精品解析：重庆市松树桥中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

松树桥中学高2028届高一下期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，再根据模的计算公式，即可得答案. 【详解】由题意得， 故， 故选：B 2. 有一个多面体，由六个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（ ） A. 五棱柱 B. 五棱锥 C. 四棱柱 D. 四棱锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱锥的结构特征，结合多面体的面数与面的形状判断即可.  【详解】多面体共6个面，仅有1个面不是三角形，则其余5个面均为三角形， 可知非三角形的面为五边形（作为棱锥底面），5个三角形为共顶点的侧面， 总面数为，符合五棱锥的结构特征. A选项五棱柱共7个面，不符合面数要求； C选项四棱柱的6个面均为四边形，不符合“仅1个面不是三角形”的要求； D选项四棱锥共5个面，不符合面数要求.  3. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是边长为2的正三角形，则原的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图面积与原图面积的关系即可求解． 【详解】由斜二测画法，直观图面积与原图面积的关系为， 已知直观图是边长为2的正三角形，其面积为， 所以原三角形面积为． 4. 如图所示，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由图可知，，则 5. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆面积公式求出圆锥的底面面积，再由扇形侧面积公式求出圆锥侧面积，即可得到圆锥的表面积. 【详解】因为底面半径，所以底面积，底面周长，圆锥母线长，圆锥侧面积，故圆锥的表面积为． 故选：C. 6. 已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理逆定理得，取中点，则是的外心，由三棱锥性质得平面，从而得外接球球心在上，的外接圆就是球的大圆，由正弦定理求得的外接圆的半径即得球半径，再由面积公式计算． 【详解】由已知，所以， 取中点，则是的外心， 又，所以点在底面上的射影是的外心，即为， 所以平面，因此外接球球心在上，的外接圆就是球的大圆， ，所以， ，，这就是外接球的半径， 外接球表面积为， 故选：C． 7. 已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量线性运算将用和表示，对比系数得到与参数的关系，结合参数范围求解的取值范围. 【详解】设，由点在线段上，得. 由，得，所以. 又，， 所以. 又，所以. 因为，所以. 8. 如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，由可得，，则，由可得，从而得，再利用结合余弦定理可得结果 【详解】由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，因为， 所以，， 所以， 又由题目条件可知，， 所以，， 所以， 所以． 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的综合应用，考查降幂公式，考查三角形的面积公式的应用，考查圆内接四边形的性质的应用，解题的关键是由得四边形是以为圆心的圆内接四边形，从而有，由可得，再结合已知条件和余弦定理可得结果，考查数形结合的思想和计算能力，属于中档题 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. C. D. 直线中，任意两条都是异面直线 【答案】BCD 【解析】 【分析】还原成正方体之后根据正方体性质分析线线位置关系. 【详解】根据展开图还原正方体,如图所示：与不平行，所以A错误； 正方形中有，所以B正确； 正方体中易得，所以是等边三角形，所以，所以C正确； 由图可得，，三条直线中任意两条既不相交也不平行，所以任意两条都是异面直线，所以D正确. 故选：BCD 10. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ） A. 当时，满足条件的三角形共有个 B. 若则这个三角形的最大角是 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，则为等腰直角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理求得,即可判定A错误；利用正弦定理转化为边的比值，进而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，对B作出判定；注意到三角形的各个角的情况，周全考虑，即可判定C错误；根据已知条件,综合使用正余弦定理可求得角A的值，进而证明D正确. 【详解】对于Ａ，，无解，故A错误； 对于B,根据已知条件，由正弦定理得：, 不妨令,则,最大角的余弦值为：, ∴，故B正确； 对于C，由条件，结合余弦定理只能得到,即角为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C错误； 对于D,,得到, 又 , , 为等腰直角三角形，故D正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查正余弦定理，熟练掌握并灵活运用正余弦定理是关键. 11. 如图， 已知均为等边三角形， 分别为的中点，为内一点 (含边界)． ， 下列说法正确的是（ ） A. 延长交于， 则 B. 若， 则为的重心 C. 若，则点的轨迹是一条线段 D. 的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，根据面积比求出，判断A选项； B选项，建立平面直角坐标系，设出边长为1，写出各点的坐标，然后写出直线CN，BM，AG的方程，联立后求出的坐标，求出与的重心坐标，两者重合；C选项，设出点的坐标，利用向量关系及求出，得出C正确；D选项，利用C选项，得到，结合，求出的最小值. 【详解】A选项，因为已知均为等边三角形，分别为的中点， 连接CD，AE，BF，延长BE交AC于点M， 则， 所以，则，，A正确； 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系， 延长AD交BC于点G，延长CF交AB于点N，由A选项可知：， 设边长为1，则， 则直线，直线BM：， 联立直线CN与BM，求得：，所以， 直线AG：，联立直线AG与BM，求得：，所以， 联立直线AG与CN，求得：，所以， 因为， 则为的重心， 则，即， 而的重心为，即， 故为的重心，B正确； 设，，结合B选项中建立的坐标系，可知： ，即，解得： 若， 则，整理得：， 因为为内一点 (含边界)，所以点的轨迹是一条线段，C正确； 结合C选项，可知， 其中， 当时，取得最小值， 最小值为，故D错误. 故选：ABC 【点睛】建立平面直角坐标系，利用坐标来解决平面向量问题，对于一些平面向量问题可以做到事半功倍. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】记，得出，再以为原点建系，利用坐标运算得出. 【详解】如图，记，则满足， 所以，则， 因为，，所以，解得，则， 故以为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 得，则. 13. 已知在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为10，侧棱长为5，则该正四棱台体积为______. 【答案】 【解析】 【详解】正四棱台的体积公式为：， 其中为上底面面积，为下底面面积，为棱台的高. 已知在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为10，侧棱长为5， 则，， 上底面正方形的对角线长为 ，中心到顶点的距离为， 下底面正方形的对角线长为 ，中心到顶点的距离为， 上下底面中心到顶点距离之差为. 侧棱、高、上下底面中心到顶点距离之差构成直角三角形， 根据勾股定理：. 则， 即该正四棱台体积为. 14. 在中，，点在上且是的角平分线，且的面积为1，当最短时，________. 【答案】## 【解析】 【分析】设利用三角形面积公式和等面积得到和，化简得，利用余弦定理和基本不等式，推得当时，取到最小值，此时，依题可得. 【详解】设，则，从而， 因为， 又，故得， 则， 在中，由余弦定理， ，当且仅当即时取等号， 所以当取到最小值时，，易得， 此时. 故答案为：. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，，求在上的投影向量坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知向量，，则， ，，代入坐标得：. ，. 【小问2详解】 ， 已知，，根据向量平行的坐标公式，有： ，则. 投影向量的公式为，其中，， 则投影向量为. 16. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点. （1）当为的中点时，求证：平面. （2）当平面，求出点的位置，说明理由. 【答案】（1） 取中点为，连接， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2）存在点M，点M为PD上靠近P点的三等分点，理由如下： 连接，相交于，连接， 面，面面面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角； （2）若，边上的中线，求边的长. 【答案】（1） （2），或，. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故，结合，从而求出； （2）根据及余弦定理得到，再由得到，结合余弦定理得到，，求出的长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 即， 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 由余弦定理知：， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故， 解得：，或，. 18. 的内角的对边分别为已知. （1）若的周长等于3，求； （2）若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的关系，再结合三角形的周长即可得解； （2）①根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式即可得解；②先求出角的范围，再利用正弦定理求出边，再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由余弦定理及已知条件得，， 又因为的周长等于3， 所以，得。 联立方程组， 解得； 【小问2详解】 ①根据题意， 得， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以； ②因为是锐角三角形， 由①知得到， 故，解得， 由正弦定理，得， 又，所以， 所以 ， 又因， 故， 所以， 故的取值范围是. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 19. 如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B），记的面积为． （1）记，求的表达式； （2）若 ①求的取值范围； ②设，记，求的最小值． 【答案】（1）（） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和数量积的定义，写出的表达式； （2）由，将数量积转化为三角函数，求函数值域即可； 利用向量共线将用t表示，求函数的最值. 【小问1详解】 因为，， 所以（）． 【小问2详解】 ①设，，则， ， 所以，， 又，所以，则． ②设，则，因为， 所以， 所以， 因为，所以，即， 化简得，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 【点睛】因为，M，C三点共线，所以表示向量和的数乘关系，设，借助，可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松树桥中学高2028届高一下期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 2 2. 有一个多面体，由六个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（ ） A. 五棱柱 B. 五棱锥 C. 四棱柱 D. 四棱锥 3. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是边长为2的正三角形，则原的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. C. D. 直线中，任意两条都是异面直线 10. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ） A. 当时，满足条件的三角形共有个 B. 若则这个三角形的最大角是 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，则为等腰直角三角形 11. 如图， 已知均为等边三角形， 分别为的中点，为内一点 (含边界)． ， 下列说法正确的是（ ） A. 延长交于， 则 B. 若， 则为的重心 C. 若，则点的轨迹是一条线段 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，，且，则______. 13. 已知在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为10，侧棱长为5，则该正四棱台体积为______. 14. 在中，，点在上且是的角平分线，且的面积为1，当最短时，________. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，，求在上的投影向量坐标. 16. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点. （1）当为的中点时，求证：平面. （2）当平面，求出点的位置，说明理由. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角； （2）若，边上的中线，求边的长. 18. 的内角的对边分别为已知. （1）若的周长等于3，求； （2）若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 19. 如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B），记的面积为． （1）记，求的表达式； （2）若 ①求的取值范围； ②设，记，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $