠ A=90 o ，则平行四边形ABCD是矩形。 （二）矩形的性质 矩形是有一个角是直角的平行四边形，它既具备平行四边形的所有性质，又拥有自身独有的特殊性质，具体梳理如下： 1. 矩形的一般性质（平行四边形共性） （ 1 ） 边：对边平行且相等； （ 2 ） 角：对角相等，邻角互补； （ 3 ） 对角线：对角线互相平分； （ 4 ） 对称性：中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 2. 矩形的特殊性质 （ 1 ） 角的特殊性质：矩形的四个角都是直角（即每个角都等于90^\circ）； （ 2 ） 对角线的特殊性质：矩形的对角线相等； （ 3 ） 对称性补充：矩形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为对边中点连线所在的直线。 3. 重要推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线相等且互相平分推导得出，是矩形性质的重要延伸）。 ) ( 4. 符号语言表述 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O： （ 1 ） 边：AB ∥ CD，AD ∥ BC，AB=CD，AD=BC； （ 2 ） 角： ∠ A=B ∠ = ∠ C= ∠ D=90 o ； （ 3 ） 对角线：AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD。 （ 三 ） 矩形的判定定理 1. 矩形的判定定理 （ 1 ） 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （ 2 ） 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 2. 判定方法总结 判定类型 前提条件 判定条件 定义判定 平行四边形 有一个角是直角 定理1判定 任意四边形 三个角是直角 定理2判定 平行四边形 对角线相等 3. 补充推论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（可由定理2推导，先由对角线互相平分判定为平行四边形，再由对角线相等判定为矩形）。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025南明区九上期中） 矩形的对称性为（ ） A. 只是中心对称图形 B. 只是轴对称图形 C. 既是轴对称，又是中心对称 D. 都不是 【答案】：C 【解析】：矩形有两条对称轴，对角线交点为对称中心，兼具两种对称性。 2.（2026清镇市一模） 下列说法错误的是（ ） A. 矩形四个角都是直角 B. 矩形对角线互相平分 C. 对角线相等的四边形就是矩形 D. 矩形对边相等 【答案】：C 【解析】：必须是对角线相等的平行四边形才是矩形，普通四边形不成立。 3.（2026贵阳市南明区二模） Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜边AC=10，则AC边上的中线长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】：B 【解析】：由矩形推论可得：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，10÷2=5。 4.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( ) A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC 【答案】：B 【解析】：A：∠ABD=∠CBD，可证平行四边形是菱形；B：有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为( ) A．4 B．4 C．3 D．5 【答案】：B 【解析】：矩形对角线相等且互相平分：BD=AC=8，OA=OB=BD=4。∠AOB=60°，∴△ AOB是等边三角形，AB=OA=4。矩形对边相等，DC=AB=4。 6．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(2，4)，则AC的长是( ) A．2 B．4 C．2 D．2 【答案】：C 【解析】：矩形对角线相等：AC=OB。O(0,0)，B(2,4)，由勾股定理： ， 7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC交BD于点O,再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形(　　) A.AB∥CD,AB=AD　　　B.OA=OC,BC=CD C.AB=CD,AC=BD　　　D.AD=BC,AC=BD 【答案】D　 【解析】再添加AD=BC,AC=BD,可判定四边形ABCD为矩形.理由:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形,∵AC=BD,∴▱ABCD为矩形. 8.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】由题意知，△BEG≌△HEG，则BE＝HE；∠BEG＝∠HEG，∠BEH＝2∠BEG.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴AE＝HE.∴∠EAH＝∠EHA.∵∠BEH＝∠EAH＋∠EHA＝2∠EAH.∴∠BEG＝∠EAH＝∠EHA＝∠HEG.则与∠BEG相等的角有3个 9.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故选：D． 10．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（　　） A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3 【答案】A 【解析】∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝90°，∴∠HEF＝90°，同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH＝FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠5（等量代换），同理∠5＝∠7＝∠8，∴∠1＝∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH＝CF＝FN，又∵HD＝HN，∴AD＝HF，在Rt△HEF中，EH＝3，EF＝4，根据勾股定理得HF＝＝5．又∵HE•EF＝HF•EM，∴EM＝，又∵AE＝EM＝EB（折叠后A、B都落在M点上），∴AB＝2EM＝，∴AD：AB＝5：＝．故选：A． 二．填空题（共30分） 11.（2026观山湖区中考三模） 若平行四边形ABCD中，∠A=90°，则四边形ABCD是______。 【答案】：矩形 【解析】：矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 12.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 　　． 【答案】AC＝BD（答案不唯一） 【解析】∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 13.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是_______. 【答案】② 【解析】当AC=BD时,▱ABCD是矩形. 14.（2025南明区期中） 矩形ABCD，AC=BD=14，则OC=______。 【答案】：7 【解析】：对角线互相平分，OC=AC=7。 15.如图,已知在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD相交于点O.若AO=BO,AD=3,AB=2,则四边形ABCD的面积为　　　　.  【答案】6　 【解析】∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.∵AO=BO,∴AC=BD,∴四边形ABCD为矩形.∵AD=3,AB=2,∴四边形ABCD的面积为AD·AB=3×2=6. 16.已知直线a∥b,点M到直线a的距离是4 cm,到直线b的距离是2 cm,那么直线a和直线b之间的距离为　　　　.  【答案】6 cm或2 cm 【解析】如图,分为两种情况:当点M在直线a,b之间时,求出直线a和直线b之间的距离是4+2=6(cm);当点M在直线a,b外时,直线a和直线b之间的距离是4-2=2(cm).故答案为6 cm或2 cm. 17.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为_________cm． 【答案】5 【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD，AB＝8，BC＝10，∴AB'＝8，AD＝10，B'C'＝10．在Rt△ADB'中，由勾股定理，得DB'＝6．∴DC'＝4．设DE＝x，则CE＝C'E＝8－x．在Rt△C'DE中，由勾股定理，得DE2＝EC'2＋DC'2即x2＝(8－x)2＋42．∴x＝5．即线段DE的长为5cm． 18．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B在点E处，CE与AD交于点F．若AF＝5，DF＝4，则AC的长为 　 　． 【答案】3． 【解析】∵AF＝5，DF＝4，∴AD＝AF+DF＝9，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由折叠的性质得：∠BCA＝∠ECA，∴∠DAC＝∠ECA，∴CF＝AF＝5，∴CD＝＝＝3，∴AC＝＝＝3，故答案为：3． 19．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（0，10）、C（4，0），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 　 　． 【答案】（4，3）或（4，2）或（4，8）． 【解析】∵A（0，10）、C（4，0），且四边形OABC是矩形，∴OA＝BC＝10，OC＝AB＝4， ∵D是OA的中点，∴OD＝5，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则有PO＝OD＝5、PD＝OD＝5或PO＝PD＝5，当PO＝OD＝5时，在Rt△OPC中，OC＝4，OP＝5，由勾股定理可求得PC＝3，此时P点坐标为（4，3）；当PD＝OD＝5时，过P作PE⊥OA于点E，如图，在Rt△PED中，PE＝OC＝4，PD＝5，由勾股定理可求得DE＝3，且OD＝5，则OE＝5﹣3＝2，此时P点坐标为（4，2），（4，8）；当PO＝PD＝5时，过P作PE⊥OA于点E，如图，在Rt△POE中，PE＝4，PO＝5，由勾股定理可求得OE＝3，则OD＝6，与已知矛盾，故该情况不存在．综上可知点P的坐标为（4，3）或（4，2）或（4，8）． 故答案为：（4，3）或（4，2）或（4，8）． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为________ 【答案】13 【解析】如图连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13 三．解答题（共60分） 21．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线． （1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由． 解：（1）如图所示，EF为所求直线； （2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF， ∴四边形BEDF为菱形． 22.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF. (1)求证：四边形ACDF是平行四边形； (2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由． 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE(ASA)，∴FA＝CD.又∵FA∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形 (2)BC＝2CD.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°.∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCD＝45°.∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE.∵E是AD的中点，∴AD＝2DE，∴AD＝2CD.∵AD＝BC，∴BC＝2CD. 23..如图将▱ABCD的边AB延长至点E,使得AB=BE,连结DE、EC、BD,DE交BC于点O. (1)求证:△ABD≌△BEC; (2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,又∵AB=BE,∴BE∥CD,BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形,∴BD=CE,∴△ABD≌△BEC(SSS). (2)由△ABD≌△BEC可得∠A=∠CBE,∵∠BOD=2∠A,∴∠BOD=2∠CBE,∵∠BOD=∠OBE+∠OEB,∴∠OBE=∠OEB,∴BO=OE,由(1)可知四边形BECD是平行四边形,∴BC=2BO,ED=2OE,∴BC=DE, ∴平行四边形BECD是矩形. 24．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足. 求证：(1)△ABE≌△CDF； (2)四边形AECF是矩形． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC. ∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)； (2)∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形． 25．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积． 解：（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN， ∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形； （2）∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30． 26.如图，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合．   (1)请直接写出点C的坐标． (2)求线段CF的长度． 解：(1)四边形是矩形，，，，， 点的坐标； (2)，，， 把沿着折叠，设点刚好与线段上一点重合，，，，，，，． 27.如图，在△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证：OE＝OF； (2)若CE＝3，CF＝4，则EF的长5； (3)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论． 解：(1)证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF； (2)∵CE平分ACB，CF平分ACD，∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝(∠ACB＋∠ACD)＝90°，EF＝＝＝5； (3)当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠ECA＋∠ACF＝∠BCD，∴∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是( ) A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度变大 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变 【答案】：C 【解析：A：扭动后四个角不再是直角，但对边仍然相等，变成平行四边形，B：向右拉动，BD被拉长，长度变大 ，C：面积=底×高，底不变，高变小，面积变小，D：木条长度不变，周长不变 。 2.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形的顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动．已知M是边AB的中点，连接OM，DM.下列判断正确的是( ) 结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变； 结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形． A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 【答案】：A（结论Ⅰ、Ⅱ都对） 【解析】：结论Ⅰ：△AOB是直角三角形，M是斜边AB中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，OM=AB=×6=3，长度恒为3，不变 。结论Ⅱ：∠OAB=45°，OA=OB，M是AB中点，OM⊥AB。矩形中AD=BC=3，AM=AB=3，→AM=AD=3，又∠DAM=90°-45°=45°，∠OMA=45°，得AD‖OM，且AD=OM=3。一组对边平行且相等，四边形OMDA是平行四边形。 3．如图，在矩形ABCD中，动点E，F分别从点D，B同时出发，沿DA，BC向终点A，C移动．要使四边形AECF为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是( ) 甲：点E，F的运动速度相同；乙：AF＝CE A．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行 C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行 【答案】：A（甲、乙都可行） 【解析】：矩形ABCD，∴AD‖BC，即AE‖FC。甲条件：速度相同，E从D、F从B同时出发，速度相同，则 DE=BF。∵AD=BC，∴AD-DE=BC-BF，即AE=FC。AE‖FC且AE=FC，一组对边平行且相等，四边形AECF是平行四边形 。乙条件：AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，得BF=DE，推出AE=FC。又AE‖FC，故AECF是平行四边形 。甲、乙两个条件都可行。 4.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( ) A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：A选项：两组对角分别是99°和81°，只能得出两组对角相等，只能判定这是平行四边形，没有直角，不一定是矩形。B选项：三个内角90°，根据判定定理：三个角是直角的四边形是矩形。C选项：是平行四边形，且有一个内角90°，有一个直角的平行四边形是矩形。D选项：三边3,4,5，32+42=52，得到直角，可推出四个内角均为直角，是矩形。 5．在木艺活动课上，老师拿出了一块平行四边形木板，以下测量方案中，能确定这块木板是矩形的是( ) A．测量对角线相等 B．测量一组邻边相等 C．测量两组对边相等 D．测量对角线互相垂直 【答案】：A 【解析】：A：对角线相等的平行四边形是矩形，B：一组邻边相等的平行四边形是菱形，C：两组对边相等，本来就是平行四边形的性质，不能判定矩形，D：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 6．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解析】如图所示：∵四边形ABCD和四边形③是矩形，∴AB＝CD，FP＝CG，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∴阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积＝BF×CD﹣BF×FP＝BF×（CD﹣CG）＝BF×DG＝BF×BE＝矩形②面积，故选：B． 7．如图，平行四边形EQGH的四个顶点分别在矩形ABCD的四条边上，QP∥AB，分别交EH，AD于点R，P，过点R作MN∥AD，分别交AB，DC于点M，N，要求得平行四边形EQGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可（　　） A．四边形MBCN B．四边形AMND C．四边形RQCN D．四边形PRND 【答案】C 【解析】如图所示，连接HQ，RC，由题可得，∠AHQ＝∠CQH，∠EHQ＝∠GQH， ∴∠AHE＝∠CQG，又∵∠HAE＝∠QCG＝90°，EH＝GQ，∴△AEH≌△CGQ（AAS），∴AH＝CQ，又∵S△EQH＝S△EQR+S△RQH＝RQ（AP+HP）＝RQ×AH，S△CQR＝RQ×CQ， ∴S△EQH＝S△CQR，∴2S△EQH＝2S△CQR，即S平行四边形EQGH＝S矩形RQCN，∴要求得平行四边形EQGH的面积，只需知道四边形RQCN的面积即可．故选：C． 8．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，又∵AB＝3，∠ABC＝90°，∴BC＝＝，∴AD＝BC＝，故选：D． 9．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形CFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　） A．先变大后变小 B．保持不变 C．一直变大 D．一直变小 【答案】B 【解析】连接DE，∵S△CDE＝S矩形ECFG，S△CDE＝S正方形ABCD，∴S矩形ECFG＝S正方形ABCD， ∴矩形ECFG的面积保持不变，故选：B． 10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AE的中点，若AD＝6，CD＝3，则DF的长是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD为矩形，CD＝，AD＝6，AD∥BC，∴∠B＝90°，BC＝AD＝6，AB＝CD＝，∠DAF＝∠AEB，∵E为BC的中点，∴BE＝3，∴AE＝，∴AD＝AE，∵F点为AE的中点，∴AF＝3，∴AF＝BE，∴△DAF≌△AEB（SAS），∴DF＝AB＝．故选：D． 二．填空题（共30分） 11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________． 　　 【答案】：∠A=90°（或∠B=90°、∠C=90°、∠D=90°、AC=BD，写其中一个即可） 【解析】：平行四边形 + 一个角是直角 = 矩形；平行四边形 + 对角线相等 = 矩形。 12．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件_________，使四边形BEFD为矩形． 【答案】：∠B=90°（或AB⊥BC，合理即可） 【解析】：平行四边形，再加一个内角为90°即为矩形。 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A'处，当△A'DP为直角三角形时，AP的长为　 　． 【答案】或8 【解析】如图1中，当∠DA′P＝90°时，由翻折的性质可知，∠PA′B＝∠A＝90°，BA＝BA′＝8，∴∠BA′P+∠DA′P＝180°，∴B，A′，D共线，∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝15， ∴BD＝＝＝17，∴DA′＝17﹣8＝9，设AP＝PA′＝x，则PD＝15﹣x，∵PD2＝PA′2+DA′2，∴（15﹣x）2＝x2+92，解得x＝，∴PA＝．如图2中，当∠A′PD＝90°时，四边形ABA′P是正方形，此时PA＝AD＝8．综上所述，满足条件的PA 的值为或8． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且MN＝8，则BM的值为　 　． 【答案】7 【解析】分两种情况：①如图1，M在对角线BD上时，设四边形MCND对角线MN和DC交于O，过O作OG⊥BD于G，∵四边形MCND为平行四边形，∴OD＝DC＝AB＝2，OM＝MN＝4， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝4，∴BD＝＝＝8，∴AB＝BD，∴∠ADB＝30°，∵∠ADC＝90°，∴∠BDC＝60°， Rt△ODG中，∠DOG＝30°，∴DG＝1，OG＝，设BM＝x，则MG＝8﹣x﹣1＝7﹣x， △OMG中，MG2+OG2＝OM2，∴＝42，解得：x＝7+（舍）或7﹣； ②如图2，M在BD的延长线上时，过O作OG⊥BD于G，同理得：DG＝1，OG＝，OM＝4， 设BM＝x，则MG＝x﹣8+1＝x﹣7，△OMG中，MG2+OG2＝OM2，∴，解得：x＝7+或7﹣（舍）；综上，BM的长为7；故答案为：7． 15．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．动点P为矩形ABCD内一点，且满足S△PBC＝S矩形ABCD，则△ADP周长的最小值为 　 　． 【答案】4+2 【解析】过点P作MNAD，交AD于点M，交BC于点N，∵S△PBC＝S矩形ABCD，∴×BC×PN＝×BC×MN，∴PN＝MN，∵AB＝3，∴MP＝1，过P点作GH∥AD，交AB于点G，交CD于点H，作A点关于GH的对称点A'，连接A'D与GH交点即为所求点P，∵AP＝A'P，∴AP+PD＝A'D， ∵AG＝1，∴AA'＝2，在Rt△AA'D中，AD＝4，AA'＝2，∴A'D＝2，∴△ADP周长的最小值2+4，故答案为4+2． 16．如图，将长方形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E．若∠1＝25°，则∠2的度数为 　 　． 【答案】50° 【解析】∵AD∥BC，∴∠1＝∠DAC＝25°，由折叠的性质可得，∠1＝∠ACB′＝25°，∴∠AEB′＝∠DAC+∠ACB′＝25°+25°＝50°，∵∠AEB′＝∠2，∴∠2＝50°．故答案为：50°． 17．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，点C落在点C处．P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H．若AD＝14，CF＝5，则PG+PH＝　 　． 【答案】2 【解析】如图，过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，由折叠可得，∠DEF＝∠BEF，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF，∵PG⊥BE、PH⊥BC， ∴S△BEF＝S△BEP+S△BFP＝BE•PG+BF•PH＝BF（PG+PH），∵S△BEF＝BF•EQ，∴PG+PH＝EQ，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝14，CF＝5，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝14﹣5＝9．由折叠易知，△DCF≌△BC'F≌△BAE，∴C'F＝CF＝5， ∴BC'＝＝＝∴AB＝C'B＝2．∴EQ＝AB＝2．∴PG+PH＝EQ＝2．故答案是：2． 18．如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为 　 　． 【答案】： 【解析】如图，连接CM，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，∴四边形PCQM是矩形， ∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝3，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，即×3×CM＝×1×2，∴CM＝，∴PQ的最小值为，故答案为：． 19．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积 为__________ 【答案】12； 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∵AE平分∠BAC，AE＝CE，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，∴BC＝BE+CE＝6，∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12； 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为________ 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO，∵对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，∴BO＝DO，EF⊥BD，∴△DEO≌△BFO（AAS），∴EO＝FO，∵BO＝DO，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形，∴BE＝DE，设DE＝x，则AE＝12﹣x，在Rt△AEB中，AB2+AE2＝BE2，即52+（12﹣x）2＝x2，∴x＝，∴DE＝，∴S菱形EBDF＝DE•AB＝． 三．解答题（共60分） 21.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E. (1)求证：DB＝DE； (2)若∠AOB＝60°，BD＝4，求四边形BCDE　的面积. 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AC＝BD，AB∥CD.又DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形，∴DE＝AC，CD＝AE，∴DE＝BD； (2)∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝BO＝2.又∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝2＝CD＝AE，∴AD＝＝＝2， ∴四边形BCDE的面积＝×2×2＋2×2＝6. 22．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积． 解：（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN， ∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30． 23.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点． （1）求证：CP=AQ； （2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF， 在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ； （2）∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8． ∴BF=CD． 24.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD． 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O． （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．[来源:学科网ZXXK] （2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3， ∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF=4×6﹣2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC==2，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2． 25. 已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段PB上有一点M，且PM=5，当P运动　 　 秒时，四边形OAMP的周长最小，并在图4中标出点M的位置． 解：（1）∵四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），∴BC=OA=10，AB=OC=4， ∵点D时OA的中点，∴OD=OA=5，由运动知，PC=2t，∴BP=BC﹣PC=10﹣2t， ∵四边形PODB是平行四边形，∴PB=OD=5，∴10﹣2t=5，∴t=2.5；（2分） （2）①当Q点在P的右边时，如图1，∵四边形ODQP为菱形，∴OD=OP=PQ=5， ∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=3 ∴2t=3； ∴t=1.5，∴Q（8，4） ②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，同①的方法得出 t=4，∴Q（3，4） ③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3，同①的方法得出t=1，∴Q（﹣3，4） （3）（答案1分，作图1分） t= 如图4，由（1）知，OD=5， ∵PM=5，∴OD=PM，∵BC∥OA，∴四边形OPMD时平行四边形，∴OP=DM，∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP=10+AM+5+DM=15+AM+DM，∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，∴AB=EB，∵BC∥OA，∴BM=AD=，∴PC=BC﹣BM﹣PM=10﹣5﹣=，∴t=÷2=， 26．【问题初现】 （1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为（0，4），OA＝2OC，D是BC边上的点，且D的坐标是（3，4），求线段BD的长． 【问题延伸】 （2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将△BDF沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标． 【问题拓展】 （3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为（b，n）、D点坐标为（m，n），在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当CG＝AF时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明． 解：（1）∵C的坐标为（0，4），∴OC＝4，∵OA＝2OC，∴OA＝2×4＝8，在矩形OABC中，BC＝OA＝8，∵D点坐标为（3，4），∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5； （2）如图1，过D作DH⊥OA于H，则∠DCO＝∠COH＝∠DHO＝90°，∴四边形OHDC是矩形， ∴OH＝CD＝3，DH＝OC＝4，由折叠可得，DE＝BD＝5，在Rt△DHE中，HE＝＝＝3，∴OE＝OH+HE＝3+3＝6，∴E点坐标为（6，0）； （3）OE＝2CD，理由如下：如图2，设直线DF与x轴交于I点，∵B点坐标为（b，n），D点坐标为（m，n），∴CD＝m，BC＝b，∴BD＝BC﹣CD＝b﹣m，由折叠的性质可得，DE＝BD＝b﹣m，∠BDF＝∠EDF，∵BC∥x轴，∴∠EID＝∠BDF＝∠CDG，∴∠EID＝∠EDF，∴EI＝DE＝b﹣m，在△GCD和△FAI中，，∴△GCD≌△FAI（AAS），∴AI＝CD＝m， ∴AE＝EI﹣AI＝b﹣m﹣m＝b﹣2m，∴OE＝OA﹣AE＝b﹣（b﹣2m）＝2m，∴OE＝2CD． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $